Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones
Punto simétrico
El simétrico es el reflejo: se llega a la proyección y se sigue otro tanto. Toda la cuenta es P′ = 2·proy − P.
La explicación
Simétrico respecto de un punto
Es la fórmula base y de ella salen todas las demás.
Respecto de una recta o de un plano
P′ = 2·proyΠ(P) − P (respecto de un plano)
Dicho en palabras: se camina de P hasta la proyección, y se sigue exactamente lo mismo. La proyección queda en el medio.
El procedimiento, siempre igual
2. Aplicar P′ = 2·proy − P.
3. Controlar.
proyΠ(P) = (1,1,1) (del tema anterior)
P′ = 2(1,1,1) − (0,0,0) = (2, 2, 2)
Los controles
2. La proyección es el punto medio: (P + P′)/2 = proy
3. P′ ≠ P, salvo que P ya estuviera en Π
En el ejemplo: d(P,Π) = |3−0|/√3 = √3, y d(P′,Π) = |3−6|/√3 = √3 ✔. Y el punto medio entre (0,0,0) y (2,2,2) es (1,1,1), que es la proyección ✔.
Por qué aparece tanto
Es un tema que se toma seguido porque obliga a encadenar: para llegar al simétrico hay que saber proyectar, y para proyectar hay que manejar normal, producto escalar y norma. Un solo enunciado corto te hace usar media unidad.
Y aparece dado vuelta: "la proyección de P sobre Π es Q, determinar Π". Ahí se usa que P − Q es paralelo al normal, así que N = P − Q sirve como normal, y Q pertenece al plano, lo que da el término independiente.
Sea P = (3, 1) y L : X = λ(1, 1). Hallar la proyección de P sobre L y el punto simétrico P′ respecto de L.
Paso 1: la proyección. La recta pasa por el origen, así que va la fórmula corta:
proyL(P) = 2·(1, 1) = (2, 2)
Control de la proyección: P − proy = (1, −1), y (1,−1)·(1,1) = 0 ✔. Perpendicular al director, como debe ser.
Paso 2: el simétrico.
Los tres controles.
Igual distancia. Pasando L a implícita: director (1,1) → normal (1,−1),
y pasa por el origen, así que L : x − y = 0.
d(P, L) = |3 − 1|/√2 = √2 d(P′, L) = |1 − 3|/√2 = √2 ✔
P′ ≠ P ✔ (P no estaba sobre L)
Los tres cierran.
Una lectura que sirve: P = (3,1) y P′ = (1,3) tienen las coordenadas intercambiadas. No es casualidad — L es la recta y = x, y reflejar sobre ella es exactamente intercambiar x con y. Es la misma simetría que en el tema 8.3 aparece como la matriz [[0,1],[1,0]].
Sea P = (1, 5) y L : 2x − y = 3. Hallar el pie de la perpendicular de P sobre L y el punto simétrico P′ de P respecto de L, verificando de dos maneras.
Es el mismo esquema que en el espacio, pero en el plano, y acá la recta hace el papel que allá hacía el plano. La normal se lee de la ecuación implícita:
Cuánto se pasa P de la recta:
El pie de la perpendicular:
= (1, 5) + (12/5 ; −6/5)
Control 1: el pie está sobre L.
El simétrico, recorriendo el doble:
Verificación 1: el pie es el punto medio del segmento PP′.
Verificación 2: P y P′ están a la misma distancia de L, de lados opuestos.
P′: 2·(29/5) − 13/5 − 3 = (58 − 13 − 15)/5 = 30/5 = 6 → distancia 6/√5 ✓
Los signos opuestos (−6 y +6) confirman que están de lados distintos. Si los dos dieran el mismo signo, el «simétrico» habría quedado del mismo lado, que es el error típico de aplicar el factor 1 en vez del 2.
Verificación 3, la geométrica: el segmento PP′ tiene que ser perpendicular a L, o sea paralelo a la normal.
Para qué sirve esto en la práctica. El simétrico respecto de una recta es la reflexión: si L fuera un espejo, P′ es donde se ve P. En la unidad de transformaciones lineales esta misma cuenta se escribe como una matriz, y es la matriz de la simetría axial.
Un detalle de escritura: conviene dejar las coordenadas como fracciones (17/5 ; 19/5) y no pasarlas a decimales. Con decimales, los controles de arriba dejan de dar exacto y no se sabe si es un error de redondeo o un error de verdad.
Dónde se pierde el punto: usar el 1 en lugar del 2 y entregar el pie como si fuera el simétrico. El pie está sobre la recta; el simétrico, del otro lado. Si tu respuesta satisface la ecuación de L, calculaste el pie.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir P′ = 2P − proy. Es al revés: P′ = 2·proy − P.
- Calcular el simétrico sin haber calculado antes la proyección.
- Olvidar que si P ya está en el plano, el simétrico es el mismo P.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Punto simétrico →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Proyección, distancia y simétrico25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 5
Norma, distancia y proyecciones