Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios
Subespacios de ℝⁿ
Un subespacio es un subconjunto que aguanta las dos operaciones sin salirse. En ℝ² y ℝ³ son exactamente las rectas y los planos que pasan por el origen.
La explicación
La definición: tres condiciones
1. 0 ∈ S
2. si u ∈ S y v ∈ S, entonces u + v ∈ S
3. si u ∈ S y c ∈ ℝ, entonces c·u ∈ S
Las dos últimas se resumen diciendo que S es cerrado para la suma y para el producto por escalares: operar con elementos de S nunca te saca de S.
El primer filtro, y el más barato
no es subespacio
Ejemplos que conviene tener
ℝⁿ el más grande
{x ∈ ℝⁿ : A·x = 0} las soluciones de un sistema homogéneo
El tercero es el más importante: el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo siempre es un subespacio. Por eso en la unidad de sistemas el caso homogéneo tenía un lugar aparte — su conjunto solución tiene estructura, y ésta es la estructura.
Cuándo NO alcanza con el 0
Que el origen esté no garantiza nada. Hay que revisar las otras dos:
0 ∈ S ✔ c·(x,y) sigue cumpliendo ✔
pero (1, 0) ∈ S y (0, 1) ∈ S, y su suma (1, 1) da 1·1 = 1 ≠ 0 ✘
no es subespacio: no es cerrado para la suma
Para probar que algo es subespacio hay que verificar las tres con elementos genéricos. Para probar que no lo es, alcanza con un contraejemplo concreto — mucho más corto.
Qué forma tienen
en ℝ³: {0}, las rectas por el origen, los planos por el origen, y ℝ³
No hay otros. Ese catálogo sirve de control: si un ejercicio te da como subespacio de ℝ³ una esfera, una recta que no pasa por el origen o medio plano, algo está mal.
Decidir si son subespacios de ℝ³: (a) S = {(x,y,z) : x + y − z = 0}, (b) T = {(x,y,z) : x + y − z = 2}, (c) U = {(x,y,z) : x ≥ 0}.
(a) S = {x + y − z = 0}. Es homogéneo, así que el 0 tiene chances. Verificamos las tres:
Suma. Sean u = (u₁,u₂,u₃) y v = (v₁,v₂,v₃) en S, o sea
u₁ + u₂ − u₃ = 0 y v₁ + v₂ − v₃ = 0.
Entonces para u + v:
(u₁+v₁) + (u₂+v₂) − (u₃+v₃) = (u₁+u₂−u₃) + (v₁+v₂−v₃) = 0 + 0 = 0 ✔
Escalar. c·u = (cu₁, cu₂, cu₃), y
cu₁ + cu₂ − cu₃ = c(u₁+u₂−u₃) = c·0 = 0 ✔
S es subespacio. Y es un plano por el origen, que es justo lo que el catálogo predice.
(b) T = {x + y − z = 2}. Test del cero:
Un renglón y listo. Geométricamente es un plano paralelo a S pero corrido: no pasa por el origen.
(c) U = {x ≥ 0}. Acá el 0 sí está (0 ≥ 0 ✔) y la suma también funciona: si x₁ ≥ 0 y x₂ ≥ 0, la suma es ≥ 0. Pero:
(−1)·u = (−1, 0, 0), que tiene x = −1 < 0 ✘
no es subespacio: no es cerrado para el producto por escalares
Este es el caso más instructivo de los tres. Pasa dos de las tres condiciones, y falla en la que casi nadie revisa. Cada vez que aparezca una desigualdad en la definición, sospechá del escalar negativo: es donde se rompe.
Decidir si W = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x·y = 0} es un subespacio de ℝ³. Decidir lo mismo para V = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x + y = 0 y z = 2x} y, en caso afirmativo, dar una base y su dimensión.
Las tres condiciones que definen un subespacio: contener al vector nulo, ser cerrado para la suma, y ser cerrado para el producto por un escalar. Alcanza con que falle una.
El conjunto W, primero. Y acá está la trampa del ejercicio, porque W cumple dos de las tres.
¿es cerrado por escalares? si x·y = 0, entonces (kx)(ky) = k²·(xy) = 0 ✓
Pero la suma falla, y se prueba con un contraejemplo concreto:
v = (0, 1, 0): 0·1 = 0 ✓, está en W
u + v = (1, 1, 0): 1·1 = 1 ≠ 0 ✗, NO está en W
Por qué era esperable. La condición x·y = 0 no es lineal: tiene un producto de incógnitas. Geométricamente W es la unión de dos planos (el x = 0 y el y = 0), y una unión de subespacios casi nunca es un subespacio: al sumar un vector de cada uno se sale de los dos.
La moraleja que el ejercicio quiere dejar: contener al 0 y ser cerrado por escalares no alcanza. Hay que revisar las tres condiciones, y la suma es la que más falla.
Ahora V. Las dos condiciones son ecuaciones lineales homogéneas (todo igualado a cero, sin términos sueltos), así que V es el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo, y eso siempre es un subespacio.
Igual conviene mostrarlo:
si u y v cumplen, u+v cumple: (x₁+x₂) + (y₁+y₂) = 0 + 0 = 0 ✓
si u cumple, k·u cumple: kx + ky = k(x+y) = 0 ✓
La base sale de resolver el sistema. Se despejan las variables en función de las libres:
z = 2x
Todo queda en función de x, que es la única variable libre:
dim(V) = 1
Control de dimensión: se parte de ℝ³ (dimensión 3) y se imponen 2 ecuaciones independientes, así que la dimensión baja a 3 − 2 = 1 ✓. Que las dos ecuaciones sean independientes se ve en que ninguna es múltiplo de la otra.
Qué es V geométricamente: una recta que pasa por el origen, con dirección (1, −1, 2). Un subespacio de dimensión 1 en ℝ³ es siempre eso.
Un atajo que conviene tener: si todas las condiciones son ecuaciones lineales igualadas a cero, es subespacio, seguro. Si aparece un término independiente no nulo, un producto de variables, un cuadrado o un módulo, casi seguro que no — y el camino es buscar el contraejemplo.
Dónde se pierde el punto: descartar W «porque no tiene el cero». Sí lo tiene. El motivo real es la suma, y hay que exhibir los dos vectores concretos: un contraejemplo sin números no demuestra nada.
Dónde se cae la mayoría
- Aceptar como subespacio un conjunto definido con un término independiente no nulo. Si el 0 no está, no es subespacio.
- Verificar sólo que el 0 pertenece y concluir que sí es. Falta que sea cerrado para suma y escalar.
- Probar que es subespacio con un ejemplo numérico. Para afirmarlo hay que usar elementos genéricos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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Matrices, sistemas y subespacios