Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones
Áreas, volúmenes y producto mixto
La norma del producto vectorial es el área del paralelogramo, y el producto mixto es el volumen del paralelepípedo. Dos fórmulas que convierten geometría en una cuenta.
La explicación
Área con el producto vectorial
área del triángulo = ½ ‖v × w‖
El triángulo es la mitad del paralelogramo: la diagonal lo parte en dos iguales. Ese ½ es lo que más se olvida cuando el enunciado pide el área de un triángulo.
v = B − A = (1,2,0), w = C − A = (3,1,0)
v × w = (0, 0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5)
‖v × w‖ = 5 → área del triángulo = 5/2
Producto mixto y volumen
volumen del paralelepípedo = |(u × v) · w|
Primero el producto vectorial (que da un vector), después el escalar con el tercero (que da un número). El orden de las operaciones no se puede invertir: (u · v) × w no tiene sentido, porque u · v es un número y no se puede hacer producto vectorial con un número.
El criterio de coplanaridad
Tiene sentido: si los tres están en un mismo plano, el paralelepípedo que forman es chato y su volumen es cero. Es la forma estándar de verificar si cuatro puntos están en un mismo plano: se arman los tres vectores desde uno de ellos y se calcula el producto mixto.
u = Q − P, v = R − P, w = S − P
producto mixto = 0 → sí
Alineación en ℝ³
El caso más chico del mismo razonamiento: tres puntos están alineados ⟺ el producto vectorial de dos de sus vectores da el vector nulo, porque el triángulo que forman tiene área cero.
Decidir si los puntos P = (1,0,0), Q = (0,1,0), R = (0,0,1) y S = (1,1,1) están en un mismo plano, y en caso contrario calcular el volumen del paralelepípedo que determinan.
Paso 1: armar los tres vectores desde un mismo punto. Tomamos P como base:
v = R − P = (−1, 0, 1)
w = S − P = (0, 1, 1)
Paso 2: el producto vectorial de los dos primeros.
2ª: 0·(−1) − (−1)·1 = 0 + 1 = 1
3ª: (−1)·0 − 1·(−1) = 0 + 1 = 1
Control: (1,1,1)·u = −1 + 1 + 0 = 0 ✔ y (1,1,1)·v = −1 + 0 + 1 = 0 ✔.
Paso 3: el producto escalar con el tercero.
Conclusión. Dio 2, distinto de cero, así que los cuatro puntos no son coplanares. Y el volumen del paralelepípedo es |2| = 2.
Verificación geométrica. Los tres primeros puntos están en el plano x + y + z = 1 (cada uno tiene una coordenada en 1 y el resto en 0). Y S = (1,1,1) da 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 1: está fuera de ese plano. Coincide con lo que dio la cuenta. ✔
Un control más: si te hubiera dado volumen 0 pero S claramente fuera del plano, el error estaría en el producto vectorial — y por eso conviene hacer siempre el control de perpendicularidad del paso 2.
Calcular el volumen del tetraedro de vértices A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 3) y D = (1, 1, 1).
La fórmula del volumen del tetraedro es la sexta parte del módulo del producto mixto de los tres vectores que salen de un mismo vértice:
De dónde sale ese 1/6. El producto mixto da el volumen del paralelepípedo. El prisma triangular es la mitad, y el tetraedro es un tercio del prisma: 1/2 · 1/3 = 1/6.
Los tres vectores, todos desde A (podría ser desde cualquier vértice, el resultado no cambia):
AC = C − A = (−1 ; 0 ; 3)
AD = D − A = (0 ; 1 ; 1)
El determinante, desarrollando por la primera fila:
= −1·(−3) − 2·(−1) + 0
= 3 + 2 = 5
El volumen:
Control 1: que no dé cero. Un determinante nulo significaría que los cuatro puntos son coplanares y el «tetraedro» sería plano. Acá da 5, así que los cuatro puntos definen un cuerpo de verdad.
Control 2: cambiar de vértice. Si en vez de A se toma D como origen, los vectores son DA = (0,−1,−1), DB = (−1,1,−1), DC = (−1,−1,2), y el determinante da −5. El signo cambia, el módulo no, y el volumen sale igual ✓. Que el signo dependa del orden de los vectores es normal: por eso la fórmula lleva módulo.
Control 3, de razonabilidad geométrica. El tetraedro que forman A, B, C y el origen tiene volumen (1/6)·1·2·3 = 1, porque sus tres aristas están sobre los ejes. El nuestro usa D = (1,1,1) en lugar del origen, y da 5/6: un poco menos. Es coherente: los dos tetraedros comparten la base ABC (área 7/2, en el plano 6x + 3y + 2z = 6), y el origen está a 6/7 de ese plano mientras que D, que queda del otro lado, está a 5/7. Misma base, altura 5/6 de la otra.
El área de una cara, por si el parcial la pide. La del triángulo ABC es la mitad del módulo de AB × AC:
|AB × AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7
área = 7/2
Y con eso sale la altura desde D: V = (1/3)·área·altura → 5/6 = (1/3)·(7/2)·h → h = 5/7 ≈ 0,71. Todo cierra.
Dónde se pierde el punto: dividir por 3 en vez de por 6, o usar los puntos como filas del determinante en vez de los vectores. El determinante se arma con las diferencias, porque lo que mide es cómo se separan los vértices entre sí, no dónde está el cuerpo.
Dónde se cae la mayoría
- Dar el área de un triángulo sin dividir por 2.
- Dar un volumen negativo. El producto mixto puede serlo, el volumen no: va con módulo.
- Calcular (u · v) × w. El producto escalar da un número y no admite producto vectorial.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Áreas, volúmenes y producto mixto →Los otros temas de la unidad 5
Norma, distancia y proyecciones