Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos
Vectores en ℝⁿ
Un vector es una flecha con dirección, sentido y longitud, y también una lista de números. Las dos lecturas describen lo mismo y conviene poder saltar de una a la otra.
La explicación
Las dos lecturas
Geométricamente, un vector es una flecha: queda determinado por su dirección (la recta sobre la que apoya), su sentido (para qué lado apunta) y su longitud.
Algebraicamente, es una lista de coordenadas. Se conviene poner todos los vectores con el origen en O, y así el punto P y la flecha OP son la misma cosa.
Operaciones: coordenada a coordenada
c · P = (c p₁, c p₂, …)
P − Q = P + (−1)Q
La suma es la regla del paralelogramo: el resultado es la diagonal. Multiplicar por un escalar c estira (si |c| > 1), achica (si |c| < 1) y da vuelta el sentido si c < 0. La dirección nunca cambia.
El vector que va de un punto a otro
Paralelismo
Si k > 0 tienen el mismo sentido; si k < 0, sentidos opuestos. En la práctica se chequea viendo si las coordenadas son proporcionales:
(1, 2, 3) y (2, 4, 5) → k = 2, 2 y 5/3 → no
La razón tiene que ser la misma en todas las coordenadas. Que coincida en dos no alcanza.
Propiedades
c(P + Q) = cP + cQ (c₁ + c₂)P = c₁P + c₂P
O + P = P 1·P = P 0·P = O P + (−P) = O
Todas se verifican mirando una coordenada, porque las operaciones son coordenada a coordenada. Son las mismas ocho propiedades que en la unidad 8 van a definir qué es un espacio vectorial.
Dados P = (1, −2, 3) y Q = (4, 0, −1), hallar el vector PQ, el punto medio del segmento PQ, y decidir si PQ es paralelo a v = (−6, −4, 8).
El vector PQ: llegada menos salida.
Ojo con el segundo: 0 − (−2) = +2. Restar un negativo suma.
El punto medio. Es el promedio de los dos puntos:
¿Es PQ paralelo a v = (−6, −4, 8)? Hay que ver si las coordenadas son proporcionales:
La misma constante en las tres: sí son paralelos, y como k = −2 < 0, tienen sentidos opuestos. Además v mide el doble.
Control: v = −2·PQ⃗. Verificalo multiplicando: −2·(3, 2, −4) = (−6, −4, 8) ✔. Cuando sospechás paralelismo, reconstruir el vector con el k que encontraste es la comprobación más corta.
Dados A = (1, 2, −1), B = (3, −2, 5) y C = (k, 0, 2), hallar el valor de k para que A, B y C estén alineados. Después, con k = 0, calcular el área del triángulo ABC.
Tres puntos están alineados cuando los vectores que los unen son paralelos. Se arman dos vectores desde el mismo punto —conviene desde A— y se pide que uno sea múltiplo del otro.
AC = C − A = (k−1 ; 0−2 ; 2−(−1)) = (k−1 ; −2 ; 3)
La condición de paralelismo es que exista t con AC = t·AB. Eso son tres ecuaciones:
−2 = −4t
3 = 6t
Se empieza por las que no tienen k, que son las que deciden si el problema tiene solución:
de la tercera: t = 1/2 ✓ (coinciden)
Que las dos den el mismo t es indispensable. Si hubieran dado distinto, ningún k serviría y la respuesta sería «no existe». Acá coinciden, así que se despeja k de la primera:
Control: con k = 2, AC = (1, −2, 3) y AB = (2, −4, 6) = 2·AC ✓. Son paralelos, y como comparten el punto A, los tres puntos están sobre una misma recta.
Segunda parte: el área con k = 0. Ahora C = (0, 0, 2) y AC = (−1, −2, 3), que ya no es paralelo a AB. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial:
El producto vectorial, con el determinante simbólico:
j: −[2·3 − 6·(−1)] = −[6 + 6] = −12
k: 2·(−2) − (−4)·(−1) = −4 − 4 = −8
Ojo con el signo de la componente j: en el desarrollo del determinante va con un menos adelante. Es el error más repetido de toda la unidad.
El módulo y el área:
área = 4√13/2 = 2√13 ≈ 7,21
Control 1: el producto vectorial tiene que ser perpendicular a los dos vectores. AB·(0,−12,−8) = 0 + 48 − 48 = 0 ✓, y AC·(0,−12,−8) = 0 + 24 − 24 = 0 ✓.
Control 2: el área no puede dar 0, porque los tres puntos no están alineados con k = 0 (el k que alineaba era 2). Si te hubiera dado 0, hay un error de cuentas.
Dónde se pierde el punto: olvidar el ½ del área del triángulo. |AB × AC| es el área del paralelogramo que arman los dos vectores; el triángulo es la mitad.
Dónde se cae la mayoría
- Calcular el vector PQ como P − Q. Es Q − P: llegada menos salida.
- Declarar dos vectores paralelos porque la proporción coincide en algunas coordenadas. Tiene que ser la misma en todas.
- Sumar un escalar a un vector. c + P no está definido; sí c·P.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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Vectores, rectas y planos