Álgebra A (62) · Unidad 5 — Norma, distancia y proyecciones

Punto simétrico

El simétrico es el reflejo: se llega a la proyección y se sigue otro tanto. Toda la cuenta es P′ = 2·proy − P.

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La explicación

Simétrico respecto de un punto

El simétrico de P respecto de Q es el punto P′ tal que Q es el punto medio de P y P′.

(P + P′)/2 = Q → P′ = 2Q − P

Es la fórmula base y de ella salen todas las demás.

Respecto de una recta o de un plano

El truco es que no hay truco nuevo. El simétrico de P respecto de una recta L es el simétrico de P respecto del punto proy_L(P). Y respecto de un plano Π, el simétrico respecto de proy_Π(P). Siempre se reduce al caso del punto.

P′ = 2·proy_L(P) − P (respecto de una recta)
P′ = 2·proy_Π(P) − P (respecto de un plano)

Dicho en palabras: se camina de P hasta la proyección, y se sigue exactamente lo mismo. La proyección queda en el medio.

El procedimiento, siempre igual

1. Calcular la proyección de P (sobre la recta o el plano).
2. Aplicar P′ = 2·proy − P.
3. Controlar.

Π : x + y + z = 3, P = (0,0,0)
proy_Π(P) = (1,1,1) (del tema anterior)
P′ = 2(1,1,1) − (0,0,0) = (2, 2, 2)

Los controles

1. Igual distancia: d(P′, Π) = d(P, Π)
2. La proyección es el punto medio: (P + P′)/2 = proy
3. P′ ≠ P, salvo que P ya estuviera en Π

En el ejemplo: d(P,Π) = |3−0|/√3 = √3, y d(P′,Π) = |3−6|/√3 = √3 ✔. Y el punto medio entre (0,0,0) y (2,2,2) es (1,1,1), que es la proyección ✔.

El caso borde vale la pena tenerlo claro: si P ya pertenece al plano, entonces proy(P) = P y la fórmula da P′ = 2P − P = P. El simétrico es él mismo, que es exactamente lo que tiene que pasar — un punto sobre el espejo no se mueve.

Por qué aparece tanto

Es un tema que se toma seguido porque obliga a encadenar: para llegar al simétrico hay que saber proyectar, y para proyectar hay que manejar normal, producto escalar y norma. Un solo enunciado corto te hace usar media unidad.

Y aparece dado vuelta: "la proyección de P sobre Π es Q, determinar Π". Ahí se usa que P − Q es paralelo al normal, así que N = P − Q sirve como normal, y Q pertenece al plano, lo que da el término independiente.

Ejemplo resuelto

Sea P = (3, 1) y L : X = λ(1, 1). Hallar la proyección de P sobre L y el punto simétrico P′ respecto de L.

Paso 1: la proyección. La recta pasa por el origen, así que va la fórmula corta:

P·v = 3 + 1 = 4 v·v = 2 coeficiente = 2
proy_L(P) = 2·(1, 1) = (2, 2)

Control de la proyección: P − proy = (1, −1), y (1,−1)·(1,1) = 0 ✔. Perpendicular al director, como debe ser.

Paso 2: el simétrico.

P′ = 2·proy − P = 2(2, 2) − (3, 1) = (4, 4) − (3, 1) = (1, 3)

Fijate el orden: 2·proy − P, no 2P − proy. Una forma de no equivocarse nunca es pensarlo como "la proyección es el punto medio": si (P + P′)/2 = proy, despejando queda P′ = 2·proy − P. Si dudás, despejalo en el momento en vez de recordar la fórmula.

Los tres controles.

Punto medio: ((3+1)/2, (1+3)/2) = (2, 2) = proy ✔

Igual distancia. Pasando L a implícita: director (1,1) → normal (1,−1),
y pasa por el origen, así que L : x − y = 0.
d(P, L) = |3 − 1|/√2 = √2 d(P′, L) = |1 − 3|/√2 = √2 ✔

P′ ≠ P ✔ (P no estaba sobre L)

Los tres cierran.

Una lectura que sirve: P = (3,1) y P′ = (1,3) tienen las coordenadas intercambiadas. No es casualidad — L es la recta y = x, y reflejar sobre ella es exactamente intercambiar x con y. Es la misma simetría que en el tema 8.3 aparece como la matriz [[0,1],[1,0]].

Dónde se cae la mayoría

Escribir P′ = 2P − proy. Es al revés: P′ = 2·proy − P.
Calcular el simétrico sin haber calculado antes la proyección.
Olvidar que si P ya está en el plano, el simétrico es el mismo P.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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