Álgebra A (62) · Unidad 1 — Conjuntos
Producto cartesiano y partes
Dos construcciones nuevas: el producto cartesiano, donde el orden sí importa, y el conjunto de partes, cuyos elementos son conjuntos.
La explicación
Producto cartesiano
Los elementos son pares ordenados. A diferencia de los conjuntos, acá el orden importa: (1, 2) y (2, 1) son pares distintos.
A × B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}
B × A = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}
No son el mismo conjunto: A × B ≠ B × A. Los dos productos coinciden solamente en dos situaciones: cuando A = B, o cuando alguno de los dos es vacío (y ahí los dos dan ∅). En cualquier otro caso son conjuntos distintos.
El ejemplo que ya conocés es ℝ × ℝ = ℝ², el plano: cada punto es un par ordenado (x, y). Y ℝ³ = ℝ × ℝ × ℝ. Toda la unidad 4 vive ahí adentro.
Conjunto de partes
Es el conjunto de todos los subconjuntos de A. Ojo con el cambio de nivel: los elementos de P(A) son conjuntos, no elementos de A.
P(A) = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }
Por qué 2ⁿ. Armar un subconjunto es decidir, para cada elemento, si entra o no entra: dos opciones por elemento, n elementos independientes, 2ⁿ combinaciones. Ese razonamiento vale la pena entenderlo, porque es el mismo que aparece en combinatoria.
Cómo se relacionan
Esa equivalencia convierte una pregunta sobre ∈ en una sobre ⊆, que suele ser más fácil de chequear.
Y hay una segunda equivalencia que se toma seguido, porque parece obvia y hay que saber justificarla:
De izquierda a derecha: si X ⊆ A y A ⊆ B, entonces X ⊆ B por transitividad, así que todo elemento de P(A) está en P(B). De derecha a izquierda alcanza con un caso: A ∈ P(A), y si P(A) ⊆ P(B), entonces A ∈ P(B), o sea A ⊆ B.
Contar antes de escribir
Muchos ejercicios se resuelven contando y no listando. Las dos fórmulas se combinan, y ahí es donde se equivoca todo el mundo:
|A × B| = 3 · 2 = 6
|P(A)| = 2³ = 8
|P(A × B)| = 26 = 64
Y un control que no falla: |P(X)| tiene que ser una potencia de 2, siempre, para cualquier X. Si en un ejercicio te da 6, 12 o 30, hay un error de conteo garantizado — ni siquiera hace falta revisar de dónde salió.
Sea A = {1, 2, 3}. Calcular |P(A)|, listar P(A), y decir cuántos elementos tiene A × P(A).
El cardinal primero. A tiene 3 elementos, así que |P(A)| = 2³ = 8. Saber de antemano cuántos tienen que salir es la mejor forma de no olvidarse ninguno.
La lista, ordenada por tamaño — así no se escapa ninguno:
de 1 elemento: {1}, {2}, {3}
de 2 elementos: {1,2}, {1,3}, {2,3}
de 3 elementos: {1,2,3}
Son 1 + 3 + 3 + 1 = 8. Cierra con lo que habíamos calculado.
El producto cartesiano. |A × P(A)| = |A| · |P(A)| = 3 · 8 = 24. No hace falta listarlos: el cardinal de un producto es el producto de los cardinales.
Un elemento típico de ese conjunto es el par (2, {1,3}): primera coordenada un
elemento de A, segunda coordenada un subconjunto de A.
Control: 2ⁿ crece rápido. Si A tuviera 10 elementos, P(A) tendría 1024. Cuando un ejercicio pide listar P(A), el conjunto siempre es chico — si te da más de 8 o 16, releé el enunciado.
|A × P(A)| = 3 · 8 = 24
|P(A × P(A))| = 224 = 16.777.216
Y una que parece trampa y no lo es: ¿es cierto que A ⊆ A × P(A)? No, y la razón es de tipos, no de cantidad: los elementos de A son números, y los de A × P(A) son pares ordenados. Ningún número es un par, así que ni siquiera hay un elemento en común. Es el mismo cuidado que hay que tener con los niveles de P(A): mirar qué clase de objeto es cada elemento antes de comparar dos conjuntos.
Sean A y B conjuntos finitos con |A| = 4, |B| = 3 y |A ∩ B| = 2. Calcular |A ∪ B|, |A × B|, |P(A ∩ B)| y la cantidad de funciones distintas que hay de A en B.
Son cuatro cuentas con cuatro fórmulas distintas, y el ejercicio está armado justamente para ver si no se mezclan.
El cardinal de la unión, con el principio de inclusión-exclusión:
|A ∪ B| = 4 + 3 − 2 = 5
Por qué se resta. Al sumar 4 + 3 los elementos de la intersección se contaron dos veces, una por cada conjunto. Restar |A ∩ B| los deja contados una sola vez. Si A y B fueran disjuntos, el término sería 0 y la unión tendría 7.
El cardinal del producto cartesiano:
Acá no importa la intersección: A × B son pares ordenados (a, b), y cada uno de los 4 elementos de A se combina con cada uno de los 3 de B, aunque algunos coincidan como objetos.
El conjunto de partes de la intersección:
Si la intersección es {a, b}, sus partes son ∅, {a}, {b} y {a, b}. Cuatro.
La cantidad de funciones de A en B, que es la que más se equivoca. Una función le asigna a cada elemento de A exactamente un elemento de B. Hay 4 elementos en A y, para cada uno, 3 destinos posibles:
La regla general es |B|^|A|, o sea el cardinal del destino elevado al cardinal del origen. Al revés (4³ = 64) daría la cantidad de funciones de B en A, que es otra pregunta.
Cómo no confundirse: cada elemento del dominio «elige» una imagen, así que hay tantas elecciones como elementos del dominio, y cada una tiene tantas opciones como elementos del codominio. El que elige va en el exponente.
Un control que cierra: de estas 81 funciones, ninguna puede ser inyectiva, porque no entran 4 elementos distintos en un conjunto de 3. Y sobreyectivas hay 36 (las 81 menos las que no usan alguno de los tres valores). Si el parcial pide esas, el camino es el mismo principio de inclusión-exclusión del primer ítem.
Dónde se pierde el punto: calcular 4³ en vez de 3⁴, y restar la intersección en el producto cartesiano. Cada fórmula usa los datos que usa: la unión necesita la intersección, el producto no.
Dónde se cae la mayoría
- Creer que A × B = B × A. En el producto cartesiano el orden importa.
- Olvidar ∅ y A al listar P(A). Siempre están.
- Confundir los niveles: los elementos de P(A) son conjuntos, así que {1} ∈ P(A) pero 1 ∉ P(A).
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Producto cartesiano y partes →Los otros temas de la unidad 1
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