Álgebra A (62) · Unidad 2 — Números complejos

Conjugado, módulo e inverso

El conjugado se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria, y es la herramienta que permite dividir complejos.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Conjugado

si z = a + bi, entonces z̄ = a − bi

En el plano es el reflejo respecto del eje real. Propiedades que se usan todo el tiempo:

z̄̄ = z el conjugado del conjugado
z + w = z̄ + w̄ respeta la suma
z · w = z̄ · w̄ y el producto
z + z̄ = 2 Re(z) sumarlos mata la parte imaginaria
z − z̄ = 2 Im(z) i

La cuarta da un criterio corto: z es real ⟺ z = z̄.

Módulo

|z| = √(a² + b²)

Es la distancia al origen en el plano, por Pitágoras. Siempre es un número real ≥ 0.

z · z̄ = |z|²

Esa identidad es el motor de toda la unidad. Se comprueba en un renglón: (a+bi)(a−bi) = a² − (bi)² = a² + b². Multiplicar un complejo por su conjugado da un número real, y eso es exactamente lo que hace falta para dividir.

|z̄| = |z| |−z| = |z| |z·w| = |z|·|w| |z/w| = |z|/|w|

Cuidado: el módulo respeta el producto pero no la suma. En general |z + w| ≠ |z| + |w|; lo que vale es la desigualdad triangular: |z + w| ≤ |z| + |w|.

Inverso y división

z⁻¹ = z̄ / |z|² (si z ≠ 0)

En la práctica no se usa la fórmula: se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, que es lo mismo pero sale solo.

2 + 3i (2 + 3i)(1 + i) 2 + 2i + 3i − 3 −1 + 5i
───── = ───────────── = ─────────────── = ───────
1 − i (1 − i)(1 + i) 1 + 1 2

Y el resultado en forma binómica es −1/2 + (5/2)i. El denominador siempre queda real: si te quedó con i, te equivocaste de conjugado.

Ejemplo resuelto

Calcular (3 + i)/(1 − 2i) en forma binómica, y verificar el resultado con módulos.

Paso 1: multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador, que es 1 + 2i.

(3 + i)(1 + 2i) 3 + 6i + i + 2i² 3 + 7i − 2 1 + 7i
────────────── = ──────────────── = ────────── = ──────
(1 − 2i)(1 + 2i) 1 + 4 5 5

El denominador salió de z·z̄ = |z|² = 1² + 2² = 5. Nunca hace falta distribuir abajo: el resultado es siempre el módulo al cuadrado.

Paso 2: separar en forma binómica.

1/5 + (7/5) i o sea 0,2 + 1,4 i

Verificación con módulos, que es rápida y detecta casi cualquier error de cuenta. Como |z/w| = |z|/|w|:

|3 + i| = √10 |1 − 2i| = √5 el cociente debe medir √10/√5 = √2

Y el resultado que obtuvimos mide √(0,04 + 1,96) = √2. ✔

Por qué conviene hacer siempre esa verificación. El error típico en estas divisiones es un signo perdido al distribuir, y un signo cambiado casi siempre cambia el módulo. Son diez segundos y te ahorra el punto.

Dónde se cae la mayoría

Usar |z + w| = |z| + |w|. El módulo respeta el producto, no la suma.
Multiplicar por el conjugado sólo arriba. Va arriba y abajo, si no cambiás el número.
Dejar la respuesta como fracción con i abajo. Racionalizar es parte del ejercicio.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Conjugado, módulo e inverso →

Ver todos los temas de Álgebra A