Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos

Rectas: paramétrica e implícita

Una recta queda determinada por un punto y una dirección. Hay dos maneras de escribirla y conviene saber pasar de una a la otra.

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La explicación

Ecuación paramétrica

L : X = λ·v + P (λ ∈ ℝ)

Se lee: partir del punto P y caminar en la dirección v. Cada valor de λ da un punto de la recta. El vector v se llama vector director.

L : (x, y) = λ(3, −1) + (1, 2)
λ = 0 → (1, 2) λ = 1 → (4, 1) λ = −1 → (−2, 3)

Ni P ni v son únicos. Cualquier punto de la recta sirve como P, y cualquier múltiplo no nulo de v sirve como director. Por eso dos escrituras que parecen distintas pueden ser la misma recta — y por eso los ejercicios de "¿son la misma?" son tan frecuentes. Esta forma funciona igual en ℝ², ℝ³ o ℝⁿ.

Ecuación implícita en ℝ²

L : a x + b y = c

El vector N = (a, b) es perpendicular a la recta (es el vector normal). Con director v = (v₁, v₂), un normal es N = (v₂, −v₁): se dan vuelta las coordenadas y se le cambia el signo a una.

v = (3, −1) → N = (−1, −3) → −x − 3y = c
pasa por (1, 2): c = −1 − 6 = −7
L : −x − 3y = −7, o sea x + 3y = 7

De implícita a paramétrica

Al revés es igual de directo: de a x + b y = c se lee el normal N = (a, b), y un director es v = (b, −a). Para el punto, se le da un valor cómodo a una variable y se despeja la otra.

L : 2x + y = 4 → v = (1, −2)
con x = 0: y = 4 → P = (0, 4)
L : X = λ(1, −2) + (0, 4)

Rectas en ℝ³

La paramétrica es idéntica: X = λv + P con tres coordenadas. Lo que no existe en ℝ³ es una sola ecuación implícita: ax + by + cz = d es un plano, no una recta.

Para dar una recta de ℝ³ en forma implícita hacen falta dos ecuaciones: la recta es la intersección de dos planos. Escribir una sola y llamarla recta es un error conceptual, no de cuenta.

Ejemplo resuelto

Hallar la ecuación implícita de la recta que pasa por A = (2, 1) y B = (5, 3), y decidir si C = (8, 5) pertenece a ella.

Paso 1: el director. Con dos puntos, el director es el vector que va de uno al otro:

v = B − A = (3, 2)

Paso 2: la paramétrica (por si la piden, y porque ayuda a controlar):

L : X = λ(3, 2) + (2, 1)

Paso 3: el normal. Se dan vuelta las coordenadas del director y se cambia un signo:

N = (2, −3) control: N · v = 6 − 6 = 0 ✔

Ese control es rápido y descarta el error más típico, que es olvidar el cambio de signo.

Paso 4: la implícita. Con N = (2, −3), la ecuación es 2x − 3y = c, y c sale reemplazando un punto de la recta:

con A = (2, 1): c = 2·2 − 3·1 = 1
L : 2x − 3y = 1

Control con el otro punto: con B = (5, 3), 2·5 − 3·3 = 10 − 9 = 1 ✔. Siempre conviene verificar con el punto que no se usó para hallar c.

Paso 5: ¿está C = (8, 5)? Se reemplaza y se mira si da 1:

2·8 − 3·5 = 16 − 15 = 1 ✔ → sí pertenece

Para qué sirve cada forma. Con la implícita, decidir si un punto pertenece es reemplazar y comparar: un renglón. Con la paramétrica habría que resolver 8 = 3λ + 2 y 5 = 2λ + 1 y verificar que el mismo λ sirva en las dos. Elegí la forma según lo que te pidan, y si hace falta, pasá de una a la otra.

Dónde se cae la mayoría

Escribir una recta de ℝ³ con una sola ecuación implícita. Esa ecuación describe un plano.
Confundir el vector director con el normal. En ax + by = c el normal es (a, b), el director es (b, −a).
Concluir que dos rectas son distintas porque sus ecuaciones no coinciden. Ni P ni v son únicos.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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