Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos

Vectores en ℝⁿ

Un vector es una flecha con dirección, sentido y longitud, y también una lista de números. Las dos lecturas describen lo mismo y conviene poder saltar de una a la otra.

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La explicación

Las dos lecturas

Geométricamente, un vector es una flecha: queda determinado por su dirección (la recta sobre la que apoya), su sentido (para qué lado apunta) y su longitud.

Algebraicamente, es una lista de coordenadas. Se conviene poner todos los vectores con el origen en O, y así el punto P y la flecha OP son la misma cosa.

ℝ² : P = (p₁, p₂) ℝ³ : P = (p₁, p₂, p₃) ℝⁿ : P = (p₁, …, p_n)

Operaciones: coordenada a coordenada

P + Q = (p₁ + q₁, p₂ + q₂, …)
c · P = (c p₁, c p₂, …)
P − Q = P + (−1)Q

La suma es la regla del paralelogramo: el resultado es la diagonal. Multiplicar por un escalar c estira (si |c| > 1), achica (si |c| < 1) y da vuelta el sentido si c < 0. La dirección nunca cambia.

El vector que va de un punto a otro

PQ⃗ = Q − P llegada menos salida

Este es el más útil de todos y el que más se invierte. Si te confundís el orden, el vector apunta al revés y todo el ejercicio sale espejado. Regla mnemotécnica: llegada menos salida, igual que una diferencia de tiempos o de posiciones en física.

Paralelismo

v y w son paralelos ⟺ w = k·v para algún k ≠ 0

Si k > 0 tienen el mismo sentido; si k < 0, sentidos opuestos. En la práctica se chequea viendo si las coordenadas son proporcionales:

(2, −4, 6) y (−1, 2, −3) → k = −2 en las tres → paralelos
(1, 2, 3) y (2, 4, 5) → k = 2, 2 y 5/3 → no

La razón tiene que ser la misma en todas las coordenadas. Que coincida en dos no alcanza.

Propiedades

P + Q = Q + P (P + Q) + R = P + (Q + R)
c(P + Q) = cP + cQ (c₁ + c₂)P = c₁P + c₂P
O + P = P 1·P = P 0·P = O P + (−P) = O

Todas se verifican mirando una coordenada, porque las operaciones son coordenada a coordenada. Son las mismas ocho propiedades que en la unidad 8 van a definir qué es un espacio vectorial.

Ejemplo resuelto

Dados P = (1, −2, 3) y Q = (4, 0, −1), hallar el vector PQ, el punto medio del segmento PQ, y decidir si PQ es paralelo a v = (−6, −4, 8).

El vector PQ: llegada menos salida.

PQ⃗ = Q − P = (4 − 1, 0 − (−2), −1 − 3) = (3, 2, −4)

Ojo con el segundo: 0 − (−2) = +2. Restar un negativo suma.

El punto medio. Es el promedio de los dos puntos:

M = (P + Q)/2 = ((1+4)/2, (−2+0)/2, (3−1)/2) = (5/2, −1, 1)

El punto medio es el promedio, no la diferencia. Otra forma de verlo, que además explica por qué: salís de P y avanzás media flecha, M = P + ½·PQ⃗. Comprobalo: (1, −2, 3) + ½(3, 2, −4) = (1 + 3/2, −2 + 1, 3 − 2) = (5/2, −1, 1). Da lo mismo. ✔

¿Es PQ paralelo a v = (−6, −4, 8)? Hay que ver si las coordenadas son proporcionales:

−6 / 3 = −2 −4 / 2 = −2 8 / (−4) = −2

La misma constante en las tres: sí son paralelos, y como k = −2 < 0, tienen sentidos opuestos. Además v mide el doble.

Control: v = −2·PQ⃗. Verificalo multiplicando: −2·(3, 2, −4) = (−6, −4, 8) ✔. Cuando sospechás paralelismo, reconstruir el vector con el k que encontraste es la comprobación más corta.

Dónde se cae la mayoría

Calcular el vector PQ como P − Q. Es Q − P: llegada menos salida.
Declarar dos vectores paralelos porque la proporción coincide en algunas coordenadas. Tiene que ser la misma en todas.
Sumar un escalar a un vector. c + P no está definido; sí c·P.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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