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Álgebra A (62) · Unidad 3 — Polinomios

Grado, operaciones y división

Un polinomio se maneja como un número entero: se suma, se multiplica y se divide con resto. El grado es el que gobierna todas las cuentas.

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La explicación

Qué es y qué es el grado

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + anxn

Si an ≠ 0, ese an es el coeficiente principal y n es el grado, gr(P) = n. Se escribe ℝ[x] al conjunto de los polinomios con coeficientes reales, y ℂ[x] si se permiten coeficientes complejos.

El polinomio nulo no tiene grado. No es de grado 0: no tiene, por convención. Suena a tecnicismo, pero es lo que hace que gr(P · Q) = gr(P) + gr(Q) valga sin excepciones: si al nulo le diéramos grado 0, como 0 · Q = 0 habría que pedir que 0 = 0 + gr(Q) para cualquier Q, y eso es falso. Un polinomio de grado 0 es una constante distinta de cero.

El grado en las operaciones

gr(P · Q) = gr(P) + gr(Q)         siempre
gr(P + Q) ≤ máx{gr(P), gr(Q)}    sólo ≤, y siempre que P + Q ≠ 0

En la suma hay desigualdad porque los términos principales se pueden cancelar: (x² + x) + (−x² + 1) = x + 1, grado 1 y no 2. Si los grados son distintos no se cancelan, y ahí sí vale la igualdad. Y si se cancela todo —(x² + x) + (−x² − x) = 0— el resultado es el polinomio nulo, que no tiene grado: por eso la propiedad se enuncia con P + Q ≠ 0.

El algoritmo de división

Dados P y Q ≠ 0, existen únicos S y R tales que
        P = Q·S + R    con  R = 0  o  gr(R) < gr(Q)

Es la misma división con resto de los enteros: 17 = 5·3 + 2, con el resto más chico que el divisor. Acá "más chico" significa de menor grado.

Si R = 0 se dice que Q divide a P, o que P es divisible por Q.

Cómo se divide en la práctica

Se hace como la división larga de números: se mira cuántas veces entra el término principal del divisor en el del dividendo, se multiplica, se resta, y se repite.

x³ − 2x² + 3x − 1  ÷  (x − 1)

x³ ÷ x = x²            → resto parcial: −x² + 3x − 1
−x² ÷ x = −x         → resto parcial: 2x − 1
2x ÷ x = 2             → resto: 1

S(x) = x² − x + 2      R(x) = 1
Dos controles que conviene hacer siempre.
1. El grado del cociente: gr(S) = gr(P) − gr(Q). Acá 3 − 1 = 2, y S salió de grado 2. ✔
2. Reconstruir: Q·S + R tiene que devolver P exacto. Es más rápido que rehacer la división y encuentra cualquier error de signo.
Un ejercicio resuelto, paso a paso

Dividir P(x) = 2x³ + x² − 5 por Q(x) = x² + 1, y verificar el resultado.

Primero, completar con ceros. A P le falta el término en x:

P(x) = 2x³ + x² + 0x − 5

Saltearse ese paso es la causa número uno de errores en estas divisiones.

Primera vuelta: 2x³ ÷ x² = 2x. Multiplico: 2x·(x² + 1) = 2x³ + 2x. Resto:

(2x³ + x² + 0x − 5) − (2x³ + 2x) = x² − 2x − 5

Segunda vuelta: x² ÷ x² = 1. Multiplico: 1·(x² + 1) = x² + 1. Resto:

(x² − 2x − 5) − (x² + 1) = −2x − 6

¿Sigo? No: gr(−2x − 6) = 1, que es menor que gr(Q) = 2. La división terminó.

S(x) = 2x + 1        R(x) = −2x − 6
Control 1, el grado. gr(S) tiene que ser gr(P) − gr(Q) = 3 − 2 = 1. Y S salió de grado 1. ✔

Control 2, reconstruir:

Q·S + R = (x² + 1)(2x + 1) + (−2x − 6)
= 2x³ + x² + 2x + 1 − 2x − 6
= 2x³ + x² − 5  ✔

Volvió a dar P exacto. Cuando el ejercicio pide dividir, esta verificación es obligatoria: cuesta un renglón y cierra el tema.

Y uno del nivel del parcial

Hallar el cociente y el resto de dividir P(x) = x⁵ − 2x³ + x − 3 por Q(x) = x² − x + 1, y verificar el resultado con la identidad P = Q·C + R.

Primer paso, antes de dividir: completar los términos que faltan. P no tiene x⁴ ni x², y si no se escriben con coeficiente 0 las columnas se corren y la división sale mal.

P(x) = x⁵ + 0x⁴ − 2x³ + 0x² + x − 3

Como el divisor tiene grado 2, no sirve Ruffini (que solo funciona con divisores de la forma x − a). Hay que hacer la división larga.

Paso 1. x⁵ ÷ x² = x³. Se multiplica x³·(x² − x + 1) = x⁵ − x⁴ + x³ y se resta:

(x⁵ + 0x⁴ − 2x³) − (x⁵ − x⁴ + x³) = x⁴ − 3x³

Paso 2. x⁴ ÷ x² = x². Se multiplica x²·(x² − x + 1) = x⁴ − x³ + x² y se resta:

(x⁴ − 3x³ + 0x²) − (x⁴ − x³ + x²) = −2x³ − x²

Paso 3. −2x³ ÷ x² = −2x. Se multiplica −2x·(x² − x + 1) = −2x³ + 2x² − 2x y se resta:

(−2x³ − x² + x) − (−2x³ + 2x² − 2x) = −3x² + 3x

Paso 4. −3x² ÷ x² = −3. Se multiplica −3·(x² − x + 1) = −3x² + 3x − 3 y se resta:

(−3x² + 3x − 3) − (−3x² + 3x − 3) = 0

Se corta acá, porque el resto (0) tiene grado menor que el divisor. Esa es la condición de parada, no «cuando no quedan términos».

C(x) = x³ + x² − 2x − 3
R(x) = 0

Que el resto sea 0 significa que Q divide a P, o sea que P es múltiplo de x² − x + 1. No siempre pasa, y cuando pasa conviene decirlo.

La verificación, que el enunciado pide. Se multiplica Q por C y tiene que volver P:

(x² − x + 1)·(x³ + x² − 2x − 3)
x²·(x³ + x² − 2x − 3) = x⁵ + x⁴ − 2x³ − 3x²
−x·(x³ + x² − 2x − 3) = −x⁴ − x³ + 2x² + 3x
+1·(x³ + x² − 2x − 3) = x³ + x² − 2x − 3

Se suman las tres filas, columna por columna:

x⁵ + (1−1)x⁴ + (−2−1+1)x³ + (−3+2+1)x² + (3−2)x − 3
= x⁵ + 0 − 2x³ + 0 + x − 3 = P(x) ✓

Un control de grados que se hace de memoria: gr(P) = gr(Q) + gr(C). Acá 5 = 2 + 3 ✓. Si el cociente te sale de grado 4, te comiste un paso; si de grado 2, hiciste uno de más.

Dónde se pierde el punto: no completar con ceros, o restar mal. Al restar hay que cambiarle el signo a todos los términos del producto, no solo al primero: es el error que más veces arruina esta división.

Dónde se cae la mayoría

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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