Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones
Proyección ortogonal y distancias
Proyectar un punto sobre una recta o un plano es encontrar el punto más cercano. La distancia es lo que queda perpendicular.
La explicación
La idea geométrica
Dado un punto P y una recta L, la proyección ortogonal de P sobre L es el punto de L que se obtiene bajando la perpendicular desde P. Es el punto de L más cercano a P, y la distancia de P a L es justamente la longitud de esa perpendicular.
Proyección sobre una recta por el origen
Se lee: cuánto de P va en la dirección de v, medido por el producto escalar y normalizado por v · v = ‖v‖². El resultado es un múltiplo de v, como corresponde a un punto de la recta.
Recta que no pasa por el origen
Con L : X = λv + Q, se traslada el problema: se proyecta P − Q sobre v y después se vuelve a sumar Q.
proyL(P) = λ* · v + Q
Distancia de un punto a una recta de ℝ² (fórmula directa)
d(P, L) = |a x₀ + b y₀ − c| / √(a² + b²)
Es la más rápida cuando la recta está en implícita. Se reemplaza el punto, se resta el término independiente, se toma módulo y se divide por la norma del normal.
Distancia de un punto a un plano
d(P, Π) = |a x₀ + b y₀ + c z₀ − d| / √(a² + b² + c²)
Es la misma fórmula con una coordenada más. En los dos casos el denominador es la norma del vector normal, y por eso hay que usar la ecuación tal cual está, sin olvidar que si multiplicás toda la ecuación por 2 también se duplica el normal (y el resultado no cambia).
d = |2 − 1 + 2 − 6| / √(4+1+4) = 3/3 = 1
Dados P = (3, 1) y L : X = λ(1, 1), hallar la proyección ortogonal de P sobre L y la distancia d(P, L), verificando de dos maneras.
Paso 1: el coeficiente de la proyección. La recta pasa por el origen, así que se usa la fórmula directa:
v · v = 1 + 1 = 2
λ* = 4 / 2 = 2
Paso 2: la proyección.
Paso 3: el vector perpendicular y la distancia.
d = ‖(1, −1)‖ = √2 ≈ 1,41
Verificación por la otra vía. Pasamos L a implícita: su director es (1,1), así que un normal es (1, −1), y como pasa por el origen, L : x − y = 0. Con la fórmula directa:
Los dos caminos dan lo mismo. Cuál conviene usar depende de lo que te pidan: si sólo quieren la distancia, la fórmula implícita es más corta; si quieren también el punto más cercano, hay que proyectar.
Un control geométrico final: la proyección (2,2) está sobre la recta y = x ✔, y está "entre" el origen y la altura de P, lo cual es razonable. Si te hubiera dado un punto que no cumple la ecuación de la recta, el error es de cuenta, no de método.
Hallar la distancia del punto P = (2, 3, −1) a la recta L : X = λ·(1, 0, 2) + (1, 1, 0), calculándola de dos maneras independientes.
Los datos de la recta se leen directo de su ecuación paramétrica:
d = (1 ; 0 ; 2) (su dirección)
AP = P − A = (1 ; 2 ; −1)
Método 1: descomponer AP en dos pedazos. Uno a lo largo de la recta y otro perpendicular. La distancia es el módulo del perpendicular.
El pedazo que va a lo largo de la recta (la proyección):
d·d = 1 + 0 + 4 = 5
λ₀ = −1/5
El λ₀ negativo no es un error: significa que el pie de la perpendicular cae «para atrás» respecto del punto A que elegimos. Como A era cualquiera, eso no molesta.
El pedazo perpendicular es lo que sobra:
Control obligatorio: ese vector tiene que ser perpendicular a d.
= √((36 + 100 + 9)/25) = √145/5 ≈ 2,41
Método 2: con el producto vectorial. La fórmula es:
j: −[1·2 − (−1)·1] = −[2 + 1] = −3
k: 1·0 − 2·1 = −2
|d| = √5
Los dos coinciden, y conviene ver que es el mismo número escrito distinto: √145/5 = √145/√25 = √(145/25) = √5,8 ✓.
Por qué funciona el segundo método. |AP × d| es el área del paralelogramo que arman AP y d. Ese paralelogramo tiene base |d| y altura igual a la distancia buscada, así que área/base = altura. Es la fórmula del área de la primaria, leída al revés.
Cuál conviene en el parcial. El segundo es más corto si solo piden la distancia. El primero es el único que sirve si además piden el punto de L más cercano a P, que es A + λ₀·d = (1 − 1/5 ; 1 ; −2/5) = (4/5 ; 1 ; −2/5).
Dónde se pierde el punto: en el método 2, dividir por |d|² en vez de por |d|. Ahí el denominador es el módulo a secas, a diferencia de la fórmula de la proyección. Vale la pena anotar las dos juntas para no cruzarlas.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir por ‖v‖ en vez de v · v al proyectar.
- Olvidar el módulo en la fórmula de distancia y dar una distancia negativa.
- Aplicar la fórmula de distancia con la recta en paramétrica. Primero hay que pasarla a implícita.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Proyección ortogonal y distancias →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Proyección, distancia y simétrico25 puntos · resuelto paso a paso
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