Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones

Norma y distancia

La norma es la longitud de un vector, y sale de Pitágoras. La distancia entre dos puntos es la norma de su diferencia.

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La explicación

Norma

‖(v₁, v₂)‖ = √(v₁² + v₂²)
‖(v₁, v₂, v₃)‖ = √(v₁² + v₂² + v₃²)

Es la longitud de la flecha, y no es más que el teorema de Pitágoras aplicado a las coordenadas. En ℝ³ se aplica dos veces: primero en la base, después en altura.

‖v‖² = v · v

Esa identidad conecta la norma con el producto escalar y es la que se usa en casi todas las demostraciones: permite pasar de longitudes a productos escalares, que se distribuyen.

Propiedades

‖v‖ ≥ 0, y vale 0 sólo si v = O
‖k·v‖ = |k|·‖v‖ con el módulo de k
‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖ desigualdad triangular
|v · w| ≤ ‖v‖·‖w‖ desigualdad de Cauchy-Schwarz

El |k| de la segunda no es decorativo. ‖−3v‖ = 3‖v‖, no −3‖v‖: una longitud nunca es negativa. Y la tercera se llama triangular porque dice que un lado de un triángulo no puede medir más que la suma de los otros dos — el camino derecho es el más corto.

Distancia entre dos puntos

d(P, Q) = ‖P − Q‖

Se arma el vector que va de uno al otro y se mide. El orden no importa, porque ‖P − Q‖ = ‖Q − P‖: al elevar al cuadrado los signos se pierden.

P = (1, 2, 2), Q = (4, 6, 2)
P − Q = (−3, −4, 0)
d = √(9 + 16 + 0) = 5

Vectores unitarios

v̂ = v / ‖v‖ tiene norma 1 y la misma dirección y sentido que v

Normalizar es dividir por la propia longitud. Sirve cada vez que interesa la dirección y no el tamaño: en proyecciones, en direcciones de rectas, y en física para las direcciones de las fuerzas.

v = (3, 4), ‖v‖ = 5 → v̂ = (3/5, 4/5)
control: (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1 ✔

Ejemplo resuelto

Dados P = (1, −1, 2) y Q = (3, 2, 2), calcular d(P, Q), hallar el vector unitario en la dirección de PQ, y verificar que mide 1.

Paso 1: el vector que los une.

PQ⃗ = Q − P = (2, 3, 0)

Paso 2: la distancia.

d(P, Q) = ‖(2, 3, 0)‖ = √(4 + 9 + 0) = √13 ≈ 3,61

Se deja como √13: es el valor exacto, y pasarlo a decimal sólo pierde precisión.

Control de razonabilidad, en dos segundos. La distancia siempre tiene que ser mayor que la mayor coordenada del vector (acá 3) y menor que la suma de todas (acá 5). Y 3,61 está entre 3 y 5. ✔ Este sandwich detecta al instante los errores de cuenta gruesos, que son los que más pasan.

Paso 3: normalizar. Se divide cada coordenada por la norma:

v̂ = (2/√13, 3/√13, 0)

Paso 4: verificar que mide 1.

‖v̂‖² = 4/13 + 9/13 + 0 = 13/13 = 1 ✔

Conviene verificar con el cuadrado de la norma: se evita la raíz y la cuenta sale mentalmente. Si la suma de los cuadrados no da exactamente 1, la normalización está mal.

Una observación que sirve después. El unitario apunta para el mismo lado que PQ. Si hiciera falta el unitario en sentido contrario, es simplemente −v̂. Los dos son válidos como "dirección" de una recta, y por eso dos ejercicios pueden dar directores opuestos y los dos estar bien.

Dónde se cae la mayoría

Escribir ‖k·v‖ = k·‖v‖ sin el módulo. Con k negativo daría una longitud negativa.
Usar ‖v + w‖ = ‖v‖ + ‖w‖. Sólo vale la desigualdad, salvo que sean paralelos del mismo sentido.
Olvidar la raíz al final y dar la norma al cuadrado.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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