Álgebra A (62) · Unidad 2 — Números complejos

Forma polar y exponencial

En vez de dar las dos coordenadas, se da cuánto mide el vector y qué ángulo forma. Con eso multiplicar se vuelve trivial.

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La explicación

Las dos coordenadas nuevas

|z| = √(a² + b²) el módulo: cuánto mide
arg(z) = θ el argumento: qué ángulo forma con el eje real

Por convención se toma el argumento en [0, 2π). Queda definido por las dos condiciones juntas:

cos θ = a/|z| sen θ = b/|z|

Hacen falta las dos. Si sólo usás el arcotangente de b/a, la calculadora no distingue el primer cuadrante del tercero ni el segundo del cuarto: tan(θ) vale lo mismo en ángulos opuestos. Mirá en qué cuadrante cae el punto y corregí. Es el error más frecuente de todo el tema.

Las tres escrituras

binómica: z = a + bi
polar: z = |z| (cos θ + i sen θ)
exponencial: z = |z| e^iθ

Son la misma cosa escrita distinto. La exponencial es sólo una abreviatura de la polar, pero es la que hace evidentes las reglas de abajo.

Para qué sirve: multiplicar es sumar ángulos

z · w = |z||w| e^{i(α + β)} los módulos se multiplican, los ángulos se suman
z / w = (|z|/|w|) e^{i(α − β)}
z̄ = |z| e^−iθ el conjugado es el ángulo opuesto

Eso explica algo que en binómica parecía casual: multiplicar por i es girar 90°. Como i = 1·e^iπ/2, multiplicar por i deja el módulo igual y suma π/2 al ángulo.

Ángulos que conviene tener de memoria

1 → θ = 0 i → θ = π/2
−1 → θ = π −i → θ = 3π/2
1 + i → θ = π/4 −1 + i → θ = 3π/4

Si las componentes son iguales en valor absoluto, el ángulo es múltiplo impar de π/4. Si una es cero, el ángulo es múltiplo de π/2.

El error que se lleva más puntos: el cuadrante

La tentación es calcular el argumento con la calculadora, haciendo θ = arctan(b/a). El problema es que la arcotangente devuelve siempre algo entre −90° y 90°, así que para todo lo que esté a la izquierda del eje imaginario da el ángulo equivocado, exactamente 180° corrido:

z = 1 + i arctan(1/1) = 45° → el argumento es 45° ✔
z = −1 + i arctan(1/−1) = −45° → pero el argumento es 135°
z = −1 − i arctan(−1/−1) = 45° → pero el argumento es 225°
z = 1 − i arctan(−1/1) = −45° → el argumento es 315° (= −45°) ✔

Los cuatro tienen el mismo módulo, √2, y arctan solo distingue dos ángulos: los cuatro puntos están en cuadrantes distintos y la cuenta no los puede separar. El procedimiento seguro es siempre el mismo: primero dibujar el punto para saber en qué cuadrante cae, después calcular el ángulo de referencia con la arcotangente de los valores absolutos, y recién ahí ubicarlo en su cuadrante. Si a y b son negativos, el argumento está en el tercer cuadrante y tiene que quedar entre 180° y 270°; si sale −45°, hay que corregirlo.

El otro detalle de vocabulario que se toma: el argumento no es único. Sumarle 2π da el mismo número complejo, porque es el mismo punto después de dar una vuelta entera. Cuando el enunciado pide «el argumento principal» está pidiendo el que cae en [0, 2π) — o en (−π, π], según la convención que use la cátedra, que conviene mirar en el enunciado antes de contestar.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Escribir z = −1 + i en forma polar y exponencial, y usar eso para calcular z · i.

Módulo: |z| = √(1 + 1) = √2.

Argumento. Primero, ¿en qué cuadrante está? Parte real negativa y parte imaginaria positiva: segundo cuadrante. Ahora sí:

cos θ = −1/√2 sen θ = 1/√2

El ángulo con esos valores es θ = 3π/4 (135°).

