Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios
Subespacios de ℝⁿ
Un subespacio es un subconjunto que aguanta las dos operaciones sin salirse. En ℝ² y ℝ³ son exactamente las rectas y los planos que pasan por el origen.
La explicación
La definición: tres condiciones
1. 0 ∈ S
2. si u ∈ S y v ∈ S, entonces u + v ∈ S
3. si u ∈ S y c ∈ ℝ, entonces c·u ∈ S
Las dos últimas se resumen diciendo que S es cerrado para la suma y para el producto por escalares: operar con elementos de S nunca te saca de S.
El primer filtro, y el más barato
no es subespacio
Ejemplos que conviene tener
ℝⁿ el más grande
{x ∈ ℝⁿ : A·x = 0} las soluciones de un sistema homogéneo
El tercero es el más importante: el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo siempre es un subespacio. Por eso en la unidad de sistemas el caso homogéneo tenía un lugar aparte — su conjunto solución tiene estructura, y ésta es la estructura.
Cuándo NO alcanza con el 0
Que el origen esté no garantiza nada. Hay que revisar las otras dos:
0 ∈ S ✔ c·(x,y) sigue cumpliendo ✔
pero (1, 0) ∈ S y (0, 1) ∈ S, y su suma (1, 1) da 1·1 = 1 ≠ 0 ✘
no es subespacio: no es cerrado para la suma
Para probar que algo es subespacio hay que verificar las tres con elementos genéricos. Para probar que no lo es, alcanza con un contraejemplo concreto — mucho más corto.
Qué forma tienen
en ℝ³: {0}, las rectas por el origen, los planos por el origen, y ℝ³
No hay otros. Ese catálogo sirve de control: si un ejercicio te da como subespacio de ℝ³ una esfera, una recta que no pasa por el origen o medio plano, algo está mal.
Decidir si son subespacios de ℝ³: (a) S = {(x,y,z) : x + y − z = 0}, (b) T = {(x,y,z) : x + y − z = 2}, (c) U = {(x,y,z) : x ≥ 0}.
(a) S = {x + y − z = 0}. Es homogéneo, así que el 0 tiene chances. Verificamos las tres:
Suma. Sean u = (u₁,u₂,u₃) y v = (v₁,v₂,v₃) en S, o sea
u₁ + u₂ − u₃ = 0 y v₁ + v₂ − v₃ = 0.
Entonces para u + v:
(u₁+v₁) + (u₂+v₂) − (u₃+v₃) = (u₁+u₂−u₃) + (v₁+v₂−v₃) = 0 + 0 = 0 ✔
Escalar. c·u = (cu₁, cu₂, cu₃), y
cu₁ + cu₂ − cu₃ = c(u₁+u₂−u₃) = c·0 = 0 ✔
S es subespacio. Y es un plano por el origen, que es justo lo que el catálogo predice.
(b) T = {x + y − z = 2}. Test del cero:
Un renglón y listo. Geométricamente es un plano paralelo a S pero corrido: no pasa por el origen.
(c) U = {x ≥ 0}. Acá el 0 sí está (0 ≥ 0 ✔) y la suma también funciona: si x₁ ≥ 0 y x₂ ≥ 0, la suma es ≥ 0. Pero:
(−1)·u = (−1, 0, 0), que tiene x = −1 < 0 ✘
no es subespacio: no es cerrado para el producto por escalares
Este es el caso más instructivo de los tres. Pasa dos de las tres condiciones, y falla en la que casi nadie revisa. Cada vez que aparezca una desigualdad en la definición, sospechá del escalar negativo: es donde se rompe.
Dónde se cae la mayoría
- Aceptar como subespacio un conjunto definido con un término independiente no nulo. Si el 0 no está, no es subespacio.
- Verificar sólo que el 0 pertenece y concluir que sí es. Falta que sea cerrado para suma y escalar.
- Probar que es subespacio con un ejemplo numérico. Para afirmarlo hay que usar elementos genéricos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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