Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios

Matriz inversa

La inversa de A es la matriz que al multiplicarla por A da la identidad. No todas la tienen, y se calcula triangulando A junto a la identidad.

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La explicación

Definición

A ∈ ℝ^n×n es inversible si existe A⁻¹ tal que
A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I

Sólo las matrices cuadradas pueden tener inversa, y ni siquiera todas: las que no la tienen se llaman singulares.

A es inversible ⟺ rg(A) = n

Es decir: al triangular A no aparece ninguna fila de ceros. Si aparece, no hay inversa.

La inversa de 2×2

A = [[a, b], [c, d]]

A⁻¹ = 1/(ad − bc) · [[d, −b], [−c, a]] si ad − bc ≠ 0

Se intercambian los de la diagonal, se les cambia el signo a los otros dos, y se divide por el número ad − bc. Si ad − bc = 0, no hay inversa: en ese caso una fila es múltiplo de la otra, el rango es menor que 2 y al triangular aparece una fila de ceros. Esta fórmula conviene sabérsela: los ejercicios de 2×2 son muy frecuentes. (En la unidad 7 ese número va a tener nombre: es el determinante de A.)

El método general: [A | I]

Se escribe A al lado de la identidad y se opera por filas
hasta que del lado izquierdo quede I:

[ A │ I ] → … → [ I │ A⁻¹ ]

Las operaciones son las mismas tres de Gauss, pero acá hay que llegar hasta la identidad (no alcanza con triangular): también se hacen ceros arriba de los pivotes y se dividen las filas para dejar unos. Y todo lo que se le hace al lado izquierdo se le hace también al derecho, en la misma fila.

Si en el camino aparece una fila de ceros del lado izquierdo, se frena: A no es inversible.

Propiedades

(A⁻¹)⁻¹ = A
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ se invierte el orden
(A^t)⁻¹ = (A⁻¹)^t

La segunda es análoga a la de la transpuesta, y por la misma razón: para que los factores se cancelen desde adentro hacia afuera.

Para qué sirve: resolver sistemas

A·X = B → X = A⁻¹·B (si A es inversible)

La inversa va a la izquierda en los dos miembros, porque el producto no es conmutativo. Y conceptualmente: si A es inversible, el sistema tiene solución única para cualquier B. Eso conecta la inversibilidad con Rouché-Frobenius.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la inversa de A = [[2, 1], [1, 1]] por los dos métodos, y usarla para resolver A·X = (3, 2).

Método 1: la fórmula de 2×2.

ad − bc = 2·1 − 1·1 = 1

Distinto de cero, así que la inversa existe.

A⁻¹ = 1/1 · [[1, −1], [−1, 2]] = [[1, −1], [−1, 2]]

Método 2: [A | I].

⎡ 2 1 │ 1 0 ⎤ F₁ ↔ F₂ ⎡ 1 1 │ 0 1 ⎤
⎣ 1 1 │ 0 1 ⎦ → ⎣ 2 1 │ 1 0 ⎦

F₂ − 2F₁: ⎡ 1 1 │ 0 1 ⎤
⎣ 0 −1 │ 1 −2 ⎦

−F₂: ⎡ 1 1 │ 0 1 ⎤
⎣ 0 1 │ −1 2 ⎦

F₁ − F₂: ⎡ 1 0 │ 1 −1 ⎤
⎣ 0 1 │ −1 2 ⎦

Del lado izquierdo quedó la identidad, así que del derecho está la inversa. Coincide con el método 1. ✔

Verificación obligatoria: multiplicar.

A·A⁻¹ = [[2,1],[1,1]]·[[1,−1],[−1,2]]
(1,1): 2·1 + 1·(−1) = 1 (1,2): 2·(−1) + 1·2 = 0
(2,1): 1·1 + 1·(−1) = 0 (2,2): 1·(−1) + 1·2 = 1
= [[1, 0], [0, 1]] = I ✔

Nunca entregues una inversa sin hacer esta multiplicación. Es la única verificación que detecta con seguridad un error de signo.

