Álgebra A (62) · Unidad 2 — Números complejos

Forma binómica: suma y producto

Se agrega un número i que cumple i² = −1, y con eso todo polinomio pasa a tener raíces. Un complejo se escribe a + bi y se opera como cualquier expresión algebraica.

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La explicación

De dónde sale

En ℝ la ecuación x² + 1 = 0 no tiene solución: ningún real elevado al cuadrado da negativo. La salida es agregar un número nuevo que sí la resuelva:

i² = −1

Con ese único agregado se construye todo lo demás.

ℂ = {a + bi : a, b ∈ ℝ}

La escritura a + bi se llama forma binómica. El número a es la parte real, Re(z) = a, y b es la parte imaginaria, Im(z) = b.

Im(z) es un número real, no incluye la i. Si z = 3 − 5i, entonces Im(z) = −5, no −5i. Es un error de arrastre que después rompe las cuentas de módulo y argumento.

Igualdad

z = w ⟺ Re(z) = Re(w) y Im(z) = Im(w)

Una ecuación con complejos equivale a dos ecuaciones reales. Ese desdoblamiento resuelve muchísimos ejercicios: se separa parte real de parte imaginaria y quedan dos ecuaciones comunes.

Suma y producto

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

La suma es coordenada a coordenada, igual que sumar vectores del plano.

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

No hay que memorizar esa fórmula. Se multiplica con la distributiva de siempre y al final se reemplaza i² por −1:

(3 + 2i)(1 − i)
= 3 − 3i + 2i − 2i²
= 3 − i − 2(−1)
= 5 − i

La suma y el producto son conmutativos y asociativos, y vale la distributiva. Todas las reglas del álgebra de siempre siguen funcionando: lo único nuevo es i² = −1.

Potencias de i

i¹ = i i² = −1 i³ = −i i⁴ = 1 i⁵ = i …

Se repiten con período 4. Para calcular iⁿ, se divide n por 4 y se mira el resto: resto 0 → 1, resto 1 → i, resto 2 → −1, resto 3 → −i.

Con exponentes grandes se hace de cabeza, sin calculadora: i²⁰²⁶ tiene 2026 = 4·506 + 2, resto 2, así que da −1. Y hay un atajo para el resto por 4 que conviene saber: alcanza con mirar las dos últimas cifras del exponente, porque 100 es múltiplo de 4. En 2026 mirás el 26, que deja resto 2. Listo.

Lo que se pierde al agrandar el conjunto

Pasar de ℝ a ℂ regala raíces, pero cobra un precio que se toma en los parciales: ℂ no está ordenado. No existe ningún «menor» que respete las operaciones, así que escribir 2 + i < 3 + i no tiene sentido — no es falso, directamente no es una afirmación válida.

La razón, en una línea: en cualquier orden compatible con la multiplicación, todo cuadrado tiene que ser ≥ 0. Pero i² = −1, que tendría que ser ≥ 0 y < 0 al mismo tiempo. No hay orden posible.

¿Qué sí se puede comparar? El módulo, que es un número real: |z₁| < |z₂| está perfectamente bien y es lo que suele pedir el enunciado cuando habla de «el más chico». También se comparan las partes reales entre sí, o las imaginarias entre sí, porque son reales. Lo que no existe es comparar los complejos como tales.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular (2 + 3i)(1 − i) + i^15, y dar el resultado en forma binómica.

El producto, distribuyendo:

(2 + 3i)(1 − i)
= 2 − 2i + 3i − 3i²
= 2 + i − 3(−1)
= 5 + i

La potencia, con el período 4: 15 dividido 4 da 3 de cociente y resto 3. Entonces i^15 = i³ = −i.

Otra forma de verlo: i^15 = i^12 · i³ = (i⁴)³ · i³ = 1³ · i³ = −i. Es el mismo razonamiento, escrito largo. Con el resto sale directo, y cuando el exponente es 103 la diferencia se nota.

Sumando:

(5 + i) + (−i) = 5

El resultado es real. Eso no tiene nada de raro: los reales son los complejos con parte imaginaria cero, así que ℝ ⊆ ℂ.

Control: si al final te queda un i² suelto, no terminaste. Y si al reemplazar i² = −1 el signo no te cambia, revisá: la gracia de i² es justamente que cambia el signo.

La misma cuenta, con una potencia alta adentro. Si el enunciado hubiera pedido (5 + i) + i²⁰²⁶, no hay que desarrollar nada: 2026 termina en 26, que dividido por 4 deja resto 2, así que i²⁰²⁶ = −1 y el resultado es 4 + i. Toda potencia de i, por grande que sea, es una de cuatro cosas — y reducirla es siempre el primer paso, antes de cualquier suma.

La pregunta que no se puede contestar. Si a continuación te preguntan cuál de los dos resultados «es mayor», la respuesta correcta es que la pregunta no tiene sentido: en ℂ no hay orden. Lo que sí se puede comparar son los módulos, |5| = 5 contra |4 + i| = √17 ≈ 4,12, y entonces sí: el primero tiene módulo mayor. Escribir «5 > 4 + i» en un parcial es un error conceptual, aunque el número te dé bien.

Y uno del nivel del parcial

Calcular (1 + i)⁸ y (2 − i)·(3 + 2i) − i^2026, dando los dos resultados en forma binómica.

Primera cuenta: (1 + i)⁸. Desarrollar el binomio de Newton con exponente 8 es posible y es una pérdida de tiempo. El atajo es elevar al cuadrado primero.

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i

Ese 2i es el descubrimiento del ejercicio: el cuadrado de 1 + i es imaginario puro, así que las potencias grandes salen solas.

(1 + i)⁸ = [(1 + i)²]⁴ = (2i)⁴ = 2⁴ · i⁴ = 16 · 1 = 16

El resultado es real, sin parte imaginaria. Control por módulo y argumento: |1 + i| = √2 y su argumento es π/4, así que el módulo de la potencia es (√2)⁸ = 16 y el argumento 8·(π/4) = 2π, o sea una vuelta entera. Módulo 16 y argumento 0: el número 16 ✓.

Segunda cuenta, primer término. Se distribuye como un producto de binomios, recordando que i² = −1:

(2 − i)(3 + 2i) = 6 + 4i − 3i − 2i²
= 6 + i − 2·(−1) = 6 + i + 2 = 8 + i

El −2i² se convierte en +2, y ese cambio de signo es el error más frecuente de toda la unidad.

Ahora la potencia de i. Las potencias de i se repiten de a cuatro:

i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, i⁵ = i, …

Así que solo importa el resto de dividir el exponente por 4:

2026 = 4 · 506 + 2 → resto 2
i^2026 = i² = −1

El truco rápido para el resto: como 100 es múltiplo de 4, alcanza con mirar las dos últimas cifras. 26 dividido 4 da resto 2 ✓. No hace falta dividir el número entero.

Se junta todo, con cuidado con el signo de la resta:

(2 − i)(3 + 2i) − i^2026 = (8 + i) − (−1) = 8 + i + 1 = 9 + i

Dónde se pierde el punto: restar i^2026 como si valiera +1, o calcular el resto de 2026 dividido 2 en vez de 4. Y desarrollar (1 + i)⁸ a mano: sale, pero en un parcial cronometrado ese camino cuesta diez minutos y tres errores de signo.

Dónde se cae la mayoría

Decir que Im(3 − 5i) es −5i. La parte imaginaria es el número real −5.
Memorizar la fórmula del producto en vez de distribuir y reemplazar i² = −1. Memorizada se confunden los signos.
Calcular i^27 sin usar el período 4. Con el resto de dividir por 4 sale en un renglón.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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