Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios
Sistemas con parámetro
Cuando un coeficiente es una letra, el sistema puede tener distinto comportamiento según su valor. Hay que triangular sin dividir por el parámetro y después analizar los casos.
La explicación
El planteo
Un sistema donde aparece una letra (a, k, α) entre los coeficientes no es un sistema: es una familia de sistemas, uno por cada valor. La consigna típica es "determinar para qué valores el sistema tiene solución única, infinitas, o ninguna".
La regla de oro
La forma segura: triangular usando sólo las filas que no tienen parámetro como pivote, y dejar el parámetro para el final, donde se lo analiza tranquilo.
El método
2. Mirar la última fila, que va a quedar de la forma (0 … 0 p │ q),
con p y q dependiendo del parámetro.
3. Analizar:
p ≠ 0 → se despeja: solución única
p = 0 y q ≠ 0 → 0 = q imposible: incompatible
p = 0 y q = 0 → fila nula: infinitas soluciones
Un ejemplo con los tres casos
x + 2y + z = 2
x + y + a z = b
F₃ − F₁: (0, 0, a−1 │ b−1)
La última fila es (0, 0, a−1 │ b−1), y ahí está todo el análisis:
a = 1 y b ≠ 1 → 0 = b−1 ≠ 0: incompatible
a = 1 y b = 1 → (0,0,0│0): infinitas
Fijate dónde quedó el parámetro: en el denominador, y sólo se divide por él después de haber declarado que a ≠ 1. Ese orden es lo que hace correcto el análisis.
Cómo presentar la respuesta
La respuesta no es un número: es una clasificación por casos. Conviene escribirla como tres renglones, uno por caso, diciendo en cada uno qué pasa. Y si el ejercicio pide las soluciones, hay que darlas en cada caso donde existan.
Determinar para qué valores de k el sistema x + ky = 1, kx + y = 1 tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.
Matriz ampliada.
⎣ k 1 │ 1 ⎦
Triangular usando la primera fila, que no tiene parámetro en el pivote.
Analizar la última fila: (0, 1 − k² │ 1 − k). Factorizamos para ver los ceros:
Caso 1: 1 − k² ≠ 0, o sea k ≠ 1 y k ≠ −1.
y de la primera: x = 1 − k·y = 1/(1+k)
solución única
Caso 2: k = 1. La fila queda (0, 0 │ 0).
(x, y) = (1 − t, t)
Tiene sentido: con k = 1 las dos ecuaciones son idénticas.
Caso 3: k = −1. La fila queda (0, 0 │ 2).
También tiene sentido: con k = −1 el sistema es x − y = 1 y −x + y = 1, que son dos rectas paralelas.
k ≠ 1 y k ≠ −1 → única solución
k = 1 → infinitas
k = −1 → ninguna
Control: los valores "especiales" son siempre los que anulan el coeficiente de la última fila. Si tu análisis no tiene ningún valor especial, revisá: el ejercicio no tendría sentido con parámetro.
Determinar para qué valores de a y b el sistema x + y + z = 2; 2x + 3y + z = 5; x + 2y + a·z = b tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.
Con dos parámetros conviene escalonar primero y discutir después, no al revés. Todo el análisis va a salir de la última fila.
[ 2 3 1 | 5 ]
[ 1 2 a | b ]
Ceros debajo del primer pivote:
F₃ → F₃ − F₁: [ 0 1 a−1 | b−2 ]
Ahora el segundo pivote, que es el 1 de la segunda fila:
Toda la discusión está en esa fila, que dice a·z = b − 3. Tres casos, según se anulen o no los dos números.
Caso 1: a ≠ 0. Se puede despejar z = (b−3)/a, y de ahí salen y y x hacia arriba. Hay tres pivotes y ninguna variable libre:
Caso 2: a = 0 y b ≠ 3. La fila queda 0·z = b − 3, con b − 3 distinto de cero:
Caso 3: a = 0 y b = 3. La fila queda 0 = 0, que no dice nada. Sobrevive un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:
El control del caso 1, con Rouché–Frobenius: los pivotes de la matriz escalonada son 1, 1 y a. Con a ≠ 0 son tres, así que rg(A) = rg(A|b) = 3 = número de incógnitas, sea cual sea b. Con a = 0 el rango de A baja a 2, y lo que decide es el término independiente de esa fila: eso son los casos 2 y 3.
(En la unidad 7 vas a ver otro camino para el caso 1: el determinante de la matriz del sistema da exactamente a.)
Las soluciones del caso 3, por si el enunciado las pide. Con a = 0 y b = 3 el sistema escalonado es:
y − z = 1 → y = 1 + z
x = 2 − y − z = 2 − (1+z) − z = 1 − 2z
Verificación con z = 1, o sea (−1, 2, 1):
−2 + 6 + 1 = 5 ✓
−1 + 4 + 0·1 = 3 ✓
Cómo se escribe la respuesta. Los tres casos, con sus condiciones sobre los dos parámetros. Contestar solo «única si a ≠ 0» deja afuera la mitad del ejercicio: falta separar qué pasa cuando a = 0 según el valor de b.
Dónde se pierde el punto: dividir por a en algún paso del escalonamiento sin aclarar que a ≠ 0. Si se divide por un parámetro que puede valer cero, se pierden justamente los casos que el ejercicio quiere. Por eso conviene escalonar sin dividir nunca por algo con letras.
Dónde se cae la mayoría
- Dividir por el parámetro sin separar antes el caso en que se anula.
- Contestar con un solo valor. La respuesta es una clasificación por casos.
- Olvidar el caso incompatible y decir sólo "única o infinitas".
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Sistemas con parámetro →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El sistema con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso
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Matrices, sistemas y subespacios