Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos
Producto escalar y producto vectorial
Dos productos distintos entre vectores. Uno devuelve un número y detecta perpendicularidad; el otro devuelve un vector perpendicular a los dos.
La explicación
Producto escalar (o interno)
Se multiplican coordenada a coordenada y se suma todo. El resultado no es un vector: es un escalar, y de ahí el nombre.
v · (w + z) = v·w + v·z distributivo
(k v) · w = k (v · w)
v · v > 0 si v ≠ O, y v · v = 0 sólo si v = O
Para qué sirve: detecta ángulos rectos
Y ojo: el vector nulo es perpendicular a todos, porque O · w = 0 siempre.
Producto vectorial (sólo en ℝ³)
Para acordarse sin memorizar: para la coordenada i, se tapan las coordenadas i de los dos vectores y se hace la diferencia cruzada de lo que queda. En la del medio, además, se cambia el signo.
v × v = O
(k v) × w = k (v × w)
v × w es perpendicular a v y a w
La propiedad que se usa
Esa última línea es lo que hace útil al producto vectorial: dados dos vectores, produce uno perpendicular a los dos de una. Es exactamente lo que hace falta para encontrar el vector normal de un plano del que se conocen dos direcciones.
v × w = (2·0 − 3·(−1), 3·2 − 1·0, 1·(−1) − 2·2) = (3, 6, −5)
Verificación obligatoria: (3,6,−5)·(1,2,3) = 3 + 12 − 15 = 0 ✔ y (3,6,−5)·(2,−1,0) = 6 − 6 + 0 = 0 ✔. Los dos productos escalares tienen que dar cero; si no, hay un error de signo en el medio.
Sean v = (2, 1, −1) y w = (1, k, 3). Hallar k para que sean perpendiculares, y con ese valor calcular v × w verificando el resultado.
Perpendicularidad = producto escalar cero. Planteamos la ecuación:
Entonces w = (1, 1, 3).
Ahora el producto vectorial, coordenada por coordenada:
2ª: (−1)·1 − 2·3 = −1 − 6 = −7 (acá va el orden cruzado que cambia el signo)
3ª: 2·1 − 1·1 = 1
Verificación, que en este tema es obligatoria:
(4,−7,1) · (1,1,3) = 4 − 7 + 3 = 0 ✔
Los dos dan cero, así que el producto vectorial está bien calculado. Esta verificación atrapa cualquier error de signo, que es el único error que se comete acá, y toma quince segundos.
Sean u = (1, 2, 0), v = (0, 1, −1) y w = (2, 0, 3). Calcular el producto mixto u·(v × w), decir qué significa geométricamente, y verificarlo calculando un determinante.
El producto mixto se hace de adentro hacia afuera: primero el producto vectorial (que da un vector), después el escalar con el tercero (que da un número).
El producto vectorial v × w:
j: −[0·3 − (−1)·2] = −[0 + 2] = −2
k: 0·0 − 1·2 = −2
Control antes de seguir: v × w tiene que ser perpendicular a v y a w.
w·(3,−2,−2) = 6 − 0 − 6 = 0 ✓
Ahora el escalar con u:
Qué significa ese número. El módulo del producto mixto es el volumen del paralelepípedo que arman los tres vectores:
Y el signo también dice algo: negativo significa que la terna (u, v, w) está orientada al revés que la terna canónica (i, j, k). Para el volumen no importa, pero es lo que distingue una terna «derecha» de una «izquierda».
La consecuencia que suele preguntarse: como el producto mixto no es cero, los tres vectores no son coplanares. Si estuvieran en un mismo plano, el paralelepípedo sería chato y su volumen 0.
La verificación con el determinante. El producto mixto es exactamente el determinante de la matriz que tiene a los tres vectores como filas:
Desarrollando por la primera fila:
= 1·3 − 2·2 + 0 = 3 − 4 = −1 ✓
Los dos caminos dan lo mismo, y no es casualidad: son la misma cuenta escrita de dos maneras. Por eso el producto mixto no cambia si se rotan los tres vectores (u, v, w → v, w, u) y cambia de signo si se intercambian dos, igual que un determinante con sus filas.
Un atajo que conviene: si lo único que se pide es el volumen o decidir si son coplanares, se va directo al determinante y se saltea el producto vectorial. Es una cuenta en vez de dos.
Dónde se pierde el punto: calcular u·v y después multiplicar vectorialmente por w. u·v es un número, y no se puede hacer el producto vectorial de un número por un vector: el orden de las operaciones en u·(v × w) no es negociable.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que el producto escalar da un vector. Da un número.
- Olvidar el cambio de signo en la coordenada del medio del producto vectorial.
- Calcular v × w en ℝ². El producto vectorial está definido en ℝ³.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Producto escalar y producto vectorial →Los otros temas de la unidad 4
Vectores, rectas y planos