Álgebra A (62) · Unidad 3 — Polinomios

Teorema del resto y raíces

Para saber el resto de dividir por x − a no hace falta dividir: alcanza con evaluar el polinomio en a. Y si da cero, x − a es un factor.

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La explicación

Especializar y raíz

P(z) = el número que se obtiene al reemplazar x por z
z es raíz de P ⟺ P(z) = 0

El teorema del resto

El resto de dividir P por (x − a) es P(a)

Por qué. Al dividir por x − a, que es de grado 1, el resto tiene que ser de grado 0 o nulo: es una constante R. Entonces P(x) = (x − a)·S(x) + R. Reemplazando x = a, el primer término se anula y queda P(a) = R. Toda la demostración es reemplazar.

Corolario: a es raíz de P ⟺ (x − a) divide a P

Ese corolario es la bisagra entre dos mundos. A la izquierda hay una cuenta numérica (evaluar); a la derecha, una afirmación sobre factores. Encontrar una raíz es encontrar un factor, y encontrar un factor baja el grado del problema. Ese es el mecanismo con el que se factorizan todos los polinomios de la práctica.

Bajar el grado

Si encontrás una raíz a, dividís por (x − a) y te queda un polinomio de un grado menos, sobre el que volvés a buscar. Un polinomio de grado 3 se resuelve encontrando una raíz: lo que queda es una cuadrática, y para ésa hay fórmula.

x³ − 2x² − 5x + 6 P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 → 1 es raíz
dividiendo por (x − 1): x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 1)(x − 3)(x + 2)

Cuántas raíces puede haber

Si z₁, …, z_r son raíces distintas de P, entonces
P(x) = (x − z₁)…(x − z_r) · Q(x)

Como cada factor aporta grado 1, un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces. Si encontraste 3 raíces de un polinomio de grado 3, ya no hay más: podés dejar de buscar.

La forma rápida de dividir por (x − a)

Cuando el divisor es (x − a) no hace falta hacer la división larga: alcanza con los coeficientes. Se bajan de a uno, y cada vez se multiplica por a y se suma al siguiente — es la regla de Ruffini, y con x³ − 2x² − 5x + 6 dividido por (x − 1) queda:

coeficientes: 1 −2 −5 6
a = 1: 1 −1 −6
──────────────────────
1 −1 −6 | 0

Los tres primeros números de abajo son el cociente, x² − x − 6, y el último es el resto. Que el resto dé 0 es la misma información que P(1) = 0: la regla de Ruffini y el teorema del resto son dos caras de lo mismo, y por eso hacer Ruffini ya es verificar que a era raíz.

Dos cuidados que arruinan la cuenta si se pasan por alto. Primero, hay que escribir todos los coeficientes, incluidos los ceros: para x³ − 8 la fila de entrada es 1, 0, 0, −8, no 1, −8. Segundo, el signo: dividir por (x + 2) es dividir por (x − (−2)), así que a = −2. Ese cambio de signo es el error más frecuente del tema.

Teorema del factor

a es raíz de P ⟺ (x − a) divide a P

Es una reescritura del teorema del resto, pero conviene tenerla con nombre propio porque es la que se usa para construir polinomios y no solo para analizarlos. Si un ejercicio pide un polinomio de grado 3 que tenga raíces 1, 3 y −2, no hay que despejar nada: se multiplica (x − 1)(x − 3)(x + 2) y listo. Y si además pide que valga 10 en algún punto, se multiplica todo por la constante que haga falta — cambiar esa constante no mueve ninguna raíz.

Ejemplo resuelto

Hallar el resto de dividir P(x) = x⁴ − 3x² + 2x − 5 por (x + 2), y decidir si x + 2 divide a P.

No hay que dividir. El teorema del resto dice que el resto de dividir por (x − a) es P(a). Acá el divisor es x + 2, que se escribe como x − (−2), así que a = −2.

Ese signo es el error clásico. Para x + 2 se evalúa en −2; para x − 2, en 2. La regla corta: a es el valor que anula al divisor. ¿Qué x hace que x + 2 valga cero? El −2.

Evaluando:

P(−2) = (−2)⁴ − 3(−2)² + 2(−2) − 5
= 16 − 3·4 − 4 − 5
= 16 − 12 − 4 − 5
= −5

El resto es −5.

¿Divide? No: para que (x + 2) dividiera a P el resto tendría que ser 0, y dio −5. Dicho de otro modo, −2 no es raíz de P.

Cuidado con las potencias de números negativos. (−2)⁴ = +16 porque el exponente es par, y (−2)² = +4. Si te da negativo alguno de los dos, ahí está el error. Es lo que más se equivoca en este tipo de cuenta, más que el teorema en sí.

Control de razonabilidad: el término dominante x⁴ en −2 vale 16, y los demás son chicos en comparación. Un resultado con valor absoluto mucho mayor que 20 sería sospechoso.

El mismo resultado por Ruffini, que de paso da el cociente. Los coeficientes de P son 1, 0, −3, 2, −5 — el 0 del término en x³ hay que escribirlo — y a = −2:

1 0 −3 2 −5
−2: −2 4 −2 0
─────────────────────────
1 −2 1 0 | −5

Sale el mismo resto, −5, y además el cociente: x³ − 2x² + x. Los dos caminos tienen que coincidir siempre, y por eso son un control mutuo gratis. Cuál usar depende de lo que pida el enunciado: si alcanza con el resto, evaluar es más rápido; si además hace falta el cociente —por ejemplo para seguir factorizando—, Ruffini da las dos cosas de una sola pasada.

Qué se hubiera hecho si el resto daba 0. Ahí sí (x + 2) dividiría a P, y el cociente de Ruffini sería el polinomio de grado 3 sobre el que habría que seguir buscando raíces. Ése es el ciclo completo de la unidad: encontrar una raíz, bajar el grado con Ruffini, y repetir hasta llegar a una cuadrática, donde ya hay fórmula.

Dónde se cae la mayoría

Dividir a mano para averiguar el resto de dividir por x − a. Alcanza con evaluar en a.
Equivocar el signo: para (x + 3) hay que evaluar en −3, no en 3.
Seguir buscando raíces después de haber encontrado tantas como indica el grado.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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