Álgebra A (62) · Unidad 2 — Números complejos
Regiones del plano complejo
Una condición sobre |z| o arg(z) describe una figura geométrica. Leer la condición como una distancia es lo que convierte la ecuación en un dibujo.
La explicación
El módulo como distancia
Toda la lectura geométrica sale de ahí. Cada vez que veas un módulo, leelo como una distancia y la figura aparece sola.
Las figuras típicas
|z − z₀| = r circunferencia de centro z₀ y radio r
|z − z₀| < r el disco abierto (el borde no entra)
|z − z₀| ≤ r el disco cerrado (el borde entra)
r₁ < |z| < r₂ una corona entre dos circunferencias
la mediatriz del segmento ab
Condiciones sobre las partes
Im(z) > 0 el semiplano de arriba
Re(z) = Im(z) la recta y = x
Estas son las más fáciles: se escribe z = x + yi y la condición se convierte en una inecuación en x e y, exactamente como en Análisis.
Condiciones sobre el argumento
0 < arg(z) < π/2 el primer cuadrante abierto
Cómo se resuelven en general
Cuando la condición no es una de las de arriba, el método seguro es escribir z = x + yi y traducir todo a x e y. Por ejemplo |z − 1| = |z + i| se convierte en (x−1)² + y² = x² + (y+1)², que simplificando da y = −x: la mediatriz entre 1 y −i.
Describir y graficar el conjunto A = {z ∈ ℂ : 1 ≤ |z − i| < 2 y Re(z) > 0}.
La región sale de intersecar dos condiciones. Conviene interpretarlas por separado y después quedarse con lo que cumple las dos.
Primera condición: 1 ≤ |z − i| < 2. Leído como distancia: los puntos cuya distancia al punto i es al menos 1 y menor que 2. Es una corona centrada en i.
radio exterior 2 → el borde no entra (es < estricto)
Segunda condición: Re(z) > 0. El semiplano de la derecha, sin incluir el eje imaginario.
La intersección es la mitad derecha de esa corona. En el dibujo: circunferencia interior en trazo lleno (entra), circunferencia exterior punteada (no entra), y el eje vertical punteado (no entra).
Control con puntos concretos. Tomá un par y verificá:
z = 3 + i: |z − i| = 3, que no es < 2 ✘ → no está
z = −1 + i: la distancia da 1 ✔ pero Re = −1 ✘ → no está
Probar tres puntos —uno adentro y dos que fallen por razones distintas— es la forma más rápida de saber si tu dibujo es el correcto.
Describir y graficar el conjunto B = {z ∈ ℂ : |z − 2| = |z + 2i|}.
Lo primero es leer qué dice cada módulo, porque |z − w| significa siempre «distancia de z a w». Reescribiendo el segundo para que se vea:
|z + 2i| = |z − (−2i)| = distancia de z al punto −2i = (0 ; −2)
Entonces la condición dice: los z que están a la misma distancia de (2, 0) y de (0, −2). Eso tiene nombre en geometría: es la mediatriz del segmento que une esos dos puntos.
Se puede contestar ya con eso, pero el parcial pide la ecuación, así que hay dos caminos.
Camino 1: geométrico, en tres renglones. La mediatriz pasa por el punto medio y es perpendicular al segmento:
dirección del segmento: (0,−2) − (2,0) = (−2, −2), pendiente 1
pendiente perpendicular: −1
Camino 2: a fuerza de cuentas. Se escribe z = x + iy y se desarrollan los dos módulos:
|z + 2i|² = x² + (y + 2)²
Se pueden igualar los cuadrados porque los módulos no son negativos:
x² − 4x + 4 + y² = x² + y² + 4y + 4
Se cancela casi todo —los x², los y² y el 4— y queda una ecuación lineal, que es la señal de que el conjunto es una recta:
Los dos caminos coinciden, y eso es el control. El segundo es más mecánico; el primero explica por qué tenía que dar una recta.
La respuesta:
Verificación con puntos concretos:
z = 1 − i: |−1 − i| = √2 y |1 + i| = √2 ✓
z = 1 + i (que NO está en la recta): |−1 + i| = √2 y |1 + 3i| = √10 ✗
El gráfico es la recta que pasa por el origen con pendiente −1, la diagonal que baja. Y se puede ver a ojo que cumple: es perpendicular al segmento entre (2,0) y (0,−2), y lo corta justo en (1, −1).
Dónde se pierde el punto: leer |z + 2i| como «distancia a 2i». Es a −2i: en |z − w| el punto es w, y acá w = −2i. Con el signo cambiado la recta sale y = x, que es la otra diagonal.
Dónde se cae la mayoría
- Dibujar una recta entera cuando la condición es sobre el argumento. Es una semirrecta, y sin el origen.
- Confundir < con ≤: define si el borde de la región entra o no.
- Leer |z − 2| como "z menos 2" en vez de "la distancia de z al punto 2".
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Regiones del plano complejo →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — La ecuación con el conjugado25 puntos · resuelto paso a paso
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Números complejos