Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos

Producto escalar y producto vectorial

Dos productos distintos entre vectores. Uno devuelve un número y detecta perpendicularidad; el otro devuelve un vector perpendicular a los dos.

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La explicación

Producto escalar (o interno)

v · w = v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃ da un número real

Se multiplican coordenada a coordenada y se suma todo. El resultado no es un vector: es un escalar, y de ahí el nombre.

v · w = w · v conmutativo
v · (w + z) = v·w + v·z distributivo
(k v) · w = k (v · w)
v · v > 0 si v ≠ O, y v · v = 0 sólo si v = O

Para qué sirve: detecta ángulos rectos

v ⊥ w ⟺ v · w = 0

Ésta es la razón por la que existe el producto escalar en esta materia. Comprobar que dos vectores son perpendiculares se reduce a una suma de productos que da cero: no hay que medir ningún ángulo ni calcular ninguna raíz. Aparece en planos, en proyecciones y en distancias, todo el tiempo.

Y ojo: el vector nulo es perpendicular a todos, porque O · w = 0 siempre.

Producto vectorial (sólo en ℝ³)

v × w = (v₂w₃ − v₃w₂, v₃w₁ − v₁w₃, v₁w₂ − v₂w₁) da un vector

Para acordarse sin memorizar: para la coordenada i, se tapan las coordenadas i de los dos vectores y se hace la diferencia cruzada de lo que queda. En la del medio, además, se cambia el signo.

v × w = −(w × v) no es conmutativo
v × v = O
(k v) × w = k (v × w)
v × w es perpendicular a v y a w

La propiedad que se usa

Esa última línea es lo que hace útil al producto vectorial: dados dos vectores, produce uno perpendicular a los dos de una. Es exactamente lo que hace falta para encontrar el vector normal de un plano del que se conocen dos direcciones.

v = (1, 2, 3), w = (2, −1, 0)
v × w = (2·0 − 3·(−1), 3·2 − 1·0, 1·(−1) − 2·2) = (3, 6, −5)

Verificación obligatoria: (3,6,−5)·(1,2,3) = 3 + 12 − 15 = 0 ✔ y (3,6,−5)·(2,−1,0) = 6 − 6 + 0 = 0 ✔. Los dos productos escalares tienen que dar cero; si no, hay un error de signo en el medio.

Ejemplo resuelto

Sean v = (2, 1, −1) y w = (1, k, 3). Hallar k para que sean perpendiculares, y con ese valor calcular v × w verificando el resultado.

Perpendicularidad = producto escalar cero. Planteamos la ecuación:

v · w = 2·1 + 1·k + (−1)·3 = 2 + k − 3 = k − 1

k − 1 = 0 → k = 1

Entonces w = (1, 1, 3).

El patrón a reconocer: "hallar el parámetro para que sean perpendiculares" siempre se convierte en una ecuación lineal en ese parámetro. No hay que buscar por tanteo ni pensar en ángulos: se plantea v·w = 0 y se despeja.

Ahora el producto vectorial, coordenada por coordenada:

1ª: 1·3 − (−1)·1 = 3 + 1 = 4
2ª: (−1)·1 − 2·3 = −1 − 6 = −7 (acá va el orden cruzado que cambia el signo)
3ª: 2·1 − 1·1 = 1

v × w = (4, −7, 1)

Verificación, que en este tema es obligatoria:

(4,−7,1) · (2,1,−1) = 8 − 7 − 1 = 0 ✔
(4,−7,1) · (1,1,3) = 4 − 7 + 3 = 0 ✔

Los dos dan cero, así que el producto vectorial está bien calculado. Esta verificación atrapa cualquier error de signo, que es el único error que se comete acá, y toma quince segundos.

Dónde se cae la mayoría

Decir que el producto escalar da un vector. Da un número.
Olvidar el cambio de signo en la coordenada del medio del producto vectorial.
Calcular v × w en ℝ². El producto vectorial está definido en ℝ³.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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