Álgebra A (62) · Unidad 3 — Polinomios
Teorema de Gauss y factorización
Gauss da una lista finita de candidatos a raíz racional. En vez de probar al azar, se prueba una lista corta y bien definida.
La explicación
El problema
Para factorizar hay que encontrar una raíz, pero ¿por dónde se empieza? Probar números al azar no es un método. El teorema de Gauss lo convierte en una búsqueda finita.
Teorema de Gauss
Si p/q (irreducible) es raíz racional de P, entonces
p divide a a₀ y q divide a an
Cómo se arma la lista
a₀ = −6 → p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}
an = 2 → q ∈ {1, 2}
candidatos p/q: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2
Si el coeficiente principal es 1, entonces q sólo puede ser 1 y los candidatos son directamente los divisores enteros del término independiente. Es el caso más común y el más cómodo.
La estrategia completa
2. Evaluar hasta encontrar uno que dé 0.
3. Dividir por (x − raíz): baja el grado.
4. Repetir sobre el cociente, hasta llegar a grado 2.
5. Grado 2: resolvente. No hace falta seguir adivinando.
Empezá por los chicos: ±1 y ±2 son raíz muchísimo más seguido que ±6. Y probar ±1 es gratis: P(1) es la suma de todos los coeficientes.
Factorización en ℝ
factores de grado 1 y factores de grado 2 sin raíces reales
Es decir: en los reales no siempre se llega a factores lineales. x² + 1 ya está factorizado del todo en ℝ[x] — no se puede más. En ℂ[x], en cambio, siempre se llega a factores lineales (eso es el tema 3.4).
Factorizar completamente en ℝ[x] el polinomio P(x) = 2x³ + x² − 7x − 6.
Paso 1: la lista de candidatos. Término independiente −6, principal 2.
candidatos: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2
Paso 2: probar, empezando por los chicos.
P(−1) = −2 + 1 + 7 − 6 = 0 ✔
Con el segundo intento ya está. Entonces (x + 1) divide a P.
Paso 3: dividir. Por Ruffini o división larga, el cociente es:
Paso 4: grado 2, resolvente. No hay que seguir adivinando.
Paso 5: escribir la factorización. Ojo con el coeficiente principal: no puede desaparecer.
Control rápido: multiplicá los términos independientes: 2 · 1 · (−2) · (3/2) = −6, que es el término independiente de P. ✔ Y el −3/2 estaba en la lista de candidatos de Gauss, como tenía que ser.
Factorizar completamente en ℝ[x] el polinomio P(x) = x⁴ + x³ − 3x² − 5x − 2, sabiendo que −1 es raíz de multiplicidad 3.
El dato de la multiplicidad es el que hace el ejercicio. Que −1 sea raíz triple significa que (x + 1) aparece tres veces en la factorización, o sea que hay que dividir por (x + 1) tres veces seguidas.
Primera división, con Ruffini y raíz −1:
−1 | −1 0 3 2
─────────────────────
1 0 −3 −2 0
Cociente: x³ − 3x − 2. El 0 final confirma la primera raíz.
Segunda división, otra vez por −1:
−1 | −1 1 2
──────────────────
1 −1 −2 0
Cociente: x² − x − 2. Van dos.
Tercera división:
−1 | −1 2
───────────────
1 −2 0
Cociente: x − 2. Las tres divisiones dieron resto 0, que es la confirmación de que la multiplicidad era efectivamente 3 y no menos.
Se junta todo:
Verificación desarrollando. Primero (x + 1)³, que es el cubo de un binomio:
= x⁴ + 3x³ + 3x² + x − 2x³ − 6x² − 6x − 2
= x⁴ + x³ − 3x² − 5x − 2 ✓
Las raíces, con su multiplicidad:
x = 2, con multiplicidad 1
Control por la suma de multiplicidades: 3 + 1 = 4 = grado de P ✓. Si no da el grado, falta factorizar algo o sobra un factor.
Cómo se detecta la multiplicidad sin que te la den. Una raíz es múltiple exactamente cuando también anula a la derivada. Acá:
P ″(x) = 12x² + 6x − 6 → P ″(−1) = 12 − 6 − 6 = 0 ✓
P ‴(x) = 24x + 6 → P ‴(−1) = −18 ≠ 0
La primera derivada que NO se anula marca la multiplicidad: como se anulan P, P ′ y P ″ pero no P ‴, la multiplicidad es exactamente 3. Ese criterio vale la pena saberlo: convierte una pregunta de factoreo en tres derivadas.
Dónde se pierde el punto: escribir P = (x + 1)(x − 2) y parar, o poner (x − 1)³ en vez de (x + 1)³. La raíz es −1, así que el factor es (x − (−1)) = (x + 1).
Dónde se cae la mayoría
- Aplicar Gauss a un polinomio con coeficientes fraccionarios sin multiplicar antes por el denominador común.
- Tomar la lista de candidatos como si fueran raíces. Son candidatos: hay que evaluarlos.
- Olvidar los negativos. Para cada p hay que probar +p y −p.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Teorema de Gauss y factorización →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El polinomio con una raíz compleja25 puntos · resuelto paso a paso
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Polinomios