Álgebra A (62) · Unidad 3 — Polinomios

Teorema del resto y raíces

Para saber el resto de dividir por x − a no hace falta dividir: alcanza con evaluar el polinomio en a. Y si da cero, x − a es un factor.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Especializar y raíz

P(z) = el número que se obtiene al reemplazar x por z
z es raíz de P ⟺ P(z) = 0

El teorema del resto

El resto de dividir P por (x − a) es P(a)

Por qué. Al dividir por x − a, que es de grado 1, el resto tiene que ser de grado 0 o nulo: es una constante R. Entonces P(x) = (x − a)·S(x) + R. Reemplazando x = a, el primer término se anula y queda P(a) = R. Toda la demostración es reemplazar.

Corolario: a es raíz de P ⟺ (x − a) divide a P

Ese corolario es la bisagra entre dos mundos. A la izquierda hay una cuenta numérica (evaluar); a la derecha, una afirmación sobre factores. Encontrar una raíz es encontrar un factor, y encontrar un factor baja el grado del problema. Ese es el mecanismo con el que se factorizan todos los polinomios de la práctica.

Bajar el grado

Si encontrás una raíz a, dividís por (x − a) y te queda un polinomio de un grado menos, sobre el que volvés a buscar. Un polinomio de grado 3 se resuelve encontrando una raíz: lo que queda es una cuadrática, y para ésa hay fórmula.

x³ − 2x² − 5x + 6 P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 → 1 es raíz
dividiendo por (x − 1): x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 1)(x − 3)(x + 2)

Cuántas raíces puede haber

Si z₁, …, z_r son raíces distintas de P, entonces
P(x) = (x − z₁)…(x − z_r) · Q(x)

Como cada factor aporta grado 1, un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces. Si encontraste 3 raíces de un polinomio de grado 3, ya no hay más: podés dejar de buscar.

La forma rápida de dividir por (x − a)

Cuando el divisor es (x − a) no hace falta hacer la división larga: alcanza con los coeficientes. Se bajan de a uno, y cada vez se multiplica por a y se suma al siguiente — es la regla de Ruffini, y con x³ − 2x² − 5x + 6 dividido por (x − 1) queda:

coeficientes: 1 −2 −5 6
a = 1: 1 −1 −6
──────────────────────
1 −1 −6 | 0

Los tres primeros números de abajo son el cociente, x² − x − 6, y el último es el resto. Que el resto dé 0 es la misma información que P(1) = 0: la regla de Ruffini y el teorema del resto son dos caras de lo mismo, y por eso hacer Ruffini ya es verificar que a era raíz.

Dos cuidados que arruinan la cuenta si se pasan por alto. Primero, hay que escribir todos los coeficientes, incluidos los ceros: para x³ − 8 la fila de entrada es 1, 0, 0, −8, no 1, −8. Segundo, el signo: dividir por (x + 2) es dividir por (x − (−2)), así que a = −2. Ese cambio de signo es el error más frecuente del tema.

Teorema del factor

a es raíz de P ⟺ (x − a) divide a P

Es una reescritura del teorema del resto, pero conviene tenerla con nombre propio porque es la que se usa para construir polinomios y no solo para analizarlos. Si un ejercicio pide un polinomio de grado 3 que tenga raíces 1, 3 y −2, no hay que despejar nada: se multiplica (x − 1)(x − 3)(x + 2) y listo. Y si además pide que valga 10 en algún punto, se multiplica todo por la constante que haga falta — cambiar esa constante no mueve ninguna raíz.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar el resto de dividir P(x) = x⁴ − 3x² + 2x − 5 por (x + 2), y decidir si x + 2 divide a P.

No hay que dividir. El teorema del resto dice que el resto de dividir por (x − a) es P(a). Acá el divisor es x + 2, que se escribe como x − (−2), así que a = −2.

Ese signo es el error clásico. Para x + 2 se evalúa en −2; para x − 2, en 2. La regla corta: a es el valor que anula al divisor. ¿Qué x hace que x + 2 valga cero? El −2.

Evaluando:

P(−2) = (−2)⁴ − 3(−2)² + 2(−2) − 5
= 16 − 3·4 − 4 − 5
= 16 − 12 − 4 − 5
= −5

El resto es −5.

¿Divide? No: para que (x + 2) dividiera a P el resto tendría que ser 0, y dio −5. Dicho de otro modo, −2 no es raíz de P.

Cuidado con las potencias de números negativos. (−2)⁴ = +16 porque el exponente es par, y (−2)² = +4. Si te da negativo alguno de los dos, ahí está el error. Es lo que más se equivoca en este tipo de cuenta, más que el teorema en sí.

