Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos
Posiciones relativas
Dos rectas, dos planos o una recta y un plano pueden cortarse, ser paralelos o coincidir. Todo se decide mirando primero las direcciones y después un punto.
La explicación
El método, siempre igual
2. Si son paralelas: ver si comparten un punto.
comparten → coincidentes
no comparten → paralelas distintas
3. Si no son paralelas: se cortan (o se cruzan, sólo en ℝ³).
Ese esquema de dos preguntas resuelve todos los casos. Lo que cambia es qué se compara.
Dos rectas
directores paralelos, sin punto común → paralelas
directores no paralelos, se cortan → incidentes (un punto)
directores no paralelos, no se cortan → alabeadas (sólo en ℝ³)
Dos planos
normales paralelos, distinta ecuación → paralelos
normales no paralelos → se cortan en una recta
Dos planos nunca se cortan en un solo punto: o no se tocan, o comparten una recta entera, o son el mismo. Es útil para descartar respuestas absurdas.
Recta y plano
Acá se compara el director v de la recta con el normal N del plano, y la pregunta se da vuelta: v · N = 0 significa paralelismo, porque quiere decir que la recta es perpendicular al normal, o sea que va "a lo largo" del plano.
v · N = 0 y un punto de L en Π → la recta está contenida
v · N = 0 y ningún punto en Π → paralelos, no se tocan
Cómo se calcula la intersección
Recta y plano: se reemplaza la paramétrica de la recta en la ecuación del plano y queda una ecuación en λ. Una solución → un punto; ninguna → paralelos; infinitas → contenida.
Dos rectas: se igualan las paramétricas y se resuelve el sistema en λ y μ. Ojo: hay que usar parámetros con nombres distintos para cada recta. Usar λ en las dos fuerza a que los puntos se alcancen "al mismo tiempo" y hace perder soluciones.
Determinar la posición relativa de L : X = λ(1, 0, 1) + (0, 1, 0) y Π : 2x − y + z = 5, y hallar la intersección si existe.
Paso 1: comparar dirección con normal.
v · N = 2 + 0 + 1 = 3 ≠ 0
Como no da cero, la recta no es paralela al plano: lo atraviesa, y lo corta en exactamente un punto. Ya sabemos la respuesta antes de calcular nada.
Paso 2: escribir el punto genérico de la recta.
Paso 3: meterlo en la ecuación del plano.
3λ = 6
λ = 2
Fijate que el coeficiente de λ dio 3, que es exactamente el v · N del paso 1. No es casualidad: siempre es así, y por eso v · N = 0 significa que λ desaparece de la ecuación.
Paso 4: el punto. Reemplazando λ = 2 en la recta:
Control doble. El punto tiene que estar en los dos:
en Π: 2·2 − 1 + 2 = 4 − 1 + 2 = 5 ✔
Verificar en el plano es lo importante, porque es donde se hizo la cuenta.
Determinar la posición relativa de L₁ : X = λ·(1, −1, 2) + (1, 0, 1) y L₂ : X = μ·(2, 1, 0) + (0, 3, 5), y calcular la distancia entre ellas.
Dos rectas en el espacio tienen cuatro posiciones posibles, y conviene descartarlas en orden: coincidentes, paralelas, secantes o alabeadas. Las dos primeras se descartan mirando las direcciones.
d₂ = (2 ; 1 ; 0)
¿Son paralelas? Habría que poder escribir una como múltiplo de la otra. De la tercera componente, 2·t = 0 daría t = 0, y con t = 0 la primera componente daría 0 ≠ 2. No son paralelas, así que no son ni paralelas ni coincidentes.
¿Se cortan? Hay que ver si existe algún par (λ, μ) que dé el mismo punto. Se igualan las tres coordenadas:
−λ = 3 + μ … (II)
1 + 2λ = 5 … (III)
Se empieza por la más simple, que acá es la tercera porque tiene una sola incógnita:
Se lleva a (II):
Y se controla en (I), que es la ecuación que sobra:
2·(−5) = −10
3 ≠ −10 ✗
El sistema es incompatible: no se cortan. Y como tampoco son paralelas, las rectas son alabeadas — se cruzan sin tocarse, como dos calles a distinto nivel.
El control de siempre: tres ecuaciones y dos incógnitas es un sistema sobredeterminado, así que lo normal es que no tenga solución. Que dos rectas del espacio se corten es la excepción, no la regla.
La distancia entre rectas alabeadas. Se mide sobre la dirección perpendicular a las dos, que es la del producto vectorial:
j: −[1·0 − 2·2] = −[−4] = 4
k: 1·1 − (−1)·2 = 1 + 2 = 3
Se toma un punto de cada recta y se proyecta el vector que los une sobre n:
P₂ − P₁ = (−1 ; 3 ; 4)
Por qué la fórmula es esa. La distancia entre dos rectas alabeadas es la sombra del vector que une dos puntos cualesquiera, medida en la única dirección perpendicular a las dos. Como esa dirección es fija, no importa qué puntos se elijan: el resultado es el mismo.
El control que confirma que son alabeadas: ese producto escalar dio 26, distinto de 0. Si hubiera dado 0, la distancia sería 0 y las rectas se cortarían — que es justo lo que ya habíamos descartado con el sistema. Los dos métodos tienen que coincidir.
Dónde se pierde el punto: concluir «son paralelas» porque el sistema no tiene solución. Que no se corten no las hace paralelas: eso se decide mirando las direcciones, y hay que hacerlo antes de plantear el sistema.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar el caso alabeado en ℝ³ y concluir que dos rectas no paralelas se cortan.
- Usar el mismo parámetro λ para las dos rectas al buscar la intersección.
- Creer que v · N = 0 significa que la recta corta al plano. Significa lo contrario: es paralela.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Posiciones relativas →Los otros temas de la unidad 4
Vectores, rectas y planos