Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios

Sistemas con parámetro

Cuando un coeficiente es una letra, el sistema puede tener distinto comportamiento según su valor. Hay que triangular sin dividir por el parámetro y después analizar los casos.

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La explicación

El planteo

Un sistema donde aparece una letra (a, k, α) entre los coeficientes no es un sistema: es una familia de sistemas, uno por cada valor. La consigna típica es "determinar para qué valores el sistema tiene solución única, infinitas, o ninguna".

La regla de oro

Nunca dividas por una expresión que contenga el parámetro sin analizar antes si puede valer cero. Si hacés F₂ → F₂ − (1/(a−1))F₁, estás asumiendo a ≠ 1 sin decirlo, y el caso a = 1 —que suele ser justo el interesante— se pierde.

La forma segura: triangular usando sólo las filas que no tienen parámetro como pivote, y dejar el parámetro para el final, donde se lo analiza tranquilo.

El método

1. Triangular sin dividir por expresiones con el parámetro.
2. Mirar la última fila, que va a quedar de la forma (0 … 0 p │ q),
con p y q dependiendo del parámetro.
3. Analizar:
p ≠ 0 → se despeja: solución única
p = 0 y q ≠ 0 → 0 = q imposible: incompatible
p = 0 y q = 0 → fila nula: infinitas soluciones

Un ejemplo con los tres casos

x + y + z = 1
x + 2y + z = 2
x + y + a z = b

F₂ − F₁: (0, 1, 0 │ 1)
F₃ − F₁: (0, 0, a−1 │ b−1)

La última fila es (0, 0, a−1 │ b−1), y ahí está todo el análisis:

a ≠ 1 → z = (b−1)/(a−1): única
a = 1 y b ≠ 1 → 0 = b−1 ≠ 0: incompatible
a = 1 y b = 1 → (0,0,0│0): infinitas

Fijate dónde quedó el parámetro: en el denominador, y sólo se divide por él después de haber declarado que a ≠ 1. Ese orden es lo que hace correcto el análisis.

Cómo presentar la respuesta

La respuesta no es un número: es una clasificación por casos. Conviene escribirla como tres renglones, uno por caso, diciendo en cada uno qué pasa. Y si el ejercicio pide las soluciones, hay que darlas en cada caso donde existan.

Ejemplo resuelto

Determinar para qué valores de k el sistema x + ky = 1, kx + y = 1 tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.

Matriz ampliada.

⎡ 1 k │ 1 ⎤
⎣ k 1 │ 1 ⎦

Triangular usando la primera fila, que no tiene parámetro en el pivote.

F₂ → F₂ − k·F₁: (0, 1 − k² │ 1 − k)

Acá está la elección importante. El pivote usado fue el 1 de arriba a la izquierda, que no depende de k. Si en cambio hubiéramos usado la segunda fila como pivote, habría que dividir por k y perderíamos el caso k = 0 sin darnos cuenta.

Analizar la última fila: (0, 1 − k² │ 1 − k). Factorizamos para ver los ceros:

1 − k² = (1 − k)(1 + k)

Caso 1: 1 − k² ≠ 0, o sea k ≠ 1 y k ≠ −1.

y = (1 − k) / ((1−k)(1+k)) = 1/(1+k)
y de la primera: x = 1 − k·y = 1/(1+k)
solución única

Caso 2: k = 1. La fila queda (0, 0 │ 0).

El sistema se reduce a x + y = 1 → infinitas soluciones
(x, y) = (1 − t, t)

Tiene sentido: con k = 1 las dos ecuaciones son idénticas.

Caso 3: k = −1. La fila queda (0, 0 │ 2).

0 = 2, imposible → incompatible

También tiene sentido: con k = −1 el sistema es x − y = 1 y −x + y = 1, que son dos rectas paralelas.

Respuesta
k ≠ 1 y k ≠ −1 → única solución
k = 1 → infinitas
k = −1 → ninguna

Control: los valores "especiales" son siempre los que anulan el coeficiente de la última fila. Si tu análisis no tiene ningún valor especial, revisá: el ejercicio no tendría sentido con parámetro.

Dónde se cae la mayoría

Dividir por el parámetro sin separar antes el caso en que se anula.
Contestar con un solo valor. La respuesta es una clasificación por casos.
Olvidar el caso incompatible y decir sólo "única o infinitas".

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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