Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios
Sistemas lineales y eliminación de Gauss
Un sistema se escribe como matriz ampliada y se triangula con operaciones de fila. Triangulado, se resuelve de abajo hacia arriba.
La explicación
Del sistema a la matriz
x − y + 2z = 5 → ⎢ 1 −1 2 │ 5 ⎥
2x + y − z = 1 ⎣ 2 1 −1 │ 1 ⎦
Esa es la matriz ampliada: los coeficientes a la izquierda de la barra, los términos independientes a la derecha. Las x, y, z desaparecen: sólo estorbaban.
Las tres operaciones permitidas
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero
3. Sumarle a una fila un múltiplo de otra
Las tres no cambian el conjunto de soluciones: el sistema que queda es equivalente al original. La tercera es la que hace el trabajo.
El "distinto de cero" de la segunda importa: multiplicar una fila por 0 la borra y perdés una ecuación.
El objetivo: forma triangular
⎢ 0 −2 1 │ −1 ⎥
⎣ 0 0 −7 │ −21 ⎦
Se trabaja de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo: primero se hacen ceros debajo del primer pivote, después debajo del segundo, y así.
Sustitución hacia atrás
Con la matriz triangulada, la última fila tiene una sola incógnita y se despeja. Después se sube:
−2y + 3 = −1 → y = 2
x + 2 + 3 = 6 → x = 1
Evitar fracciones
En vez de F₂ → F₂ − (1/2)F₁ se puede hacer F₂ → 2F₂ − F₁, que es la operación 2 seguida de la 3 y da lo mismo sin denominadores. Vale la pena: las fracciones a mitad de una triangulación son la fuente número uno de errores de cuenta.
Y el control final siempre es el mismo: reemplazar la solución en las ecuaciones originales, no en las triangulizadas. Si la solución verifica las tres, está bien aunque te hayas equivocado en el camino.
Resolver el sistema: x + 2y − z = 3, 2x + 3y + z = 7, x + y + 2z = 4.
Paso 1: matriz ampliada.
⎢ 2 3 1 │ 7 ⎥
⎣ 1 1 2 │ 4 ⎦
Paso 2: ceros debajo del primer pivote. El pivote es el 1 de arriba a la izquierda.
F₃ → F₃ − F₁: (0, −1, 3 │ 1)
⎢ 0 −1 3 │ 1 ⎥
⎣ 0 −1 3 │ 1 ⎦
Paso 3: cero debajo del segundo pivote.
Ojo con la diferencia: (0 0 0 │ 0) es una ecuación que se cumple siempre. (0 0 0 │ 5) sería "0 = 5", que no se cumple nunca, y ahí el sistema no tendría solución.
Paso 4: describir todas las soluciones. Quedaron dos ecuaciones y tres incógnitas, así que una variable queda libre. Tomamos z = t:
de la fila 1: x + 2(3t − 1) − t = 3 → x = 5 − 5t
o en forma vectorial: t(−5, 3, 1) + (5, −1, 0)
Es una recta en ℝ³: tiene sentido, porque tres planos que comparten una recta se cortan en ella.
Control con dos valores de t. Con t = 0: (5, −1, 0). Verificamos en la primera ecuación original: 5 − 2 − 0 = 3 ✔. Con t = 1: (0, 2, 1), y 0 + 4 − 1 = 3 ✔. Probar dos valores distintos es lo que confirma que la familia entera es solución, y no sólo un punto.
Resolver por el método de Gauss el sistema x + 2y − z + w = 1; 2x + 4y − z + 3w = 4; −x − 2y + 2z = 1. Dar el conjunto solución en forma paramétrica y decir cuántos parámetros tiene.
Tres ecuaciones y cuatro incógnitas. Antes de empezar ya se puede anticipar que, si el sistema es compatible, va a tener infinitas soluciones: faltan ecuaciones para fijar cuatro números.
La matriz ampliada:
[ 2 4 −1 3 | 4 ]
[ −1 −2 2 0 | 1 ]
Paso 1: hacer ceros debajo del primer pivote, que es el 1 de arriba a la izquierda.
F₃ → F₃ + F₁: [ 0 0 1 1 | 2 ]
Las dos filas nuevas quedaron idénticas. Eso quiere decir que la tercera ecuación no aportaba información nueva: era combinación de las otras dos.
La fila de ceros con 0 a la derecha es «0 = 0», que es verdadera y no restringe nada. Si el término independiente hubiera quedado distinto de 0, el sistema sería incompatible. Esa es la diferencia entre una ecuación redundante y una contradicción.
El sistema escalonado que quedó:
z + w = 2
Las variables libres son las que no tienen pivote. Los pivotes quedaron en la primera columna (x) y en la tercera (z), así que:
variables libres: y, w → dos parámetros
Se despeja de abajo hacia arriba. De la segunda ecuación:
Se sustituye en la primera:
x + 2y + 2w − 2 = 1
x = 3 − 2y − 2w
La solución general:
Escrita en forma vectorial, que es como conviene entregarla:
Se lee directo: un punto particular más el subespacio de soluciones del sistema homogéneo, que tiene dimensión 2.
Verificación con un valor concreto, digamos y = 1, w = 1, que da (−1, 1, 1, 1):
−2 + 4 − 1 + 3 = 4 ✓
1 − 2 + 2 + 0 = 1 ✓
Control de dimensiones: 4 incógnitas − 2 pivotes = 2 parámetros ✓. Ese conteo se puede hacer apenas termina el escalonamiento, y sirve para saber si la respuesta final tiene la forma esperada.
Dónde se pierde el punto: tomar como libres a las variables equivocadas. Las libres son las de las columnas sin pivote; si elegís otras, el despeje se traba o salen soluciones que no cumplen.
Dónde se cae la mayoría
- Armar la matriz ampliada sin poner ceros donde falta una variable.
- Verificar la solución en la matriz triangulada en vez de en el sistema original.
- Multiplicar una fila por cero, con lo que se pierde una ecuación.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Sistemas lineales y eliminación de Gauss →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El sistema con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso
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