Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios

Matrices y producto

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Se suma elemento a elemento, pero el producto es fila por columna y no es conmutativo.

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La explicación

Notación

A ∈ ℝ^m×n m filas, n columnas
a_ij = el número en la fila i, columna j

Primero filas, después columnas, siempre, en el tamaño y en los subíndices. Una matriz 3×2 tiene 3 filas y 2 columnas.

A^t = la transpuesta: las filas de A pasan a ser columnas
si A es m×n, entonces A^t es n×m

Tipos que aparecen seguido: triangular superior (ceros debajo de la diagonal), triangular inferior (ceros arriba), diagonal (ceros fuera de la diagonal) y la identidad I, que es diagonal con unos.

Suma y producto por escalar: elemento a elemento

A + B = (a_ij + b_ij) k·A = (k a_ij)

Para sumar, las dos matrices tienen que tener exactamente el mismo tamaño. Estas operaciones no tienen ninguna sorpresa.

Producto: fila por columna

(AB)_ij = (fila i de A) · (columna j de B)

Cada elemento del resultado es un producto escalar. Por eso los tamaños tienen que encajar:

A es m×n B es n×s → AB es m×s

La regla de los tamaños es la primera pregunta, siempre. Se escriben los dos tamaños pegados — (m×n)(n×s) — y los números del medio tienen que coincidir. Si no coinciden, el producto no existe, y esa es la respuesta correcta al ejercicio, no un error.

(2×3)(3×4) = 2×4 ✔ (2×3)(2×3) ✘ no se puede

Lo que el producto de matrices NO cumple

AB ≠ BA en general no es conmutativo
AB = 0 no implica A = 0 ni B = 0
AB = AC no implica B = C no se puede "simplificar"

Esas tres son las diferencias grandes con los números, y las tres se usan como trampa. Puede pasar incluso que AB exista y BA no, por una cuestión de tamaños.

Lo que sí cumple

(AB)C = A(BC) asociativo
A(B + C) = AB + AC distributivo
A·I = I·A = A la identidad es el neutro
(AB)^t = B^tA^t la transpuesta invierte el orden

La última se olvida muy seguido: al transponer un producto, los factores se dan vuelta.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean A = [[1, 2], [0, 1]] y B = [[1, 0], [3, 1]] (matrices 2×2, escritas por filas). Calcular AB y BA, y comparar.

Primero, los tamaños. (2×2)(2×2) = 2×2: los dos productos existen y son 2×2.

AB, fila por columna.

(1,1): fila 1 de A por columna 1 de B = (1,2)·(1,3) = 1 + 6 = 7
(1,2): (1,2)·(0,1) = 0 + 2 = 2
(2,1): (0,1)·(1,3) = 0 + 3 = 3
(2,2): (0,1)·(0,1) = 0 + 1 = 1

AB = [[7, 2], [3, 1]]

BA, ahora al revés.

(1,1): (1,0)·(1,0) = 1
(1,2): (1,0)·(2,1) = 2
(2,1): (3,1)·(1,0) = 3
(2,2): (3,1)·(2,1) = 6 + 1 = 7

BA = [[1, 2], [3, 7]]

AB ≠ BA. Las dos existen, las dos son 2×2, tienen incluso los mismos cuatro números — y no son la misma matriz. Este ejemplo es el contraejemplo estándar: alcanza con mostrar un caso para probar que el producto de matrices no es conmutativo.

Por qué importa. En cuanto empieces a despejar con matrices no vas a poder "pasar multiplicando" como con números: hay que multiplicar por el mismo lado en los dos miembros. Si de AX = B querés despejar X, tenés que hacer A⁻¹AX = A⁻¹B, con A⁻¹ a la izquierda de los dos lados. Multiplicar por la derecha de un lado y por la izquierda del otro es un error que cambia el resultado.

Control: fijate que la fila 1 de AB usa sólo la fila 1 de A, y la columna 1 de AB usa sólo la columna 1 de B. Si un número te salió mezclando dos filas de A, el error está ahí.

Y uno del nivel del parcial

Sean A = [[1, −1], [2, 0]] y B = [[0, 1], [3, −2]] (matrices 2×2 escritas por filas). Calcular (A + B)² y A² + 2AB + B², y explicar por qué no coinciden.

El ejercicio existe para mostrar que el cuadrado de un binomio no vale con matrices, y para que quede claro exactamente dónde se rompe.

Primero la suma, que sí funciona como uno espera (elemento a elemento):

A + B = [[1+0, −1+1], [2+3, 0−2]] = [[1, 0], [5, −2]]

Su cuadrado:

(A+B)² = [[1, 0], [5, −2]] · [[1, 0], [5, −2]]

fila1·col1 = 1·1 + 0·5 = 1
fila1·col2 = 1·0 + 0·(−2) = 0
fila2·col1 = 5·1 + (−2)·5 = −5
fila2·col2 = 5·0 + (−2)(−2) = 4

(A + B)² = [[1, 0], [−5, 4]]

Ahora las piezas del otro lado, una por una.

A² = [[1,−1],[2,0]]·[[1,−1],[2,0]] = [[1−2, −1−0], [2+0, −2+0]] = [[−1, −1], [2, −2]]

AB = [[1,−1],[2,0]]·[[0,1],[3,−2]] = [[0−3, 1+2], [0+0, 2+0]] = [[−3, 3], [0, 2]]

BA = [[0,1],[3,−2]]·[[1,−1],[2,0]] = [[0+2, 0+0], [3−4, −3+0]] = [[2, 0], [−1, −3]]

B² = [[0,1],[3,−2]]·[[0,1],[3,−2]] = [[0+3, 0−2], [0−6, 3+4]] = [[3, −2], [−6, 7]]

Ahí está el problema, a la vista:

AB = [[−3, 3], [0, 2]] ≠ BA = [[2, 0], [−1, −3]]

El producto de matrices no es conmutativo, y esa es la única razón por la que falla la fórmula.

El binomio «de siempre»:

A² + 2AB + B² = [[−1,−1],[2,−2]] + [[−6,6],[0,4]] + [[3,−2],[−6,7]]
= [[−4, 3], [−4, 9]]

No coincide con (A+B)² = [[1,0],[−5,4]], y no se parece en ninguna entrada.

La fórmula correcta, desarrollando sin suponer nada:

(A+B)² = (A+B)(A+B) = A² + AB + BA + B²

Se verifica que esta sí da:

[[−1,−1],[2,−2]] + [[−3,3],[0,2]] + [[2,0],[−1,−3]] + [[3,−2],[−6,7]]
= [[−1−3+2+3, −1+3+0−2], [2+0−1−6, −2+2−3+7]]
= [[1, 0], [−5, 4]] ✓

Cuándo sí vale el binomio: exactamente cuando AB = BA, o sea cuando las dos matrices conmutan. Pasa, por ejemplo, si una de las dos es la identidad o un múltiplo de ella. En general, no.

La misma advertencia vale para (A + B)(A − B), que es A² − AB + BA − B², y no A² − B². Todas las identidades del álgebra de números hay que rehacerlas para matrices sin mover el orden de los factores.

Dónde se pierde el punto: calcular AB y usarlo también como BA. Son dos cuentas distintas y hay que hacer las dos; que den distinto no es un error, es el resultado.

Dónde se cae la mayoría

Escribir AB = BA. El producto de matrices no es conmutativo.
Multiplicar matrices cuyos tamaños no encajan. Si las dimensiones del medio no coinciden, el producto no existe.
Escribir (AB)ᵗ = AᵗBᵗ. Es BᵗAᵗ: la transpuesta da vuelta el orden.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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