Álgebra A (62) · Unidad 2 — Números complejos
Regiones del plano complejo
Una condición sobre |z| o arg(z) describe una figura geométrica. Leer la condición como una distancia es lo que convierte la ecuación en un dibujo.
La explicación
El módulo como distancia
Toda la lectura geométrica sale de ahí. Cada vez que veas un módulo, leelo como una distancia y la figura aparece sola.
Las figuras típicas
|z − z₀| = r circunferencia de centro z₀ y radio r
|z − z₀| < r el disco abierto (el borde no entra)
|z − z₀| ≤ r el disco cerrado (el borde entra)
r₁ < |z| < r₂ una corona entre dos circunferencias
la mediatriz del segmento ab
Condiciones sobre las partes
Im(z) > 0 el semiplano de arriba
Re(z) = Im(z) la recta y = x
Estas son las más fáciles: se escribe z = x + yi y la condición se convierte en una inecuación en x e y, exactamente como en Análisis.
Condiciones sobre el argumento
0 < arg(z) < π/2 el primer cuadrante abierto
Cómo se resuelven en general
Cuando la condición no es una de las de arriba, el método seguro es escribir z = x + yi y traducir todo a x e y. Por ejemplo |z − 1| = |z + i| se convierte en (x−1)² + y² = x² + (y+1)², que simplificando da y = −x: la mediatriz entre 1 y −i.
Describir y graficar el conjunto A = {z ∈ ℂ : 1 ≤ |z − i| < 2 y Re(z) > 0}.
La región sale de intersecar dos condiciones. Conviene interpretarlas por separado y después quedarse con lo que cumple las dos.
Primera condición: 1 ≤ |z − i| < 2. Leído como distancia: los puntos cuya distancia al punto i es al menos 1 y menor que 2. Es una corona centrada en i.
radio exterior 2 → el borde no entra (es < estricto)
Segunda condición: Re(z) > 0. El semiplano de la derecha, sin incluir el eje imaginario.
La intersección es la mitad derecha de esa corona. En el dibujo: circunferencia interior en trazo lleno (entra), circunferencia exterior punteada (no entra), y el eje vertical punteado (no entra).
Control con puntos concretos. Tomá un par y verificá:
z = 3 + i: |z − i| = 3, que no es < 2 ✘ → no está
z = −1 + i: la distancia da 1 ✔ pero Re = −1 ✘ → no está
Probar tres puntos —uno adentro y dos que fallen por razones distintas— es la forma más rápida de saber si tu dibujo es el correcto.
Dónde se cae la mayoría
- Dibujar una recta entera cuando la condición es sobre el argumento. Es una semirrecta, y sin el origen.
- Confundir < con ≤: define si el borde de la región entra o no.
- Leer |z − 2| como "z menos 2" en vez de "la distancia de z al punto 2".
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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