El control que sí sirve acá: rehacer la cuenta por otro camino y ver que dé lo mismo. Abajo está la misma división por Ruffini, y el último número tiene que volver a ser −5. Mirarle el tamaño al resultado no sirve de mucho en este ejemplo: los cuatro términos valen 16, −12, −4 y −5, o sea que cualquier número entre −37 y 37 sería creíble.

El mismo resultado por Ruffini, que de paso da el cociente. Los coeficientes de P son 1, 0, −3, 2, −5 — el 0 del término en x³ hay que escribirlo — y a = −2:

1 0 −3 2 −5
−2: −2 4 −2 0
─────────────────────────
1 −2 1 0 | −5

Sale el mismo resto, −5, y además el cociente: x³ − 2x² + x. Los dos caminos tienen que coincidir siempre, y por eso son un control mutuo gratis. Cuál usar depende de lo que pida el enunciado: si alcanza con el resto, evaluar es más rápido; si además hace falta el cociente —por ejemplo para seguir factorizando—, Ruffini da las dos cosas de una sola pasada.

Qué se hubiera hecho si el resto daba 0. Ahí sí (x + 2) dividiría a P, y el cociente de Ruffini sería el polinomio de grado 3 sobre el que habría que seguir buscando raíces. Ése es el ciclo completo de la unidad: encontrar una raíz, bajar el grado con Ruffini, y repetir hasta llegar a una cuadrática, donde ya hay fórmula.

Y uno del nivel del parcial

Hallar a y b para que P(x) = x⁴ + a·x² + b·x + 6 sea divisible por (x − 1) y por (x + 2). Con esos valores, factorizar P completamente en ℝ[x].

«Divisible por (x − r)» y «r es raíz» son la misma cosa, por el teorema del resto: el resto de dividir por (x − r) es P(r), así que dividir exacto es que P(r) = 0. Ese es el único puente que hace falta.

Las dos condiciones se traducen en dos ecuaciones:

P(1) = 0 → 1 + a + b + 6 = 0 → a + b = −7 … (I)
P(−2) = 0 → 16 + 4a − 2b + 6 = 0 → 4a − 2b = −22 … (II)

Ojo con los signos en P(−2): (−2)⁴ = 16 (positivo, exponente par), a·(−2)² = 4a (también positivo) y b·(−2) = −2b. Esa mezcla de signos es donde se cae el ejercicio.

Se simplifica (II) dividiendo por 2:

2a − b = −11 … (II')

Se suman (I) y (II'), y la b se va:

(a + b) + (2a − b) = −7 + (−11)
3a = −18 → a = −6
−6 + b = −7 → b = −1

P(x) = x⁴ − 6x² − x + 6

Control inmediato, reemplazando:

P(1) = 1 − 6 − 1 + 6 = 0 ✓
P(−2) = 16 − 24 + 2 + 6 = 0 ✓

Ahora la factorización. Ya se conocen dos raíces, así que se divide por las dos. Primero por (x − 1), con Ruffini:

1 0 −6 −1 6
1 | 1 1 −5 −6
─────────────────────
1 1 −5 −6 0

El 0 al final confirma que 1 era raíz. Queda x³ + x² − 5x − 6. Ahora por (x + 2), o sea con la raíz −2:

1    1 −5 −6
−2 | −2    2    6
──────────────────
1 −1 −3    0

P(x) = (x − 1)·(x + 2)·(x² − x − 3)

Falta ver si el trinomio se puede seguir factorizando en ℝ. Se calcula el discriminante:

Δ = (−1)² − 4·1·(−3) = 1 + 12 = 13 > 0

Es positivo, así que tiene dos raíces reales y hay que factorizarlo también:

x = (1 ± √13)/2

P(x) = (x − 1)(x + 2)(x − (1+√13)/2)(x − (1−√13)/2)

«Completamente en ℝ[x]» quiere decir hasta que no se pueda más, y con Δ > 0 se puede. Si hubiera dado Δ < 0, el trinomio quedaba como está (es irreducible en ℝ) y ahí sí la factorización terminaba.

Control de coherencia: el producto de las cuatro raíces tiene que dar el término independiente dividido por el coeficiente principal, con signo (−1)⁴ = +. Las dos primeras dan (1)·(−2) = −2, y las otras dos multiplicadas dan (1−13)/4 = −3. Entonces (−2)·(−3) = 6 ✓, que es el 6 del polinomio.

Dónde se pierde el punto: plantear P(2) = 0 en vez de P(−2) = 0. Si el divisor es (x + 2), la raíz es −2: se iguala el paréntesis a cero y se despeja, siempre.

Dónde se cae la mayoría

Dividir a mano para averiguar el resto de dividir por x − a. Alcanza con evaluar en a.
Equivocar el signo: para (x + 3) hay que evaluar en −3, no en 3.
Seguir buscando raíces después de haber encontrado tantas como indica el grado.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El polinomio con una raíz compleja25 puntos · resuelto paso a paso

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