Álgebra A (62) · Unidad 3 — Polinomios

Teorema de Gauss y factorización

Gauss da una lista finita de candidatos a raíz racional. En vez de probar al azar, se prueba una lista corta y bien definida.

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La explicación

El problema

Para factorizar hay que encontrar una raíz, pero ¿por dónde se empieza? Probar números al azar no es un método. El teorema de Gauss lo convierte en una búsqueda finita.

Teorema de Gauss

Sea P con coeficientes enteros, término independiente a₀ ≠ 0 y principal a_n.
Si p/q (irreducible) es raíz racional de P, entonces
p divide a a₀ y q divide a a_n

Qué dice y qué no dice. Da una lista de candidatos, no de raíces. Puede pasar que ningún candidato sea raíz: eso significa que el polinomio no tiene raíces racionales (puede tener irracionales o complejas, que Gauss no ve). Y exige coeficientes enteros: si hay fracciones, primero se multiplica todo por el denominador común.

Cómo se arma la lista

P(x) = 2x³ + x² − 7x − 6

a₀ = −6 → p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}
a_n = 2 → q ∈ {1, 2}

candidatos p/q: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2

Si el coeficiente principal es 1, entonces q sólo puede ser 1 y los candidatos son directamente los divisores enteros del término independiente. Es el caso más común y el más cómodo.

La estrategia completa

1. Armar la lista de candidatos.
2. Evaluar hasta encontrar uno que dé 0.
3. Dividir por (x − raíz): baja el grado.
4. Repetir sobre el cociente, hasta llegar a grado 2.
5. Grado 2: resolvente. No hace falta seguir adivinando.

Empezá por los chicos: ±1 y ±2 son raíz muchísimo más seguido que ±6. Y probar ±1 es gratis: P(1) es la suma de todos los coeficientes.

Factorización en ℝ

Todo polinomio de ℝ[x] se factoriza como producto de
factores de grado 1 y factores de grado 2 sin raíces reales

Es decir: en los reales no siempre se llega a factores lineales. x² + 1 ya está factorizado del todo en ℝ[x] — no se puede más. En ℂ[x], en cambio, siempre se llega a factores lineales (eso es el tema 3.4).

Ejemplo resuelto

Factorizar completamente en ℝ[x] el polinomio P(x) = 2x³ + x² − 7x − 6.

Paso 1: la lista de candidatos. Término independiente −6, principal 2.

p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6} q ∈ {1, 2}
candidatos: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2

Paso 2: probar, empezando por los chicos.

P(1) = 2 + 1 − 7 − 6 = −10 ✘
P(−1) = −2 + 1 + 7 − 6 = 0 ✔

Con el segundo intento ya está. Entonces (x + 1) divide a P.

Paso 3: dividir. Por Ruffini o división larga, el cociente es:

2x² − x − 6

Paso 4: grado 2, resolvente. No hay que seguir adivinando.

x = (1 ± √(1 + 48)) / 4 = (1 ± 7) / 4 → x = 2 o x = −3/2

Paso 5: escribir la factorización. Ojo con el coeficiente principal: no puede desaparecer.

P(x) = 2(x + 1)(x − 2)(x + 3/2)

Ese 2 adelante es obligatorio. Si escribís sólo (x+1)(x−2)(x+3/2), el coeficiente principal te da 1 y no 2: es otro polinomio. También se puede repartir y escribir (x + 1)(x − 2)(2x + 3), que es lo mismo distribuido.

Control rápido: multiplicá los términos independientes: 2 · 1 · (−2) · (3/2) = −6, que es el término independiente de P. ✔ Y el −3/2 estaba en la lista de candidatos de Gauss, como tenía que ser.

Dónde se cae la mayoría

Aplicar Gauss a un polinomio con coeficientes fraccionarios sin multiplicar antes por el denominador común.
Tomar la lista de candidatos como si fueran raíces. Son candidatos: hay que evaluarlos.
Olvidar los negativos. Para cada p hay que probar +p y −p.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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