Álgebra A (62) · Unidad 3 — Polinomios

Multiplicidad y raíces complejas

En ℂ todo polinomio se parte del todo en factores lineales, y las raíces complejas de un polinomio real siempre vienen de a pares conjugados.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Teorema fundamental del álgebra

Todo P ∈ ℂ[x] de grado ≥ 1 tiene al menos una raíz en ℂ

Aplicándolo repetidamente (cada raíz saca un factor y baja el grado) se llega a la versión fuerte:

Todo P ∈ ℂ[x] de grado n se escribe como
P(x) = a_n(x − z₁)(x − z₂) … (x − z_n)
con exactamente n raíces contadas con multiplicidad

En ℂ no hay polinomios irreducibles de grado 2: x² + 1 = (x − i)(x + i).

Multiplicidad

z es raíz de multiplicidad k ⟺ P(x) = (x − z)^k·Q(x) con Q(z) ≠ 0

La condición Q(z) ≠ 0 es la que hace que k sea exactamente ese y no menos.

Detectar la multiplicidad con la derivada

z es raíz de multiplicidad k ⟺
P(z) = ∂P(z) = … = ∂^k−1P(z) = 0 y ∂^kP(z) ≠ 0

Es el criterio más rápido cuando hay que verificar una multiplicidad. Derivar es mecánico; factorizar, no.

En el gráfico se ve. Una raíz simple cruza el eje x. Una raíz doble lo toca y rebota, sin cambiar de signo. Una triple lo cruza pero achatándose. Multiplicidad par ⟹ rebota; impar ⟹ cruza. Es un control visual instantáneo.

Raíces complejas de polinomios reales

Si P tiene coeficientes reales y z es raíz, entonces z̄ también lo es

Vienen de a pares conjugados, y con la misma multiplicidad. Consecuencias que se usan todo el tiempo:

• Un polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real
(las complejas se cuentan de a dos, así que no pueden ser todas)
• Si te dan que 2 + i es raíz, entonces 2 − i también, y ya conocés dos
• El producto (x − z)(x − z̄) tiene coeficientes reales

Ese último punto explica la factorización en ℝ del tema anterior: los factores cuadráticos irreducibles son exactamente los pares de raíces complejas conjugadas multiplicados entre sí.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

P ∈ ℝ[x] tiene grado 4, coeficiente principal 1, y se sabe que 1 + i y 2 son raíces, con 2 de multiplicidad 2. Hallar P.

Paso 1: contar las raíces que ya tenemos.

2, con multiplicidad 2 → aporta 2
1 + i → aporta 1
1 − i, por ser P real → aporta 1
total: 4 = el grado ✔

El conjugado aparece gratis. Como P tiene coeficientes reales, si 1 + i es raíz, 1 − i también. Sin ese teorema el ejercicio no tendría solución única: faltaría una raíz. Y el hecho de que la cuenta cierre exactamente en 4 confirma que no hay ninguna más.

Paso 2: armar el producto.

P(x) = (x − 2)²(x − (1+i))(x − (1−i))

Paso 3: el par conjugado, que tiene que dar real. Conviene agruparlo como ((x − 1) − i)((x − 1) + i), que es una diferencia de cuadrados:

(x − 1)² − i² = (x − 1)² + 1 = x² − 2x + 2

Salió con coeficientes reales, como tenía que ser.

Paso 4: multiplicar todo.

(x − 2)² = x² − 4x + 4

P(x) = (x² − 4x + 4)(x² − 2x + 2)
= x⁴ − 2x³ + 2x² − 4x³ + 8x² − 8x + 4x² − 8x + 8
= x⁴ − 6x³ + 14x² − 16x + 8

Controles. Grado 4 ✔, coeficiente principal 1 ✔, todos los coeficientes reales ✔ (si te hubiera quedado alguno con i, el par conjugado estaría mal agrupado). Y como verificación final, P(2) = 16 − 48 + 56 − 32 + 8 = 0 ✔.

Y uno del nivel del parcial

Hallar P ∈ ℝ[x] de grado 3 con coeficiente principal 2, sabiendo que 3i es raíz y que P(1) = −40. Dar P desarrollado y todas sus raíces.

El dato escondido está en «P ∈ ℝ[x]»: los coeficientes son reales. Y un polinomio con coeficientes reales que tiene una raíz compleja tiene también a su conjugada, con la misma multiplicidad.

3i es raíz → −3i también es raíz

Ya van dos raíces de las tres. Como el grado es 3, falta exactamente una, y tiene que ser real: si fuera compleja arrastraría a su conjugada y el grado sería 4.

Se escribe P en forma factorizada, con el coeficiente principal adelante y la raíz que falta como incógnita r:

P(x) = 2·(x − 3i)·(x + 3i)·(x − r)

El producto de los dos factores complejos da algo real, que es lo que hace manejable el ejercicio:

(x − 3i)(x + 3i) = x² − (3i)² = x² − 9i² = x² + 9

P(x) = 2·(x² + 9)·(x − r)

Ahora se usa el último dato, P(1) = −40:

P(1) = 2·(1 + 9)·(1 − r) = 20·(1 − r)
20·(1 − r) = −40 → 1 − r = −2 → r = 3

P(x) = 2·(x² + 9)·(x − 3)

Se desarrolla, que es como suele pedirse la respuesta:

(x² + 9)(x − 3) = x³ − 3x² + 9x − 27
P(x) = 2x³ − 6x² + 18x − 54

Los tres controles, uno por dato del enunciado:

grado 3 ✓
coeficiente principal 2 ✓
P(1) = 2 − 6 + 18 − 54 = −40 ✓

Y que 3i sea raíz, reemplazando en el desarrollado (vale la pena hacerlo una vez):

2(3i)³ − 6(3i)² + 18(3i) − 54
= 2·(−27i) − 6·(−9) + 54i − 54
= −54i + 54 + 54i − 54 = 0 ✓

Las raíces: 3i, −3i y 3. Dos complejas conjugadas y una real, que es la única combinación posible para un polinomio real de grado 3 con una raíz compleja.

De paso, un hecho que conviene tener presente: todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Las complejas vienen de a pares, así que en una cantidad impar siempre sobra una.

Dónde se pierde el punto: olvidar el 2 del coeficiente principal al escribir la forma factorizada. Y usar (x − 3i)(x − 3i) en vez de (x − 3i)(x + 3i): la conjugada de 3i es −3i, y el factor correspondiente es (x + 3i).

Dónde se cae la mayoría

Aplicar lo del conjugado a un polinomio con coeficientes complejos. El teorema pide coeficientes reales.
Contar las raíces sin multiplicidad y concluir que "faltan". Son n contadas con multiplicidad.
Confundir tocar con cruzar en el gráfico: si rebota, la multiplicidad es par.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El polinomio con una raíz compleja25 puntos · resuelto paso a paso

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