Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones

Proyección sobre un plano

Proyectar sobre un plano es lo mismo que sobre una recta, con el normal en el papel del director: se baja la perpendicular y se cae en el punto más cercano.

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La explicación

La idea, y por qué es la misma de antes

La proyección ortogonal de P sobre un plano Π es el punto proy_Π(P) donde la recta perpendicular a Π que pasa por P corta al plano. Es el punto de Π más cercano a P.

Con una recta se proyectaba "sobre" el director; con un plano se proyecta "quitando" el normal. Son la misma operación mirada al revés, y por eso la fórmula se parece tanto: lo que se calcula es cuánto hay que moverse en la dirección de N para llegar al plano.

La fórmula

Π : a x + b y + c z = d, N = (a, b, c)

proy_Π(P) = ( (d − P·N) / ‖N‖² ) · N + P

Se lee de derecha a izquierda: se arranca en P y se camina en la dirección de N lo justo para aterrizar en el plano. Ese "lo justo" es el coeficiente (d − P·N)/‖N‖².

Π : x + y + z = 3, P = (0, 0, 0)

N = (1,1,1), ‖N‖² = 3, P·N = 0
coeficiente: (3 − 0)/3 = 1
proy_Π(P) = 1·(1,1,1) + (0,0,0) = (1, 1, 1)

El control, que son dos cosas

1. El resultado está en el plano. 1 + 1 + 1 = 3 ✔
2. Lo que queda es paralelo a N. P − proy = (−1,−1,−1) = −N ✔

Las dos juntas caracterizan la proyección, y la segunda es la que detecta un error de signo. Con una recta el control era que P − proy fuera perpendicular al director; con un plano es que sea paralelo al normal. Es el mismo hecho dicho de dos maneras.

Y de acá sale la distancia

d(P, Π) = ‖P − proy_Π(P)‖ = |d − P·N| / ‖N‖

La fórmula corta de distancia que ya usabas no es otra cosa: es el largo de ese mismo camino. Tomando norma en la fórmula de la proyección, el ‖N‖² de abajo se come uno de los ‖N‖ y queda ‖N‖ solo.

en el ejemplo: ‖(−1,−1,−1)‖ = √3, y |3 − 0|/√3 = √3 ✔

Las tres proyecciones, juntas

sobre v (recta por 0): (P·v / ‖v‖²) · v
sobre L : X = λv + Q: ((P−Q)·v / ‖v‖²) · v + Q
sobre Π : …= d: ((d − P·N) / ‖N‖²) · N + P

Ojo con la última: el vector que se suma al final es P, no Q. En las de recta se vuelve al punto de paso; en la del plano se parte del propio P. Confundirlas es el error más común del tema.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la proyección ortogonal de P = (1, 1, 1) sobre Π : 2x − y + 2z = 6, y la distancia d(P, Π).

Paso 1: leer el normal y su norma.

N = (2, −1, 2) ‖N‖² = 4 + 1 + 4 = 9 ‖N‖ = 3

Que ‖N‖ dé entero es una comodidad del ejercicio, no la regla — pero cuando pasa, conviene aprovecharlo y no pasar a decimales.

Paso 2: el coeficiente.

P·N = 2 − 1 + 2 = 3
(d − P·N) / ‖N‖² = (6 − 3)/9 = 1/3

Paso 3: la proyección. Se camina 1/3 de N desde P:

proy_Π(P) = (1/3)(2, −1, 2) + (1, 1, 1)
= (2/3, −1/3, 2/3) + (1, 1, 1)
= (5/3, 2/3, 5/3)

Los dos controles, y conviene hacer los dos.

¿está en Π? 2(5/3) − 2/3 + 2(5/3) = 10/3 − 2/3 + 10/3 = 18/3 = 6 ✔
¿P − proy es paralelo a N? (1,1,1) − (5/3,2/3,5/3) = (−2/3, 1/3, −2/3) = −(1/3)·N ✔

El primero verifica que aterrizaste en el plano; el segundo, que bajaste derecho. Si el primero falla es un error de cuenta; si falla el segundo, usaste el vector equivocado.

