Álgebra A (62) · Unidad 3 — Polinomios

Grado, operaciones y división

Un polinomio se maneja como un número entero: se suma, se multiplica y se divide con resto. El grado es el que gobierna todas las cuentas.

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La explicación

Qué es y qué es el grado

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ

Si a_n ≠ 0, ese a_n es el coeficiente principal y n es el grado, gr(P) = n. Se escribe ℝ[x] al conjunto de los polinomios con coeficientes reales, y ℂ[x] si se permiten coeficientes complejos.

El polinomio nulo no tiene grado. No es de grado 0: no tiene, por convención. Suena a tecnicismo, pero es lo que permite que las propiedades de abajo no tengan excepciones raras. Un polinomio de grado 0 es una constante distinta de cero.

El grado en las operaciones

gr(P · Q) = gr(P) + gr(Q) siempre
gr(P + Q) ≤ máx{gr(P), gr(Q)} sólo ≤

En la suma hay desigualdad porque los términos principales se pueden cancelar: (x² + x) + (−x² + 1) = x + 1, grado 1 y no 2. Si los grados son distintos no se cancelan, y ahí sí vale la igualdad.

El algoritmo de división

Dados P y Q ≠ 0, existen únicos S y R tales que
P = Q·S + R con R = 0 o gr(R) < gr(Q)

Es la misma división con resto de los enteros: 17 = 5·3 + 2, con el resto más chico que el divisor. Acá "más chico" significa de menor grado.

Si R = 0 se dice que Q divide a P, o que P es divisible por Q.

Cómo se divide en la práctica

Se hace como la división larga de números: se mira cuántas veces entra el término principal del divisor en el del dividendo, se multiplica, se resta, y se repite.

x³ − 2x² + 3x − 1 ÷ (x − 1)

x³ ÷ x = x² → resto parcial: −x² + 3x − 1
−x² ÷ x = −x → resto parcial: 2x − 1
2x ÷ x = 2 → resto: 1

S(x) = x² − x + 2 R(x) = 1

Dos controles que conviene hacer siempre.
1. El grado del cociente: gr(S) = gr(P) − gr(Q). Acá 3 − 1 = 2, y S salió de grado 2. ✔
2. Reconstruir: Q·S + R tiene que devolver P exacto. Es más rápido que rehacer la división y encuentra cualquier error de signo.

Ejemplo resuelto

Dividir P(x) = 2x³ + x² − 5 por Q(x) = x² + 1, y verificar el resultado.

Primero, completar con ceros. A P le falta el término en x:

P(x) = 2x³ + x² + 0x − 5

Saltearse ese paso es la causa número uno de errores en estas divisiones.

Primera vuelta: 2x³ ÷ x² = 2x. Multiplico: 2x·(x² + 1) = 2x³ + 2x. Resto:

(2x³ + x² + 0x − 5) − (2x³ + 2x) = x² − 2x − 5

Segunda vuelta: x² ÷ x² = 1. Multiplico: 1·(x² + 1) = x² + 1. Resto:

(x² − 2x − 5) − (x² + 1) = −2x − 6

¿Sigo? No: gr(−2x − 6) = 1, que es menor que gr(Q) = 2. La división terminó.

S(x) = 2x + 1 R(x) = −2x − 6

Control 1, el grado. gr(S) tiene que ser gr(P) − gr(Q) = 3 − 2 = 1. Y S salió de grado 1. ✔

Control 2, reconstruir:

Q·S + R = (x² + 1)(2x + 1) + (−2x − 6)
= 2x³ + x² + 2x + 1 − 2x − 6
= 2x³ + x² − 5 ✔

Volvió a dar P exacto. Cuando el ejercicio pide dividir, esta verificación es obligatoria: cuesta un renglón y cierra el tema.

Dónde se cae la mayoría

Escribir gr(P + Q) = máx{gr(P), gr(Q)} sin más. Vale ≤; los principales se pueden cancelar.
Dejar de dividir cuando el resto todavía tiene grado mayor o igual que el divisor.
Olvidar los términos con coeficiente cero al acomodar la división. x³ + 1 es x³ + 0x² + 0x + 1.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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