Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos
Rectas: paramétrica e implícita
Una recta queda determinada por un punto y una dirección. Hay dos maneras de escribirla y conviene saber pasar de una a la otra.
La explicación
Ecuación paramétrica
Se lee: partir del punto P y caminar en la dirección v. Cada valor de λ da un punto de la recta. El vector v se llama vector director.
λ = 0 → (1, 2) λ = 1 → (4, 1) λ = −1 → (−2, 3)
Ecuación implícita en ℝ²
El vector N = (a, b) es perpendicular a la recta (es el vector normal). Con director v = (v₁, v₂), un normal es N = (v₂, −v₁): se dan vuelta las coordenadas y se le cambia el signo a una.
pasa por (1, 2): c = −1 − 6 = −7
L : −x − 3y = −7, o sea x + 3y = 7
De implícita a paramétrica
Al revés es igual de directo: de a x + b y = c se lee el normal N = (a, b), y un director es v = (b, −a). Para el punto, se le da un valor cómodo a una variable y se despeja la otra.
con x = 0: y = 4 → P = (0, 4)
L : X = λ(1, −2) + (0, 4)
Rectas en ℝ³
La paramétrica es idéntica: X = λv + P con tres coordenadas. Lo que no existe en ℝ³ es una sola ecuación implícita: ax + by + cz = d es un plano, no una recta.
Hallar la ecuación implícita de la recta que pasa por A = (2, 1) y B = (5, 3), y decidir si C = (8, 5) pertenece a ella.
Paso 1: el director. Con dos puntos, el director es el vector que va de uno al otro:
Paso 2: la paramétrica (por si la piden, y porque ayuda a controlar):
Paso 3: el normal. Se dan vuelta las coordenadas del director y se cambia un signo:
Ese control es rápido y descarta el error más típico, que es olvidar el cambio de signo.
Paso 4: la implícita. Con N = (2, −3), la ecuación es 2x − 3y = c, y c sale reemplazando un punto de la recta:
L : 2x − 3y = 1
Control con el otro punto: con B = (5, 3), 2·5 − 3·3 = 10 − 9 = 1 ✔. Siempre conviene verificar con el punto que no se usó para hallar c.
Paso 5: ¿está C = (8, 5)? Se reemplaza y se mira si da 1:
Hallar la ecuación implícita de la recta que pasa por P = (1, 4) y es perpendicular a L : 3x − 2y = 5. Hallar el punto de intersección de las dos rectas y la distancia de P a L, verificando el resultado.
De una ecuación implícita se lee directo el vector normal: en ax + by = c, el vector (a, b) es perpendicular a la recta.
dirección de L: d = (2 ; 3) (se dan vuelta y se cambia un signo)
Acá está la idea que resuelve el ejercicio: la recta que buscamos es perpendicular a L, así que su dirección es la normal de L, y por lo tanto su normal es la dirección de L.
La c sale de que pasa por P = (1, 4):
M : 2x + 3y = 14
Control de perpendicularidad: las dos normales tienen que ser perpendiculares entre sí: (3,−2)·(2,3) = 6 − 6 = 0 ✓.
La intersección: se resuelve el sistema.
2x + 3y = 14 … (II)
Por eliminación, multiplicando (I) por 3 y (II) por 2 para que se vaya la y:
4x + 6y = 28
────────────
13x = 43 → x = 43/13
La distancia de P a L, con la fórmula:
= |3·1 − 2·4 − 5| / √(9 + 4)
= |3 − 8 − 5|/√13 = 10/√13 = 10√13/13 ≈ 2,77
La verificación, que es lo que hace completo al ejercicio. La distancia de P a L tiene que ser exactamente la distancia de P al punto de intersección, porque ese punto es el pie de la perpendicular:
módulo = √(900 + 400)/13 = √1300/13 = 10√13/13 ✓
Los dos caminos coinciden. El de la fórmula es más rápido; el del punto explica qué está midiendo la fórmula, que es la distancia al punto más cercano de la recta.
Un control de razonabilidad: P = (1,4) reemplazado en L da 3 − 8 = −5, que no es 5, así que P no está en L y la distancia tiene que ser positiva. Cuánto más lejos esté el valor de 5, más grande la distancia.
Dónde se pierde el punto: usar (3, −2) como dirección de la nueva recta y escribir 3x − 2y = c. Eso da una recta paralela a L, no perpendicular. La normal de L es la dirección de la perpendicular, y viceversa: hay que cruzarlos.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir una recta de ℝ³ con una sola ecuación implícita. Esa ecuación describe un plano.
- Confundir el vector director con el normal. En ax + by = c el normal es (a, b), el director es (b, −a).
- Concluir que dos rectas son distintas porque sus ecuaciones no coinciden. Ni P ni v son únicos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Rectas: paramétrica e implícita →Los otros temas de la unidad 4
Vectores, rectas y planos