Álgebra A (62) · Unidad 2 — Números complejos
De Moivre: potencias y raíces
Elevar a una potencia en forma polar es elevar el módulo y multiplicar el ángulo. Dado vuelta, eso da las n raíces n-ésimas, que quedan repartidas parejo sobre una circunferencia.
La explicación
Potencias: el teorema de De Moivre
Sale de aplicar n veces la regla del producto: cada multiplicación suma un θ más.
Cada vez que veas una potencia alta de un complejo, pasá a polar. No es una alternativa: es el método.
Raíces n-ésimas
Una raíz n-ésima de w es un z que cumple zn = w. En ℝ un número tiene a lo sumo dos raíces; en ℂ, todo complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas.
Leída despacio, la fórmula dice tres cosas:
2. La primera tiene ángulo arg(w)/n.
3. Cada siguiente está 2π/n más adelante.
Es decir: las n raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscripto en la circunferencia de radio |w|1/n. Ese dibujo es la mejor manera de acordarse de la fórmula y de controlar el resultado.
Raíces de la unidad
Están todas sobre la circunferencia de radio 1, repartidas parejo, y una de ellas es siempre el 1. Para n = 4 son 1, i, −1, −i.
Una propiedad que suelen preguntar: la suma de todas las raíces n-ésimas de la unidad es 0 (para n ≥ 2). Se ve en el dibujo — son los vértices de un polígono regular centrado en el origen, así que el promedio de todos cae justo en el centro — y se demuestra en una línea con polinomios: son las n raíces de zn − 1, cuyo coeficiente de zn−1 es 0, y la suma de las raíces es ese coeficiente cambiado de signo.
Cómo se hace en la práctica
El procedimiento siempre es el mismo, y conviene hacerlo en este orden para no perderse:
- Pasar w a polar: módulo y argumento.
- Sacar la raíz n-ésima real del módulo.
- Dividir el argumento por n: ésa es la primera raíz.
- Sumar 360°/n repetidamente hasta tener las n.
módulo de las raíces: ∛8 = 2
argumentos: 180/3 = 60°, 180°, 300°
z₀ = 2(cos 60° + i sen 60°) = 1 + √3 i
z₁ = 2(cos 180° + i sen 180°) = −2
z₂ = 2(cos 300° + i sen 300°) = 1 − √3 i
Notá que la raíz «obvia» —el −2 real— aparece como una más de las tres, sin ningún privilegio. Ése es el punto del tema: en ℂ todo número distinto de cero tiene exactamente n raíces n-ésimas, ni una más ni una menos. En ℝ, en cambio, −8 tenía una sola raíz cúbica y −4 no tenía ninguna raíz cuadrada.
Hallar todas las raíces cúbicas de 8i y ubicarlas en el plano.
Paso 1: pasar 8i a polar. |8i| = 8, y está sobre el eje imaginario positivo, así que arg(8i) = π/2.
Paso 2: el módulo de las raíces. Todas miden lo mismo:
Paso 3: los ángulos. El primero es (π/2)/3 = π/6 (30°), y de ahí en más se avanza 2π/3 (120°) cada vez:
Paso 4: pasar a binómica.
z1 = 2(cos150° + i sen150°) = −√3 + i
z2 = 2(cos270° + i sen270°) = −2i
Segundo control, más fuerte: verificar una. (−2i)³ = −8i³ = −8(−i) = 8i ✔.
Tercer control: la suma de las tres raíces tiene que dar 0, porque son los vértices de un polígono regular centrado en el origen y el promedio de todos cae en el centro. Y efectivamente (√3 + i) + (−√3 + i) + (−2i) = 0.
Y la variante que suele venir en el mismo ejercicio: «¿cuál de las tres tiene el argumento más chico?». No hace falta calcular nada nuevo: los argumentos son 30°, 150° y 270°, así que es z₀ = √3 + i. Ese tipo de pregunta se contesta desde la lista de argumentos, que conviene escribir siempre antes de pasar a forma binómica — una vez que convertiste a a + bi, el ángulo deja de estar a la vista y hay que reconstruirlo.
Hallar las cuatro raíces cuartas de −16, escribirlas en forma binómica y verificar que suman cero.
Primero hay que escribir el −16 en forma polar, porque la fórmula de las raíces trabaja con módulo y argumento, no con la forma binómica.
El −16 está sobre el eje real negativo: módulo 16, argumento π (media vuelta).
La fórmula de las n raíces n-ésimas:
El módulo de todas es el mismo, y es la raíz real positiva:
Los cuatro argumentos, reemplazando k = 0, 1, 2, 3:
k = 1: (π + 2π)/4 = 3π/4
k = 2: (π + 4π)/4 = 5π/4
k = 3: (π + 6π)/4 = 7π/4
Cada uno está a π/2 del anterior, o sea a un cuarto de vuelta. Eso siempre pasa: las n raíces n-ésimas están en los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el origen. Acá, un cuadrado de «radio» 2.
Ahora a forma binómica. Los cuatro ángulos tienen seno y coseno ±√2/2, así que 2·(±√2/2) = ±√2:
w₁ = −√2 + √2·i = √2·(−1 + i)
w₂ = −√2 − √2·i = √2·(−1 − i)
w₃ = √2 − √2·i = √2·(1 − i)
Verificación 1: que cada una elevada a la cuarta dé −16. Alcanza con hacer una y el resto sale por simetría:
w₀⁴ = (4i)² = 16·i² = −16 ✓
Verificación 2: que sumen cero, que es lo que pide el enunciado:
Por qué suman cero, sin hacer la cuenta. Las raíces son los vértices de un cuadrado centrado en el origen, así que vienen de a pares opuestos: w₂ = −w₀ y w₃ = −w₁. Cada par se cancela. Esto vale para las n raíces n-ésimas de cualquier número siempre que n ≥ 2: siempre suman 0.
La otra lectura del mismo hecho: las raíces son las soluciones de x⁴ + 16 = 0, y por las relaciones entre coeficientes y raíces, la suma de las raíces es menos el coeficiente de x³ dividido por el principal. Como no hay término en x³, ese coeficiente es 0.
Dónde se pierde el punto: dar solo dos raíces, o usar argumento 0 para el −16 «porque es real». Un número real negativo tiene argumento π, y ahí está toda la diferencia: con argumento 0 las raíces darían ±2 y ±2i, que son las de +16.
Dónde se cae la mayoría
- Dar una sola raíz n-ésima. Son exactamente n, y el ejercicio pide todas.
- Olvidar el 2kπ en la fórmula. Sin eso las n raíces salen todas iguales.
- Calcular una potencia alta en binómica. Con De Moivre son dos cuentas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar De Moivre: potencias y raíces →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La ecuación con el conjugado25 puntos · resuelto paso a paso
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