Resolver el sistema. X = A⁻¹·B, con la inversa a la izquierda:

X = [[1, −1], [−1, 2]] · (3, 2) = (3 − 2, −3 + 4) = (1, 1)

Control en el sistema original: 2·1 + 1 = 3 ✔ y 1 + 1 = 2 ✔.

Y uno del nivel del parcial

Hallar la inversa de A = [[1, 2, 0], [0, 1, 3], [0, 0, 1]] por Gauss-Jordan y usarla para resolver el sistema A·X = (5, 7, 2).

Antes de invertir, mirar si se puede. A ya está escalonada, y sus tres pivotes (los unos de la diagonal) no son cero:

tres filas no nulas → rg(A) = 3 → A es inversible ✓

El método de Gauss-Jordan: se escribe A junto a la identidad y se opera hasta que del lado izquierdo quede la identidad. Lo que haya quedado a la derecha es A⁻¹.

[ 1 2 0 | 1 0 0 ]
[ 0 1 3 | 0 1 0 ]
[ 0 0 1 | 0 0 1 ]

Ya está escalonada, así que solo falta hacer ceros arriba de los pivotes, de abajo hacia arriba.

Paso 1: limpiar la tercera columna con la tercera fila.

F₂ → F₂ − 3·F₃: [ 0 1 0 | 0 1 −3 ]

Paso 2: limpiar la segunda columna con la (nueva) segunda fila.

F₁ → F₁ − 2·F₂: [ 1 0 0 | 1 −2 6 ]

Ese 6 es el que sorprende, y sale de que F₂ ya traía un −3: al restarle 2 veces, entra −2·(−3) = +6. Es el efecto de las dos operaciones encadenadas.

A⁻¹ = [[1, −2, 6], [0, 1, −3], [0, 0, 1]]

La verificación, que nunca hay que saltear:

A·A⁻¹ fila 1: (1,2,0)·columnas
col 1: 1·1 + 2·0 + 0·0 = 1
col 2: 1·(−2) + 2·1 + 0·0 = 0
col 3: 1·6 + 2·(−3) + 0·1 = 0 ✓

fila 2: (0,1,3) → (0, 1, −3 + 3) = (0, 1, 0) ✓
fila 3: (0,0,1) → (0, 0, 1) ✓

Da la identidad, así que la inversa está bien.

Ahora el sistema. Si A·X = b y A es inversible, se multiplica por A⁻¹ por la izquierda en los dos lados:

A⁻¹·A·X = A⁻¹·b → X = A⁻¹·b

El lado por el que se multiplica importa, porque el producto de matrices no conmuta. Con X·A⁻¹ ni siquiera cierran las dimensiones.

X = [[1,−2,6],[0,1,−3],[0,0,1]] · (5, 7, 2)

x = 1·5 + (−2)·7 + 6·2 = 5 − 14 + 12 = 3
y = 0·5 + 1·7 + (−3)·2 = 7 − 6 = 1
z = 0·5 + 0·7 + 1·2 = 2

X = (3 ; 1 ; 2)

Verificación en el sistema original:

A·(3,1,2): (3 + 2 + 0 ; 0 + 1 + 6 ; 0 + 0 + 2) = (5, 7, 2) ✓

Cuándo conviene este método y cuándo no. Para un solo sistema, Gauss directo es más rápido. La inversa se paga sola cuando hay que resolver A·X = b para varios b distintos: se calcula una vez y después cada sistema es una multiplicación.

Dónde se pierde el punto: aplicar las operaciones solo del lado izquierdo y olvidarlas del derecho. Cada operación elemental se hace sobre la fila entera, las seis columnas: si no, lo que queda a la derecha no es la inversa de nada.

Dónde se cae la mayoría

Buscar la inversa de una matriz no cuadrada.
Escribir (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹. Es B⁻¹A⁻¹.
Despejar X = B·A⁻¹ en AX = B. La inversa va a la izquierda en los dos miembros.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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