Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones
Ángulo entre vectores
El producto escalar no sólo detecta ángulos rectos: mide cualquier ángulo. La fórmula del coseno es la que lo hace.
La explicación
La fórmula
Se toma siempre el menor de los dos ángulos que forman los vectores, así que θ nunca pasa de 180°. Que el cociente esté entre −1 y 1 lo garantiza la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
El signo del producto escalar dice el tipo de ángulo
v · w = 0 → θ = 90° perpendiculares
v · w < 0 → θ > 90° ángulo obtuso
Cómo se calcula en la práctica
v · w = 2 − 2 + 4 = 4
‖v‖ = √(1+4+4) = 3 ‖w‖ = √(4+1+4) = 3
cos θ = 4 / 9
θ = arccos(4/9) ≈ 63,6°
Es positivo, así que el ángulo tiene que ser agudo — y 63,6° lo es. ✔
Ángulos que conviene reconocer
cos θ = √2/2 → θ = 45°
cos θ = 1/2 → θ = 60°
cos θ = 0 → θ = 90° perpendiculares
cos θ = −1 → θ = 180° paralelos, sentidos opuestos
Ángulo entre rectas y entre planos
Se reduce al ángulo entre vectores, eligiendo bien cuáles:
entre dos planos: el ángulo entre sus normales
entre recta y plano: 90° menos el ángulo agudo entre el director y el normal
Como el ángulo entre rectas se toma agudo, se usa |v · w| en el numerador: una recta no tiene un sentido preferido, así que un director y su opuesto describen la misma recta.
Para recta y plano conviene escribirlo directamente con el seno, que se lleva el módulo adentro y ya no hay nada que corregir:
Sin ese módulo, cuando el ángulo entre v y N sale obtuso la resta da un número negativo, y el ángulo entre una recta y un plano siempre está entre 0° y 90°. Los dos extremos se leen solos: α = 0° es la recta paralela al plano, α = 90° es la recta perpendicular.
Hallar el ángulo entre v = (1, 1, 0) y w = (1, 0, 1), y después el ángulo entre los planos Π₁ : x + y = 1 y Π₂ : x − y + z = 0.
Primera parte: el ángulo entre los vectores.
‖v‖ = √2 ‖w‖ = √2
cos θ = 1 / (√2·√2) = 1/2
El producto escalar dio positivo y el ángulo salió agudo. Coherente. ✔
Segunda parte: el ángulo entre los planos. Se hace con los normales, que se leen directo de las ecuaciones:
Da cero: los normales son perpendiculares, así que los planos forman 90°. Son planos perpendiculares entre sí.
Por qué con los normales y no con direcciones del plano. Un plano tiene infinitas direcciones adentro, y el ángulo entre dos de ellas puede dar cualquier cosa. El normal, en cambio, es único salvo el signo, y el ángulo entre normales es exactamente el ángulo entre los planos. Elegir mal el vector es el error conceptual de este tema.
Control final: 0° ≤ θ ≤ 180° en los dos casos, y los dos resultados son ángulos razonables. Si un arcocoseno te pide el coseno de un número fuera de [−1, 1], hay un error en las normas.
Hallar el ángulo que forma la recta L : X = λ·(1, 1, 1) con el plano Π : 2x − y + z = 1. Hallar también el ángulo entre Π y el plano Π₂ : x + y + z = 0, y explicar por qué los dos cálculos dan el mismo coseno pero distinta respuesta.
Los dos problemas usan la misma cuenta y la interpretan distinto, y ese es exactamente el punto del ejercicio.
Los datos:
normal de Π: n = (2 ; −1 ; 1)
normal de Π₂: n₂ = (1 ; 1 ; 1)
Primero el coseno, que es la única cuenta:
|d| = √3, |n| = √(4+1+1) = √6
Ahora la interpretación, que es donde se separan los dos casos.
Caso 1: ángulo entre recta y plano. Ese φ = 61,87° es el ángulo entre la recta y la normal del plano, no entre la recta y el plano. Y el plano es perpendicular a su normal, así que hay que restar:
Cómo no olvidarse del 90° menos. Pensalo en un caso extremo: si la recta fuera perpendicular al plano, sería paralela a la normal, el ángulo con la normal daría 0°, y el ángulo con el plano tendría que ser 90°. La resta es lo que arregla eso.
Caso 2: ángulo entre dos planos. El ángulo entre planos sí es el ángulo entre sus normales, directamente:
cos θ = 2/(√3·√6) = √2/3
El mismo coseno, dos respuestas distintas. Y no es casualidad que salga el mismo número: el vector (1,1,1) es a la vez la dirección de L y la normal de Π₂. La cuenta es literalmente la misma; lo que cambia es qué representa cada vector.
El resumen, que conviene tener escrito:
plano–plano: entre las normales
recta–plano: 90° menos el de la dirección con la normal
Un detalle más: el ángulo entre dos objetos siempre se toma agudo, entre 0° y 90°. Si el coseno da negativo se toma el valor absoluto, porque una recta y su opuesta definen la misma dirección. Acá dio positivo, así que no hizo falta.
El significado geométrico del caso 1: L está casi paralela a Π (28° es poco), o sea que la atraviesa muy en diagonal. Si el producto escalar d·n hubiera dado 0, la recta sería paralela al plano o estaría contenida en él.
Dónde se pierde el punto: contestar 61,87° al ángulo entre la recta y el plano. Es el número que devuelve la calculadora, y es el ángulo con la normal: falta el paso de restar a 90°.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar dividir por las normas y tomar el producto escalar como si fuera el coseno.
- Dar el ángulo entre dos rectas mayor que 90°. Entre rectas se toma el agudo, con |v · w|.
- Calcular el ángulo entre planos con sus direcciones en vez de con sus normales.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Ángulo entre vectores →Los otros temas de la unidad 5
Norma, distancia y proyecciones