Álgebra A (62) · Unidad 2 — Números complejos

De Moivre: potencias y raíces

Elevar a una potencia en forma polar es elevar el módulo y multiplicar el ángulo. Dado vuelta, eso da las n raíces n-ésimas, que quedan repartidas parejo sobre una circunferencia.

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La explicación

Potencias: el teorema de De Moivre

zⁿ = |z|ⁿ (cos(nθ) + i sen(nθ)) = |z|ⁿ e^inθ

Sale de aplicar n veces la regla del producto: cada multiplicación suma un θ más.

Comparalo con hacerlo en binómica. Para calcular (1+i)⁸ distribuyendo harían falta siete multiplicaciones encadenadas. En polar: |1+i| = √2 y θ = π/4, entonces (√2)⁸ = 16 y el ángulo es 8·π/4 = 2π, que es lo mismo que 0. Resultado: 16. Un renglón.

Cada vez que veas una potencia alta de un complejo, pasá a polar. No es una alternativa: es el método.

Raíces n-ésimas

Una raíz n-ésima de w es un z que cumple zⁿ = w. En ℝ un número tiene a lo sumo dos raíces; en ℂ, todo complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas.

z_k = |w|^1/n · e^{i(arg(w) + 2kπ)/n} con k = 0, 1, …, n−1

Leída despacio, la fórmula dice tres cosas:

1. Todas tienen el mismo módulo: la raíz n-ésima real de |w|.
2. La primera tiene ángulo arg(w)/n.
3. Cada siguiente está 2π/n más adelante.

Es decir: las n raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscripto en la circunferencia de radio |w|^1/n. Ese dibujo es la mejor manera de acordarse de la fórmula y de controlar el resultado.

Raíces de la unidad

zⁿ = 1 ⟹ z_k = e^i·2kπ/n, k = 0, …, n−1

Están todas sobre la circunferencia de radio 1, repartidas parejo, y una de ellas es siempre el 1. Para n = 4 son 1, i, −1, −i.

Una propiedad que suelen preguntar: la suma de todas las raíces n-ésimas de la unidad es 0 (para n ≥ 2). Se ve en el dibujo — son los vértices de un polígono regular centrado en el origen, así que el promedio de todos cae justo en el centro — y se demuestra en una línea con polinomios: son las n raíces de zⁿ − 1, cuyo coeficiente de zⁿ⁻¹ es 0, y la suma de las raíces es ese coeficiente cambiado de signo.

Ojo con la justificación apurada de «se cancelan de a pares opuestos»: eso sirve para n par, pero con n impar no hay pares opuestos y la suma da 0 igual. Con n = 3 las tres raíces están a 120° una de otra y ninguna es la opuesta de otra.

Cómo se hace en la práctica

El procedimiento siempre es el mismo, y conviene hacerlo en este orden para no perderse:

Pasar w a polar: módulo y argumento.
Sacar la raíz n-ésima real del módulo.
Dividir el argumento por n: ésa es la primera raíz.
Sumar 360°/n repetidamente hasta tener las n.

w = −8 → |w| = 8, arg(w) = 180°
módulo de las raíces: ∛8 = 2
argumentos: 180/3 = 60°, 180°, 300°

z₀ = 2(cos 60° + i sen 60°) = 1 + √3 i
z₁ = 2(cos 180° + i sen 180°) = −2
z₂ = 2(cos 300° + i sen 300°) = 1 − √3 i

Tres controles que cuestan nada y atrapan casi cualquier error. Uno: las tres tienen el mismo módulo, 2. Dos: los argumentos están separados exactamente 120°. Tres: la suma de las tres da 0, porque forman un triángulo equilátero centrado en el origen — acá (1 + √3 i) + (−2) + (1 − √3 i) = 0 ✓. Y si querés verificar de verdad una de ellas, elevala al cubo: (−2)³ = −8, que era w.

Notá que la raíz «obvia» —el −2 real— aparece como una más de las tres, sin ningún privilegio. Ése es el punto del tema: en ℂ todo número distinto de cero tiene exactamente n raíces n-ésimas, ni una más ni una menos. En ℝ, en cambio, −8 tenía una sola raíz cúbica y −4 no tenía ninguna raíz cuadrada.

Ejemplo resuelto

Hallar todas las raíces cúbicas de 8i y ubicarlas en el plano.

Paso 1: pasar 8i a polar. |8i| = 8, y está sobre el eje imaginario positivo, así que arg(8i) = π/2.

Paso 2: el módulo de las raíces. Todas miden lo mismo:

|z_k| = 8^1/3 = 2

Paso 3: los ángulos. El primero es (π/2)/3 = π/6 (30°), y de ahí en más se avanza 2π/3 (120°) cada vez:

z₀: 30° z₁: 150° z₂: 270°

Paso 4: pasar a binómica.

z₀ = 2(cos30° + i sen30°) = √3 + i
z₁ = 2(cos150° + i sen150°) = −√3 + i
z₂ = 2(cos270° + i sen270°) = −2i

El dibujo hace de control. Tres puntos sobre la circunferencia de radio 2, separados 120°: forman un triángulo equilátero centrado en el origen. Si al graficar tus tres resultados no te queda equilátero, hay un error de cuenta en alguno.

Segundo control, más fuerte: verificar una. (−2i)³ = −8i³ = −8(−i) = 8i ✔.

Tercer control: la suma de las tres raíces tiene que dar 0, porque son los vértices de un polígono regular centrado en el origen y el promedio de todos cae en el centro. Y efectivamente (√3 + i) + (−√3 + i) + (−2i) = 0.

Por qué conviene verificar la fea y no la linda. Cuando hay que elegir una raíz para elevar al cubo, la más rápida de controlar es la que tiene una sola parte — acá −2i, donde el cálculo es una línea. Verificar √3 + i a mano lleva tres pasos más y es donde se cuelan los errores de cuenta. Si la fórmula estaba bien planteada, que una raíz cierre garantiza que las otras dos también, porque salen de la misma cuenta con otro k.

Y la variante que suele venir en el mismo ejercicio: «¿cuál de las tres tiene el argumento más chico?». No hace falta calcular nada nuevo: los argumentos son 30°, 150° y 270°, así que es z₀ = √3 + i. Ese tipo de pregunta se contesta desde la lista de argumentos, que conviene escribir siempre antes de pasar a forma binómica — una vez que convertiste a a + bi, el ángulo deja de estar a la vista y hay que reconstruirlo.

Dónde se cae la mayoría

Dar una sola raíz n-ésima. Son exactamente n, y el ejercicio pide todas.
Olvidar el 2kπ en la fórmula. Sin eso las n raíces salen todas iguales.
Calcular una potencia alta en binómica. Con De Moivre son dos cuentas.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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