Si hubieras hecho sólo arctan(1/(−1)) = arctan(−1), la calculadora devuelve −π/4, que está en el cuarto cuadrante y es el ángulo de 1 − i, un número distinto. Por eso primero se ubica el cuadrante.

z = √2 (cos(3π/4) + i sen(3π/4)) = √2 e^i·3π/4

Ahora el producto por i. Como i = 1 · e^iπ/2:

z · i = √2 · 1 · e^{i(3π/4 + π/2)} = √2 e^i·5π/4

Verificación en binómica: (−1 + i)·i = −i + i² = −1 − i. Y ese número está en el tercer cuadrante, mide √2, y su ángulo es 5π/4 (225°). ✔

Lo que hay que retener: multiplicar por i no cambió el tamaño y giró el número un cuarto de vuelta. Eso es lo que la forma polar hace visible y la binómica esconde.

Dónde se rompe este ejercicio si se va rápido. El número de partida es −1 + i, que está en el segundo cuadrante. Si el argumento se saca con la calculadora, arctan(1/−1) da −45°, que apunta al cuarto cuadrante: 180° de error, y con él se arruina todo lo que sigue. El ángulo correcto es 3π/4 (135°), y la forma de estar seguro es dibujar el punto antes de tocar la calculadora — un paso que lleva cinco segundos y salva el ejercicio entero.

El control que conviene hacer siempre al final: volver a binómica y comparar signos, que es lo que se hizo recién. Si el resultado en polar cae en un cuadrante y el mismo resultado en binómica cae en otro, el error está en el argumento de partida, casi seguro por el cuadrante. El módulo, en cambio, rara vez falla: se calcula con un radical de cuadrados y no depende de ningún signo.

Y uno del nivel del parcial

Escribir z = 2 − 2√3·i en forma polar y exponencial, y usar el teorema de De Moivre para calcular z⁶.

La forma polar necesita dos datos: el módulo y el argumento. El módulo sale de Pitágoras y no da problemas; el argumento es donde está toda la dificultad del ejercicio.

El módulo:

|z| = √(2² + (−2√3)²) = √(4 + 4·3) = √16 = 4

El argumento. Lo primero es ubicar el punto: la parte real es positiva (2) y la imaginaria negativa (−2√3), así que z está en el cuarto cuadrante. Anotarlo antes de tocar la calculadora es lo que evita el error.

cos θ = 2/4 = 1/2
sen θ = −2√3/4 = −√3/2

Coseno positivo y seno negativo confirman el cuarto cuadrante, y el ángulo que cumple las dos cosas es:

θ = −π/3 (equivalentemente 5π/3)

Por qué no alcanza con la tangente. tg θ = −√3, y eso lo cumplen −π/3 y también 2π/3, que está en el segundo cuadrante. La tangente no distingue; el par (coseno, seno) sí.

Las dos formas pedidas:

polar: z = 4·(cos(−π/3) + i·sen(−π/3))
exponencial: z = 4·e^(−i·π/3)

Ahora De Moivre, que dice que al elevar a la n se eleva el módulo y se multiplica el argumento:

zⁿ = |z|ⁿ · (cos(n·θ) + i·sen(n·θ))

z⁶ = 4⁶ · (cos(6·(−π/3)) + i·sen(6·(−π/3)))
= 4096 · (cos(−2π) + i·sen(−2π))

Y acá sale el remate: −2π es una vuelta entera hacia atrás, así que el coseno vale 1 y el seno 0:

z⁶ = 4096 · (1 + 0i) = 4096

Un número real positivo, después de elevar a la sexta un complejo del cuarto cuadrante. No es casualidad: el argumento −π/3 es exactamente un sexto de vuelta, así que elevar a la 6 lo lleva a dar la vuelta completa y caer sobre el eje real positivo.

Control: 4⁶ = 4096, y 4096 también es 2¹², coherente con que |z| = 4 = 2². Si hubieras usado el argumento 2π/3 (el del cuadrante equivocado), el resultado habría sido 4096·(cos 4π + i sen 4π) = 4096 igual — pero eso es casualidad de este exponente, y con z³ los dos caminos darían opuestos.

Dónde se pierde el punto: tomar θ = π/3 sin el menos, o sacarlo de arctg(−√3) sin mirar el cuadrante. En forma polar el signo del argumento es el que ubica el número en el plano.

Dónde se cae la mayoría

Sacar el argumento sólo con arctan(b/a) y quedarse en el cuadrante equivocado.
Dar el argumento en grados cuando el ejercicio pide radianes, o al revés.
Mezclar formas: escribir |z|(cos θ + sen θ) sin la i, que no es ningún número complejo conocido.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — La ecuación con el conjugado25 puntos · resuelto paso a paso

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