Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios
Rango y compatibilidad
El rango cuenta cuántas ecuaciones realmente distintas quedaron. Comparando el rango de la matriz con el de la ampliada se sabe de antemano cuántas soluciones hay.
La explicación
Rango
Es cuántas ecuaciones independientes hay realmente. Si una fila se anula al triangular, es porque esa ecuación era combinación de las otras y no aportaba nada.
El teorema de Rouché-Frobenius
n = cantidad de incógnitas
rg(A) ≠ rg(A') → incompatible, sin solución
rg(A) = rg(A') = n → compatible determinado, una sola
rg(A) = rg(A') < n → compatible indeterminado, infinitas
• Una fila (0 … 0 │ k) con k ≠ 0 → el rango de la ampliada es mayor → incompatible.
• Todas las filas de ceros tienen también 0 a la derecha, y quedan menos filas útiles que incógnitas → infinitas.
• Tantas filas útiles como incógnitas → una sola.
En la práctica no se calculan dos rangos: se triangula una vez y se mira la matriz.
Grados de libertad
Es la cantidad de parámetros que van a aparecer en la solución general.
3 incógnitas, rango 1 → 2 parámetros → la solución es un plano
3 incógnitas, rango 3 → 0 parámetros → un solo punto
Sistemas homogéneos
Un sistema homogéneo nunca es incompatible: X = O siempre lo cumple (es la solución trivial). La única pregunta es si hay otras.
rg(A) < n → infinitas soluciones
Consecuencia útil: un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene siempre infinitas soluciones, porque el rango no puede superar la cantidad de filas. Se responde sin hacer ninguna cuenta.
Analizar el sistema: x + y + z = 1, 2x + 2y + 2z = 2, x − y = 0. Clasificarlo y dar todas las soluciones.
Matriz ampliada y triangulación.
⎢ 2 2 2 │ 2 ⎥
⎣ 1 −1 0 │ 0 ⎦
F₃ → F₃ − F₁: (0, −2, −1 │ −1)
Reordenando para dejar la fila nula abajo:
⎢ 0 −2 −1 │ −1 ⎥
⎣ 0 0 0 │ 0 ⎦
Clasificación. Quedaron 2 filas no nulas, así que rg(A) = 2. Y la fila de ceros tiene también 0 del lado derecho, así que rg(A') = 2 también.
Variables libres: n − rg = 3 − 2 = 1. Va a haber un parámetro.
Resolver. Tomamos z = t:
de la fila 1: x + (1−t)/2 + t = 1 → x = (1 − t)/2
Es una recta en ℝ³, como corresponde a un grado de libertad.
Control con dos valores. Con t = 1: (0, 0, 1) → 0 + 0 + 1 = 1 ✔ y 0 − 0 = 0 ✔. Con t = −1: (1, 1, −1) → 1 + 1 − 1 = 1 ✔ y 1 − 1 = 0 ✔. Además ambos cumplen x = y, que es la tercera ecuación. La familia entera funciona.
Analizar el sistema x + 2y + 3z = 1; 2x + 4y + 6z = 3; x − y + z = 0. Clasificarlo y, si es incompatible, decir qué habría que cambiar en el término independiente de la segunda ecuación para que no lo fuera, y resolver el sistema corregido.
Antes de escalonar conviene mirar las ecuaciones. La segunda tiene los coeficientes de la primera multiplicados por 2: (2, 4, 6) = 2·(1, 2, 3). Si el término independiente siguiera esa proporción, la ecuación sería redundante. Pero 3 ≠ 2·1.
El escalonamiento lo confirma:
[ 2 4 6 | 3 ]
[ 1 −1 1 | 0 ]
Esa fila dice 0·x + 0·y + 0·z = 1, o sea 0 = 1, que es falso para cualquier valor de las incógnitas.
Geométricamente: la primera y la segunda ecuación son dos planos paralelos y distintos (misma normal, distinto término independiente). No se cortan nunca, así que no hay punto que cumpla las dos, sin importar qué diga la tercera.
Qué habría que cambiar. Para que la fila dé 0 = 0, el término independiente de la segunda tiene que ser el doble del de la primera:
Con ese cambio, la segunda ecuación es exactamente el doble de la primera y desaparece del sistema. Quedan dos ecuaciones y tres incógnitas:
x − y + z = 0
Un parámetro libre. Se despeja x de la segunda:
Se reemplaza en la primera:
3y + 2z = 1 → y = (1 − 2z)/3
Y con eso vuelve x:
En forma vectorial, tomando z = t:
Es la recta en la que se cortan los dos planos. Con tres planos donde dos coinciden, la intersección es una recta.
Verificación con t = 0, o sea (1/3, 1/3, 0):
1/3 − 1/3 + 0 = 0 ✓
Y con t = 1, o sea (−4/3, −1/3, 1):
−4/3 + 1/3 + 1 = −1 + 1 = 0 ✓
Dónde se pierde el punto: ver la fila [0 0 0 | 1] y escribir «infinitas soluciones» porque hay una fila de ceros. Lo que importa no es la fila de ceros de la izquierda sino qué quedó a la derecha: con 0 hay redundancia, con cualquier otro número hay contradicción.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que un sistema homogéneo puede ser incompatible. Siempre tiene al menos la solución trivial.
- Contar las filas de ceros como parte del rango.
- Comparar el rango con la cantidad de ecuaciones en vez de con la cantidad de incógnitas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Rango y compatibilidad →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El sistema con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 6
Matrices, sistemas y subespacios