Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones

Ángulo entre vectores

El producto escalar no sólo detecta ángulos rectos: mide cualquier ángulo. La fórmula del coseno es la que lo hace.

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La explicación

La fórmula

cos θ = (v · w) / (‖v‖ · ‖w‖) con 0 ≤ θ ≤ π

Se toma siempre el menor de los dos ángulos que forman los vectores, así que θ nunca pasa de 180°. Que el cociente esté entre −1 y 1 lo garantiza la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

El signo del producto escalar dice el tipo de ángulo

v · w > 0 → θ < 90° ángulo agudo, apuntan "para el mismo lado"
v · w = 0 → θ = 90° perpendiculares
v · w < 0 → θ > 90° ángulo obtuso

Sólo con el signo ya sabés bastante, sin calcular normas ni arcocosenos. Muchos ejercicios que parecen pedir un ángulo en realidad se contestan mirando el signo. Y cuando sí hay que calcular, el signo del resultado sirve de control: si v · w salió negativo y tu θ dio menos de 90°, hay un error.

Cómo se calcula en la práctica

v = (1, 2, 2), w = (2, −1, 2)

v · w = 2 − 2 + 4 = 4
‖v‖ = √(1+4+4) = 3 ‖w‖ = √(4+1+4) = 3
cos θ = 4 / 9
θ = arccos(4/9) ≈ 63,6°

Es positivo, así que el ángulo tiene que ser agudo — y 63,6° lo es. ✔

Ángulos que conviene reconocer

cos θ = 1 → θ = 0° paralelos, mismo sentido
cos θ = √2/2 → θ = 45°
cos θ = 1/2 → θ = 60°
cos θ = 0 → θ = 90° perpendiculares
cos θ = −1 → θ = 180° paralelos, sentidos opuestos

Ángulo entre rectas y entre planos

Se reduce al ángulo entre vectores, eligiendo bien cuáles:

entre dos rectas: el ángulo entre sus directores
entre dos planos: el ángulo entre sus normales
entre recta y plano: 90° menos el ángulo entre el director y el normal

Como el ángulo entre rectas se toma agudo, se usa |v · w| en el numerador: una recta no tiene un sentido preferido, así que un director y su opuesto describen la misma recta.

Ejemplo resuelto

Hallar el ángulo entre v = (1, 1, 0) y w = (1, 0, 1), y después el ángulo entre los planos Π₁ : x + y = 1 y Π₂ : x − y + z = 0.

Primera parte: el ángulo entre los vectores.

v · w = 1·1 + 1·0 + 0·1 = 1
‖v‖ = √2 ‖w‖ = √2
cos θ = 1 / (√2·√2) = 1/2

θ = 60° (π/3)

El producto escalar dio positivo y el ángulo salió agudo. Coherente. ✔

Cuando el coseno da 1/2, √2/2 o √3/2, el ángulo es "lindo" (60°, 45°, 30°). Si te queda uno de esos valores, casi seguro el ejercicio estaba diseñado para dar exacto y conviene responder en grados o en radianes en vez de con un decimal.

Segunda parte: el ángulo entre los planos. Se hace con los normales, que se leen directo de las ecuaciones:

N₁ = (1, 1, 0) N₂ = (1, −1, 1)

N₁ · N₂ = 1 − 1 + 0 = 0

Da cero: los normales son perpendiculares, así que los planos forman 90°. Son planos perpendiculares entre sí.

Por qué con los normales y no con direcciones del plano. Un plano tiene infinitas direcciones adentro, y el ángulo entre dos de ellas puede dar cualquier cosa. El normal, en cambio, es único salvo el signo, y el ángulo entre normales es exactamente el ángulo entre los planos. Elegir mal el vector es el error conceptual de este tema.

Control final: 0° ≤ θ ≤ 180° en los dos casos, y los dos resultados son ángulos razonables. Si un arcocoseno te pide el coseno de un número fuera de [−1, 1], hay un error en las normas.

Dónde se cae la mayoría

Olvidar dividir por las normas y tomar el producto escalar como si fuera el coseno.
Dar el ángulo entre dos rectas mayor que 90°. Entre rectas se toma el agudo, con |v · w|.
Calcular el ángulo entre planos con sus direcciones en vez de con sus normales.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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