Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones
Áreas, volúmenes y producto mixto
La norma del producto vectorial es el área del paralelogramo, y el producto mixto es el volumen del paralelepípedo. Dos fórmulas que convierten geometría en una cuenta.
La explicación
Área con el producto vectorial
área del triángulo = ½ ‖v × w‖
El triángulo es la mitad del paralelogramo: la diagonal lo parte en dos iguales. Ese ½ es lo que más se olvida cuando el enunciado pide el área de un triángulo.
v = B − A = (1,2,0), w = C − A = (3,1,0)
v × w = (0, 0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5)
‖v × w‖ = 5 → área del triángulo = 5/2
Producto mixto y volumen
volumen del paralelepípedo = |(u × v) · w|
Primero el producto vectorial (que da un vector), después el escalar con el tercero (que da un número). El orden de las operaciones no se puede invertir: (u · v) × w no tiene sentido, porque u · v es un número y no se puede hacer producto vectorial con un número.
El criterio de coplanaridad
Tiene sentido: si los tres están en un mismo plano, el paralelepípedo que forman es chato y su volumen es cero. Es la forma estándar de verificar si cuatro puntos están en un mismo plano: se arman los tres vectores desde uno de ellos y se calcula el producto mixto.
u = Q − P, v = R − P, w = S − P
producto mixto = 0 → sí
Alineación en ℝ³
El caso más chico del mismo razonamiento: tres puntos están alineados ⟺ el producto vectorial de dos de sus vectores da el vector nulo, porque el triángulo que forman tiene área cero.
Decidir si los puntos P = (1,0,0), Q = (0,1,0), R = (0,0,1) y S = (1,1,1) están en un mismo plano, y en caso contrario calcular el volumen del paralelepípedo que determinan.
Paso 1: armar los tres vectores desde un mismo punto. Tomamos P como base:
v = R − P = (−1, 0, 1)
w = S − P = (0, 1, 1)
Paso 2: el producto vectorial de los dos primeros.
2ª: 0·(−1) − (−1)·1 = 0 + 1 = 1
3ª: (−1)·0 − 1·(−1) = 0 + 1 = 1
Control: (1,1,1)·u = −1 + 1 + 0 = 0 ✔ y (1,1,1)·v = −1 + 0 + 1 = 0 ✔.
Paso 3: el producto escalar con el tercero.
Conclusión. Dio 2, distinto de cero, así que los cuatro puntos no son coplanares. Y el volumen del paralelepípedo es |2| = 2.
Verificación geométrica. Los tres primeros puntos están en el plano x + y + z = 1 (cada uno tiene una coordenada en 1 y el resto en 0). Y S = (1,1,1) da 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 1: está fuera de ese plano. Coincide con lo que dio la cuenta. ✔
Un control más: si te hubiera dado volumen 0 pero S claramente fuera del plano, el error estaría en el producto vectorial — y por eso conviene hacer siempre el control de perpendicularidad del paso 2.
Dónde se cae la mayoría
- Dar el área de un triángulo sin dividir por 2.
- Dar un volumen negativo. El producto mixto puede serlo, el volumen no: va con módulo.
- Calcular (u · v) × w. El producto escalar da un número y no admite producto vectorial.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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