Álgebra A (62) · Unidad 2 — Números complejos
Conjugado, módulo e inverso
El conjugado se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria, y es la herramienta que permite dividir complejos.
La explicación
Conjugado
En el plano es el reflejo respecto del eje real. Propiedades que se usan todo el tiempo:
z + w = z̄ + w̄ respeta la suma
z · w = z̄ · w̄ y el producto
z + z̄ = 2 Re(z) sumarlos mata la parte imaginaria
z − z̄ = 2 Im(z) i
La quinta da un criterio corto: z es real ⟺ z = z̄.
Módulo
Es la distancia al origen en el plano, por Pitágoras. Siempre es un número real ≥ 0.
Cuidado: el módulo respeta el producto pero no la suma. En general |z + w| ≠ |z| + |w|; lo que vale es la desigualdad triangular: |z + w| ≤ |z| + |w|.
Inverso y división
En la práctica no se usa la fórmula: se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, que es lo mismo pero sale solo.
───── = ───────────── = ─────────────── = ───────
1 − i (1 − i)(1 + i) 1 + 1 2
Y el resultado en forma binómica es −1/2 + (5/2)i. El denominador siempre queda real: si te quedó con i, te equivocaste de conjugado.
Calcular (3 + i)/(1 − 2i) en forma binómica, y verificar el resultado con módulos.
Paso 1: multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador, que es 1 + 2i.
────────────── = ──────────────── = ────────── = ──────
(1 − 2i)(1 + 2i) 1 + 4 5 5
El denominador salió de z·z̄ = |z|² = 1² + 2² = 5. Nunca hace falta distribuir abajo: el resultado es siempre el módulo al cuadrado.
Paso 2: separar en forma binómica.
Por qué conviene hacer siempre esa verificación. El error típico en estas divisiones es un signo perdido al distribuir, y un signo cambiado casi siempre cambia el módulo. Son diez segundos y te ahorra el punto.
Hallar a, b ∈ ℝ tales que (a + b·i)/(2 − i) = 1 + 3i. Verificar el resultado de dos maneras distintas.
El ejercicio se puede hacer de dos formas, y una es mucho más corta. La larga: multiplicar por el conjugado, separar parte real e imaginaria, y resolver un sistema de dos ecuaciones. La corta: despejar primero.
El camino corto. Si un cociente vale 1 + 3i, el numerador es el denominador por ese valor:
Se distribuye:
= 2 + 5i − 3·(−1) = 2 + 5i + 3 = 5 + 5i
Se igualan las partes real e imaginaria, que es lo que permite despejar dos incógnitas reales de una sola ecuación compleja:
Primera verificación: rehacer la división. Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador:
abajo: (2 − i)(2 + i) = 2² + 1² = 5
Fijate en el denominador: (2 − i)(2 + i) da 5, un número real. Eso es lo que hace el conjugado y por eso se usa, y de paso |2 − i|² = 5 también: el producto de un complejo por su conjugado es el módulo al cuadrado.
Segunda verificación, independiente: por módulos. El módulo de un cociente es el cociente de los módulos, así que la igualdad tiene que cumplirse también en módulo:
|2 − i| = √(4 + 1) = √5
5√2/√5 = 5·√(2/5) = √50/√5 = √10
Este segundo control es el que más sirve, porque no repite la cuenta original: si te equivocaste en un signo al distribuir, los módulos no van a coincidir. Rehacer la división puede repetir el mismo error; comparar módulos, no.
Dónde se pierde el punto: multiplicar por (2 − i) en vez de despejar, o armar el sistema de dos ecuaciones sin necesidad. Y al verificar, usar el conjugado equivocado: el conjugado de 2 − i es 2 + i, se cambia el signo de la parte imaginaria, nada más.
Dónde se cae la mayoría
- Usar |z + w| = |z| + |w|. El módulo respeta el producto, no la suma.
- Multiplicar por el conjugado sólo arriba. Va arriba y abajo, si no cambiás el número.
- Dejar la respuesta como fracción con i abajo. Racionalizar es parte del ejercicio.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Conjugado, módulo e inverso →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La ecuación con el conjugado25 puntos · resuelto paso a paso
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Números complejos