Álgebra A (62) · Unidad 4 — Vectores, rectas y planos

Posiciones relativas

Dos rectas, dos planos o una recta y un plano pueden cortarse, ser paralelos o coincidir. Todo se decide mirando primero las direcciones y después un punto.

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La explicación

El método, siempre igual

1. Comparar las direcciones (los directores o los normales).
2. Si son paralelas: ver si comparten un punto.
comparten → coincidentes
no comparten → paralelas distintas
3. Si no son paralelas: se cortan (o se cruzan, sólo en ℝ³).

Ese esquema de dos preguntas resuelve todos los casos. Lo que cambia es qué se compara.

Dos rectas

directores paralelos + un punto común → coincidentes
directores paralelos, sin punto común → paralelas
directores no paralelos, se cortan → incidentes (un punto)
directores no paralelos, no se cortan → alabeadas (sólo en ℝ³)

Las alabeadas son el caso que no existe en el plano y el que más se olvida. Dos rectas de ℝ³ con direcciones distintas no tienen por qué cortarse: pueden pasar una por encima de la otra, como dos calles a distinto nivel. En ℝ², en cambio, direcciones distintas implica que se cortan sí o sí.

Dos planos

normales paralelos + misma ecuación (a menos de un factor) → coincidentes
normales paralelos, distinta ecuación → paralelos
normales no paralelos → se cortan en una recta

Dos planos nunca se cortan en un solo punto: o no se tocan, o comparten una recta entera, o son el mismo. Es útil para descartar respuestas absurdas.

Recta y plano

Acá se compara el director v de la recta con el normal N del plano, y la pregunta se da vuelta: v · N = 0 significa paralelismo, porque quiere decir que la recta es perpendicular al normal, o sea que va "a lo largo" del plano.

v · N ≠ 0 → se cortan en un punto
v · N = 0 y un punto de L en Π → la recta está contenida
v · N = 0 y ningún punto en Π → paralelos, no se tocan

Cómo se calcula la intersección

Recta y plano: se reemplaza la paramétrica de la recta en la ecuación del plano y queda una ecuación en λ. Una solución → un punto; ninguna → paralelos; infinitas → contenida.

Dos rectas: se igualan las paramétricas y se resuelve el sistema en λ y μ. Ojo: hay que usar parámetros con nombres distintos para cada recta. Usar λ en las dos fuerza a que los puntos se alcancen "al mismo tiempo" y hace perder soluciones.

Ejemplo resuelto

Determinar la posición relativa de L : X = λ(1, 0, 1) + (0, 1, 0) y Π : 2x − y + z = 5, y hallar la intersección si existe.

Paso 1: comparar dirección con normal.

v = (1, 0, 1) N = (2, −1, 1)
v · N = 2 + 0 + 1 = 3 ≠ 0

Como no da cero, la recta no es paralela al plano: lo atraviesa, y lo corta en exactamente un punto. Ya sabemos la respuesta antes de calcular nada.

Hacer esta comprobación primero ahorra trabajo y evita conclusiones absurdas. Si v · N hubiera dado 0, la ecuación en λ del paso siguiente habría salido sin solución (o con infinitas), y sin este chequeo previo es fácil interpretar mal ese resultado.

Paso 2: escribir el punto genérico de la recta.

X = (λ, 1, λ) o sea x = λ, y = 1, z = λ

Paso 3: meterlo en la ecuación del plano.

2λ − 1 + λ = 5
3λ = 6
λ = 2

Fijate que el coeficiente de λ dio 3, que es exactamente el v · N del paso 1. No es casualidad: siempre es así, y por eso v · N = 0 significa que λ desaparece de la ecuación.

Paso 4: el punto. Reemplazando λ = 2 en la recta:

X = (2, 1, 2)

Control doble. El punto tiene que estar en los dos:

en L: con λ = 2, (2, 1, 2) ✔
en Π: 2·2 − 1 + 2 = 4 − 1 + 2 = 5 ✔

Verificar en el plano es lo importante, porque es donde se hizo la cuenta.

Dónde se cae la mayoría

Olvidar el caso alabeado en ℝ³ y concluir que dos rectas no paralelas se cortan.
Usar el mismo parámetro λ para las dos rectas al buscar la intersección.
Creer que v · N = 0 significa que la recta corta al plano. Significa lo contrario: es paralela.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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