Paso 4: la distancia. Por la definición:

d(P, Π) = ‖(−2/3, 1/3, −2/3)‖ = √(4/9 + 1/9 + 4/9) = √(9/9) = 1

Y con la fórmula corta, que tiene que dar lo mismo:

|d − P·N| / ‖N‖ = |6 − 3| / 3 = 1 ✔

Coinciden. Cuándo usar cada una: si sólo piden la distancia, la corta. Si piden el punto más cercano —o el simétrico, que es el tema que sigue— hay que proyectar igual, y entonces la distancia sale de yapa.

Y uno del nivel del parcial

Hallar el punto simétrico de P = (2, 1, 3) respecto del plano Π : x + 2y − 2z = 1, pasando por el pie de la perpendicular. Verificar el resultado.

El simétrico se construye en dos pasos: primero el pie de la perpendicular (la proyección de P sobre el plano), después se sigue la misma cantidad para el otro lado.

n = (1 ; 2 ; −2), |n|² = 1 + 4 + 4 = 9

Cuánto «se pasa» P del plano. Se reemplaza P en la ecuación y se compara con el término independiente:

P·n − 1 = (2 + 2 − 6) − 1 = −2 − 1 = −3

Ese −3 no es la distancia todavía, pero de ahí sale todo. La distancia es:

d(P, Π) = |−3|/|n| = 3/3 = 1

El pie de la perpendicular. Se sale de P en la dirección de la normal, lo justo para llegar al plano:

pie = P − [(P·n − c)/|n|²]·n
= (2, 1, 3) − (−3/9)·(1, 2, −2)
= (2, 1, 3) + (1/3)·(1, 2, −2)

pie = (2 + 1/3 ; 1 + 2/3 ; 3 − 2/3) = (7/3 ; 5/3 ; 7/3)

Control 1: el pie tiene que estar en el plano.

7/3 + 2·(5/3) − 2·(7/3) = 7/3 + 10/3 − 14/3 = 3/3 = 1 ✓

El simétrico: se recorre el doble. Si con un paso se llega al plano, con dos se llega al otro lado, a la misma distancia:

P′ = P − 2·[(P·n − c)/|n|²]·n
= (2, 1, 3) + (2/3)·(1, 2, −2)

P′ = (2 + 2/3 ; 1 + 4/3 ; 3 − 4/3) = (8/3 ; 7/3 ; 5/3)

Control 2: el pie tiene que ser el punto medio de P y P′. Este es el control que realmente prueba que el simétrico está bien:

((2 + 8/3)/2 ; (1 + 7/3)/2 ; (3 + 5/3)/2)
= ((14/3)/2 ; (10/3)/2 ; (14/3)/2) = (7/3 ; 5/3 ; 7/3) ✓

Control 3: P′ tiene que estar a la misma distancia del plano que P, del otro lado.

P′·n − 1 = (8/3 + 14/3 − 10/3) − 1 = 12/3 − 1 = 4 − 1 = 3

Dio +3 donde P daba −3. Mismo valor absoluto, signo opuesto: misma distancia, lado contrario. Eso es exactamente lo que tiene que pasar, y si te da el mismo signo, en vez del simétrico calculaste otra cosa.

La estructura de la cuenta, para no memorizar tres fórmulas: hay una sola, y el 1 o el 2 adelante deciden si llegás al plano o lo cruzás. El −(P·n − c)/|n|² es «cuánto hay que moverse en la dirección de n», y todo lo demás es multiplicarlo.

Dónde se pierde el punto: dividir por |n| en vez de |n|² al armar el paso. Con |n| = 3 y |n|² = 9 el error es un factor 3, y el «pie» ni siquiera cae en el plano — que es justo lo que detecta el control 1.

Dónde se cae la mayoría

Usar el director del plano en vez del normal. Sobre un plano se proyecta con N.
Sumar Q en vez de P al final de la fórmula del plano.
Olvidar el cuadrado: el denominador es ‖N‖², no ‖N‖.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Proyección, distancia y simétrico25 puntos · resuelto paso a paso

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