Álgebra A (62) · Unidad 1 — Conjuntos

Producto cartesiano y partes

Dos construcciones nuevas: el producto cartesiano, donde el orden sí importa, y el conjunto de partes, cuyos elementos son conjuntos.

Practicar este tema →6 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Producto cartesiano

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

Los elementos son pares ordenados. A diferencia de los conjuntos, acá el orden importa: (1, 2) y (2, 1) son pares distintos.

A = {1, 2}, B = {a, b}
A × B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}
B × A = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}

No son el mismo conjunto: A × B ≠ B × A salvo casos triviales.

|A × B| = |A| · |B|

El ejemplo que ya conocés es ℝ × ℝ = ℝ², el plano: cada punto es un par ordenado (x, y). Y ℝ³ = ℝ × ℝ × ℝ. Toda la unidad 4 vive ahí adentro.

Conjunto de partes

P(A) = {X : X ⊆ A}

Es el conjunto de todos los subconjuntos de A. Ojo con el cambio de nivel: los elementos de P(A) son conjuntos, no elementos de A.

A = {1, 2}
P(A) = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }

∅ y A siempre están en P(A). Son los dos que más se olvidan, y casi siempre el ejercicio se cae por ahí. Si A tiene 2 elementos, P(A) tiene 4; si tiene 3, tiene 8.

|P(A)| = 2^|A|

Por qué 2ⁿ. Armar un subconjunto es decidir, para cada elemento, si entra o no entra: dos opciones por elemento, n elementos independientes, 2ⁿ combinaciones. Ese razonamiento vale la pena entenderlo, porque es el mismo que aparece en combinatoria.

Cómo se relacionan

X ∈ P(A) ⟺ X ⊆ A

Esa equivalencia convierte una pregunta sobre ∈ en una sobre ⊆, que suele ser más fácil de chequear.

Y hay una segunda equivalencia que se toma seguido, porque parece obvia y hay que saber justificarla:

A ⊆ B ⟺ P(A) ⊆ P(B)

De izquierda a derecha: si X ⊆ A y A ⊆ B, entonces X ⊆ B por transitividad, así que todo elemento de P(A) está en P(B). De derecha a izquierda alcanza con un caso: A ∈ P(A), y si P(A) ⊆ P(B), entonces A ∈ P(B), o sea A ⊆ B.

Contar antes de escribir

Muchos ejercicios se resuelven contando y no listando. Las dos fórmulas se combinan, y ahí es donde se equivoca todo el mundo:

A = {a, b, c}, B = {1, 2}
|A × B| = 3 · 2 = 6
|P(A)| = 2³ = 8
|P(A × B)| = 2⁶ = 64

Fijate el tercero: no es 2³ · 2² = 32, que es lo que sale de mezclar las fórmulas. Hay que resolver de adentro hacia afuera — primero cuántos elementos tiene A × B, que son 6, y recién entonces elevar 2 a esa cantidad. La regla práctica: el exponente de P es siempre el cardinal de lo que está adentro del paréntesis, calculado antes.

Y un control que no falla: |P(X)| tiene que ser una potencia de 2, siempre, para cualquier X. Si en un ejercicio te da 6, 12 o 30, hay un error de conteo garantizado — ni siquiera hace falta revisar de dónde salió.

Ejemplo resuelto

Sea A = {1, 2, 3}. Calcular |P(A)|, listar P(A), y decir cuántos elementos tiene A × P(A).

El cardinal primero. A tiene 3 elementos, así que |P(A)| = 2³ = 8. Saber de antemano cuántos tienen que salir es la mejor forma de no olvidarse ninguno.

La lista, ordenada por tamaño — así no se escapa ninguno:

de 0 elementos: ∅
de 1 elemento: {1}, {2}, {3}
de 2 elementos: {1,2}, {1,3}, {2,3}
de 3 elementos: {1,2,3}

Son 1 + 3 + 3 + 1 = 8. Cierra con lo que habíamos calculado.

Listar por tamaño no es capricho. Si listás al azar, es casi seguro que te falte alguno de los de dos elementos o que te olvides del ∅. Por tamaño, cada renglón es una pregunta chica y cerrada: "¿cuáles hay de dos?".

El producto cartesiano. |A × P(A)| = |A| · |P(A)| = 3 · 8 = 24. No hace falta listarlos: el cardinal de un producto es el producto de los cardinales.

Un elemento típico de ese conjunto es el par (2, {1,3}): primera coordenada un elemento de A, segunda coordenada un subconjunto de A.

Control: 2ⁿ crece rápido. Si A tuviera 10 elementos, P(A) tendría 1024. Cuando un ejercicio pide listar P(A), el conjunto siempre es chico — si te da más de 8 o 16, releé el enunciado.

La pregunta que viene después: ¿cuántos elementos tiene P(A × P(A))? Se resuelve de adentro hacia afuera, sin listar nada:

|P(A)| = 2³ = 8
|A × P(A)| = 3 · 8 = 24
|P(A × P(A))| = 2²⁴ = 16.777.216

El error clásico acá es sumar o multiplicar exponentes en vez de calcular primero el cardinal de adentro. Un control instantáneo: el resultado es una potencia de 2, como tiene que ser todo cardinal de un conjunto de partes.

Y una que parece trampa y no lo es: ¿es cierto que A ⊆ A × P(A)? No, y la razón es de tipos, no de cantidad: los elementos de A son números, y los de A × P(A) son pares ordenados. Ningún número es un par, así que ni siquiera hay un elemento en común. Es el mismo cuidado que hay que tener con los niveles de P(A): mirar qué clase de objeto es cada elemento antes de comparar dos conjuntos.

Dónde se cae la mayoría

Creer que A × B = B × A. En el producto cartesiano el orden importa.
Olvidar ∅ y A al listar P(A). Siempre están.
Confundir los niveles: los elementos de P(A) son conjuntos, así que {1} ∈ P(A) pero 1 ∉ P(A).

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Producto cartesiano y partes →

Ver todos los temas de Álgebra A