Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones
Proyección sobre un plano
Proyectar sobre un plano es lo mismo que sobre una recta, con el normal en el papel del director: se baja la perpendicular y se cae en el punto más cercano.
La explicación
La idea, y por qué es la misma de antes
La proyección ortogonal de P sobre un plano Π es el punto proyΠ(P) donde la recta perpendicular a Π que pasa por P corta al plano. Es el punto de Π más cercano a P.
La fórmula
proyΠ(P) = ( (d − P·N) / ‖N‖² ) · N + P
Se lee de derecha a izquierda: se arranca en P y se camina en la dirección de N lo justo para aterrizar en el plano. Ese "lo justo" es el coeficiente (d − P·N)/‖N‖².
N = (1,1,1), ‖N‖² = 3, P·N = 0
coeficiente: (3 − 0)/3 = 1
proyΠ(P) = 1·(1,1,1) + (0,0,0) = (1, 1, 1)
El control, que son dos cosas
2. Lo que queda es paralelo a N. P − proy = (−1,−1,−1) = −N ✔
Las dos juntas caracterizan la proyección, y la segunda es la que detecta un error de signo. Con una recta el control era que P − proy fuera perpendicular al director; con un plano es que sea paralelo al normal. Es el mismo hecho dicho de dos maneras.
Y de acá sale la distancia
La fórmula corta de distancia que ya usabas no es otra cosa: es el largo de ese mismo camino. Tomando norma en la fórmula de la proyección, el ‖N‖² de abajo se come uno de los ‖N‖ y queda ‖N‖ solo.
Las tres proyecciones, juntas
sobre L : X = λv + Q: ((P−Q)·v / ‖v‖²) · v + Q
sobre Π : …= d: ((d − P·N) / ‖N‖²) · N + P
Ojo con la última: el vector que se suma al final es P, no Q. En las de recta se vuelve al punto de paso; en la del plano se parte del propio P. Confundirlas es el error más común del tema.
Hallar la proyección ortogonal de P = (1, 1, 1) sobre Π : 2x − y + 2z = 6, y la distancia d(P, Π).
Paso 1: leer el normal y su norma.
Que ‖N‖ dé entero es una comodidad del ejercicio, no la regla — pero cuando pasa, conviene aprovecharlo y no pasar a decimales.
Paso 2: el coeficiente.
(d − P·N) / ‖N‖² = (6 − 3)/9 = 1/3
Paso 3: la proyección. Se camina 1/3 de N desde P:
= (2/3, −1/3, 2/3) + (1, 1, 1)
= (5/3, 2/3, 5/3)
¿P − proy es paralelo a N? (1,1,1) − (5/3,2/3,5/3) = (−2/3, 1/3, −2/3) = −(1/3)·N ✔
Paso 4: la distancia. Por la definición:
Y con la fórmula corta, que tiene que dar lo mismo:
Coinciden. Cuándo usar cada una: si sólo piden la distancia, la corta. Si piden el punto más cercano —o el simétrico, que es el tema que sigue— hay que proyectar igual, y entonces la distancia sale de yapa.
Dónde se cae la mayoría
- Usar el director del plano en vez del normal. Sobre un plano se proyecta con N.
- Sumar Q en vez de P al final de la fórmula del plano.
- Olvidar el cuadrado: el denominador es ‖N‖², no ‖N‖.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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