Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos

Planos en ℝ³

Un plano queda determinado por un punto y un vector perpendicular. Ese vector normal es toda la información: los coeficientes de la ecuación son sus coordenadas.

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La explicación

La definición

Π : (X − Q) · N = 0

En palabras: el plano que pasa por Q y es perpendicular a N está formado por todos los X tales que el vector que va de Q a X es perpendicular a N.

Ecuación implícita

Desarrollando el producto escalar con N = (a, b, c) y X = (x, y, z):

Π : a x + b y + c z = d con d = Q · N

Los coeficientes son el normal. De 2x − y + 3z = 8 se lee, sin hacer ninguna cuenta, que N = (2, −1, 3). Y al revés: si te dan el normal y un punto, la ecuación sale en un renglón. Este ida y vuelta es la mitad de los ejercicios de planos.

Q = (1, 0, 2), N = (2, −1, 3)
d = Q · N = 2 − 0 + 6 = 8
Π : 2x − y + 3z = 8

Ecuación paramétrica

Si P, Q y R están en el plano y no están alineados:

Π : X = α(P − R) + β(Q − R) + R (α, β ∈ ℝ)

Dos parámetros, porque un plano tiene dos dimensiones. Los vectores P − R y Q − R son dos direcciones del plano (no normales: están adentro).

De paramétrica a implícita: el producto vectorial

Si conocés dos direcciones u y w del plano, el normal sale de una:

N = u × w

Porque el producto vectorial da un vector perpendicular a los dos, y un vector perpendicular a dos direcciones del plano es perpendicular al plano entero. Esta es la aplicación principal del producto vectorial en la materia.

Tres puntos, paso a paso

1. Armar dos direcciones: u = P − R, w = Q − R
2. N = u × w
3. d = R · N
4. Escribir a x + b y + c z = d

Control: los tres puntos tienen que verificar la ecuación. Si alguno no da, hay error.

Dos planos: cómo se cruzan

Todo se decide mirando las normales, sin resolver ningún sistema:

Normales paralelas (una múltiplo de la otra) y misma ecuación salvo factor: son el mismo plano.
Normales paralelas pero distinto término independiente: son paralelos y distintos, no se tocan nunca.
Normales no paralelas: se cortan en una recta, cuya dirección es N₁ × N₂ — perpendicular a las dos normales, que es justo lo que tiene que ser una dirección contenida en los dos planos.

El ángulo entre dos planos es el que forman sus normales:

cos θ = |N₁ · N₂| / (‖N₁‖ · ‖N₂‖)

Las barras de valor absoluto arriba son para quedarse con el ángulo agudo, que es el que se pide. En particular, dos planos son perpendiculares exactamente cuando N₁ · N₂ = 0.

Distancia de un punto a un plano

d(P, π) = |a·x₀ + b·y₀ + c·z₀ − d| / √(a² + b² + c²)

El numerador mide cuánto falla el punto en verificar la ecuación; el denominador normaliza para que la cuenta no dependa de con qué número se multiplicó la ecuación. Si el punto está en el plano, el numerador da 0 y la distancia también.

Ejemplo, con el control hecho por otro camino. Plano 2x − y + 3z = 6, punto P = (1, 2, 3).

numerador: |2·1 − 2 + 3·3 − 6| = |3| = 3
denominador: √(4 + 1 + 9) = √14
d = 3/√14 ≈ 0,8018

El segundo camino, que es el que hay que saber por si piden el punto más cercano: bajar desde P en la dirección de la normal hasta tocar el plano da el pie de la perpendicular Q ≈ (0,5714 ; 2,2143 ; 2,3571), que verifica 2x − y + 3z = 6 exacto, y medir ‖P − Q‖ da los mismos 0,8018. Que los dos caminos coincidan es la prueba de que la fórmula no es magia: es literalmente la longitud de ese segmento perpendicular.

Ejemplo resuelto

Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0) y R = (0, 0, 1).

Paso 1: dos direcciones del plano. Tomamos R como punto base:

u = P − R = (1, 0, −1)
w = Q − R = (0, 1, −1)

Paso 2: el normal, con el producto vectorial.

1ª: 0·(−1) − (−1)·1 = 0 + 1 = 1
2ª: (−1)·0 − 1·(−1) = 0 + 1 = 1
3ª: 1·1 − 0·0 = 1

N = (1, 1, 1)

Control del normal: N · u = 1 + 0 − 1 = 0 ✔ y N · w = 0 + 1 − 1 = 0 ✔.

Paso 3: el término independiente.

d = R · N = (0, 0, 1) · (1, 1, 1) = 1

Paso 4: la ecuación.

Π : x + y + z = 1

Verificar con los tres puntos es obligatorio, porque es lo único que detecta un error de signo en el producto vectorial:

P = (1,0,0): 1 + 0 + 0 = 1 ✔
Q = (0,1,0): 0 + 1 + 0 = 1 ✔
R = (0,0,1): 0 + 0 + 1 = 1 ✔

Una lectura geométrica. Este plano corta a cada eje en el 1 — son justo los tres puntos que nos dieron. En general, ax + by + cz = d corta al eje x en d/a, al eje y en d/b y al eje z en d/c. Es una forma rápida de dibujarlo y de controlar que la ecuación es razonable.

Las dos preguntas que siguen casi siempre.

a) ¿A qué distancia está el origen? Con la fórmula, |0 + 0 + 0 − 1| / √3 = 1/√3 ≈ 0,5774. Control geométrico: el punto del plano más cercano al origen tiene que estar en la dirección de la normal (1,1,1), y por simetría es (1/3, 1/3, 1/3) — que verifica la ecuación y está a √(3 · 1/9) = 1/√3 del origen ✓.

b) ¿Es perpendicular al plano x − y = 0? Se mira el producto escalar de las normales: (1,1,1) · (1,−1,0) = 1 − 1 + 0 = 0. Sí, son perpendiculares. Y como las normales no son paralelas, los dos planos se cortan en una recta de dirección (1,1,1) × (1,−1,0) = (1, 1, −2).

Por qué conviene resolver todo desde la normal. Las tres preguntas —la ecuación, la distancia y la posición relativa— salieron del mismo vector (1,1,1), sin plantear un solo sistema de ecuaciones. En este tema, cuando algo se está poniendo largo, casi siempre es señal de que hay un camino por la normal que no se vio.

Dónde se cae la mayoría

Usar como normal una dirección que está dentro del plano. El normal es perpendicular al plano.
Calcular d con un punto que no pertenece al plano.
Intentar armar el plano con tres puntos alineados: no determinan un plano único.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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