Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios

Rango y compatibilidad

El rango cuenta cuántas ecuaciones realmente distintas quedaron. Comparando el rango de la matriz con el de la ampliada se sabe de antemano cuántas soluciones hay.

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La explicación

Rango

rg(A) = cantidad de filas no nulas después de triangular

Es cuántas ecuaciones independientes hay realmente. Si una fila se anula al triangular, es porque esa ecuación era combinación de las otras y no aportaba nada.

El teorema de Rouché-Frobenius

A = matriz de coeficientes A' = matriz ampliada
n = cantidad de incógnitas

rg(A) ≠ rg(A') → incompatible, sin solución
rg(A) = rg(A') = n → compatible determinado, una sola
rg(A) = rg(A') < n → compatible indeterminado, infinitas

Cómo se ve en la matriz triangulada, sin calcular rangos por separado.
• Una fila (0 … 0 │ k) con k ≠ 0 → el rango de la ampliada es mayor → incompatible.
• Todas las filas de ceros tienen también 0 a la derecha, y quedan menos filas útiles que incógnitas → infinitas.
• Tantas filas útiles como incógnitas → una sola.

En la práctica no se calculan dos rangos: se triangula una vez y se mira la matriz.

Grados de libertad

variables libres = n − rg(A)

Es la cantidad de parámetros que van a aparecer en la solución general.

3 incógnitas, rango 2 → 1 parámetro → la solución es una recta
3 incógnitas, rango 1 → 2 parámetros → la solución es un plano
3 incógnitas, rango 3 → 0 parámetros → un solo punto

Sistemas homogéneos

A·X = O (todos los términos independientes en cero)

Un sistema homogéneo nunca es incompatible: X = O siempre lo cumple (es la solución trivial). La única pregunta es si hay otras.

rg(A) = n → sólo la trivial
rg(A) < n → infinitas soluciones

Consecuencia útil: un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene siempre infinitas soluciones, porque el rango no puede superar la cantidad de filas. Se responde sin hacer ninguna cuenta.

Ejemplo resuelto

Analizar el sistema: x + y + z = 1, 2x + 2y + 2z = 2, x − y = 0. Clasificarlo y dar todas las soluciones.

Matriz ampliada y triangulación.

⎡ 1 1 1 │ 1 ⎤
⎢ 2 2 2 │ 2 ⎥
⎣ 1 −1 0 │ 0 ⎦

F₂ → F₂ − 2F₁: (0, 0, 0 │ 0)
F₃ → F₃ − F₁: (0, −2, −1 │ −1)

Reordenando para dejar la fila nula abajo:

⎡ 1 1 1 │ 1 ⎤
⎢ 0 −2 −1 │ −1 ⎥
⎣ 0 0 0 │ 0 ⎦

Clasificación. Quedaron 2 filas no nulas, así que rg(A) = 2. Y la fila de ceros tiene también 0 del lado derecho, así que rg(A') = 2 también.

rg(A) = rg(A') = 2 < 3 = n → compatible indeterminado

Se veía venir. La segunda ecuación era exactamente el doble de la primera: la misma información escrita distinto. Cuando una ecuación es múltiplo de otra, siempre va a desaparecer al triangular. Detectarlo a ojo antes de empezar ahorra tiempo.

Variables libres: n − rg = 3 − 2 = 1. Va a haber un parámetro.

Resolver. Tomamos z = t:

de la fila 2: −2y − t = −1 → y = (1 − t)/2
de la fila 1: x + (1−t)/2 + t = 1 → x = (1 − t)/2

(x, y, z) = ( (1−t)/2, (1−t)/2, t ), t ∈ ℝ

Es una recta en ℝ³, como corresponde a un grado de libertad.

Control con dos valores. Con t = 1: (0, 0, 1) → 0 + 0 + 1 = 1 ✔ y 0 − 0 = 0 ✔. Con t = −1: (1, 1, −1) → 1 + 1 − 1 = 1 ✔ y 1 − 1 = 0 ✔. Además ambos cumplen x = y, que es la tercera ecuación. La familia entera funciona.

Dónde se cae la mayoría

Decir que un sistema homogéneo puede ser incompatible. Siempre tiene al menos la solución trivial.
Contar las filas de ceros como parte del rango.
Comparar el rango con la cantidad de ecuaciones en vez de con la cantidad de incógnitas.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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