Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones
Proyección ortogonal y distancias
Proyectar un punto sobre una recta o un plano es encontrar el punto más cercano. La distancia es lo que queda perpendicular.
La explicación
La idea geométrica
Dado un punto P y una recta L, la proyección ortogonal de P sobre L es el punto de L que se obtiene bajando la perpendicular desde P. Es el punto de L más cercano a P, y la distancia de P a L es justamente la longitud de esa perpendicular.
Proyección sobre una recta por el origen
Se lee: cuánto de P va en la dirección de v, medido por el producto escalar y normalizado por v · v = ‖v‖². El resultado es un múltiplo de v, como corresponde a un punto de la recta.
Recta que no pasa por el origen
Con L : X = λv + Q, se traslada el problema: se proyecta P − Q sobre v y después se vuelve a sumar Q.
proyL(P) = λ* · v + Q
Distancia de un punto a una recta de ℝ² (fórmula directa)
d(P, L) = |a x₀ + b y₀ − c| / √(a² + b²)
Es la más rápida cuando la recta está en implícita. Se reemplaza el punto, se resta el término independiente, se toma módulo y se divide por la norma del normal.
Distancia de un punto a un plano
d(P, Π) = |a x₀ + b y₀ + c z₀ − d| / √(a² + b² + c²)
Es la misma fórmula con una coordenada más. En los dos casos el denominador es la norma del vector normal, y por eso hay que usar la ecuación tal cual está, sin olvidar que si multiplicás toda la ecuación por 2 también se duplica el normal (y el resultado no cambia).
d = |2 − 1 + 2 − 6| / √(4+1+4) = 3/3 = 1
Dados P = (3, 1) y L : X = λ(1, 1), hallar la proyección ortogonal de P sobre L y la distancia d(P, L), verificando de dos maneras.
Paso 1: el coeficiente de la proyección. La recta pasa por el origen, así que se usa la fórmula directa:
v · v = 1 + 1 = 2
λ* = 4 / 2 = 2
Paso 2: la proyección.
Paso 3: el vector perpendicular y la distancia.
d = ‖(1, −1)‖ = √2 ≈ 1,41
Verificación por la otra vía. Pasamos L a implícita: su director es (1,1), así que un normal es (1, −1), y como pasa por el origen, L : x − y = 0. Con la fórmula directa:
Los dos caminos dan lo mismo. Cuál conviene usar depende de lo que te pidan: si sólo quieren la distancia, la fórmula implícita es más corta; si quieren también el punto más cercano, hay que proyectar.
Un control geométrico final: la proyección (2,2) está sobre la recta y = x ✔, y está "entre" el origen y la altura de P, lo cual es razonable. Si te hubiera dado un punto que no cumple la ecuación de la recta, el error es de cuenta, no de método.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir por ‖v‖ en vez de v · v al proyectar.
- Olvidar el módulo en la fórmula de distancia y dar una distancia negativa.
- Aplicar la fórmula de distancia con la recta en paramétrica. Primero hay que pasarla a implícita.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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