Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios

Combinaciones lineales y generadores

Generar es armar todo un subespacio a partir de unos pocos vectores. Es la forma más compacta de describirlo, y se puede ir y volver entre generadores y ecuaciones.

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La explicación

Combinación lineal

w es combinación lineal de v₁, …, v_s si
w = λ₁v₁ + λ₂v₂ + … + λ_sv_s con λ_i ∈ ℝ

Es "armar w mezclando los otros". Los λ pueden ser cualquier real, incluido 0 y negativos.

Subespacio generado

⟨v₁, …, v_s⟩ = { todas las combinaciones lineales de v₁, …, v_s }

Ese conjunto siempre es un subespacio —no hace falta verificar las tres condiciones— y {v₁, …, v_s} es un sistema de generadores de él.

⟨v⟩ → la recta por el origen en la dirección de v
⟨v, w⟩ → el plano por el origen que contiene a los dos
(salvo que sean paralelos: ahí vuelve a ser una recta)

¿Pertenece un vector al subespacio?

Es la pregunta más frecuente, y siempre se convierte en un sistema lineal: se plantea w como combinación con incógnitas λ y se resuelve.

S = ⟨(1,0,1), (0,1,1)⟩, ¿(2, 3, 5) ∈ S?

λ(1,0,1) + μ(0,1,1) = (2, 3, 5)
λ = 2 μ = 3 λ + μ = 5

Las dos primeras dan λ = 2 y μ = 3, y la tercera se cumple: 2 + 3 = 5 ✔. Entonces sí pertenece, y además queda escrito: (2,3,5) = 2(1,0,1) + 3(0,1,1).

Si el sistema es incompatible, no pertenece. Y fijate que el ejercicio suele pedir las dos cosas: decidir y escribir la combinación. Los λ que resolviste son la respuesta a la segunda parte — no los tires.

De generadores a ecuaciones

Se escribe el vector genérico y se elimina el parámetro:

S = ⟨(1,0,1), (0,1,1)⟩
(x, y, z) = λ(1,0,1) + μ(0,1,1) = (λ, μ, λ + μ)
x = λ, y = μ, z = λ + μ → z = x + y
S = {(x,y,z) : x + y − z = 0}

De ecuaciones a generadores

Al revés: se resuelve el sistema homogéneo y se factorizan los parámetros.

S = {(x,y,z) : x + y − z = 0} → z = x + y
(x, y, x+y) = x·(1, 0, 1) + y·(0, 1, 1)
S = ⟨(1,0,1), (0,1,1)⟩

Los generadores salen de los coeficientes de cada parámetro libre, y por eso la cantidad de generadores que aparece es igual a la cantidad de variables libres. Ese ida y vuelta —ecuaciones ⟷ generadores— es media unidad.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea S = ⟨(1, 0, 1), (0, 1, 1)⟩. Decidir si v = (2, 3, 5) y u = (1, 1, 3) pertenecen a S, y hallar ecuaciones para S.

¿v = (2, 3, 5) ∈ S? Se plantea el sistema:

λ(1,0,1) + μ(0,1,1) = (2, 3, 5)

1ª coordenada: λ = 2
2ª coordenada: μ = 3
3ª coordenada: λ + μ = 5

Las dos primeras despejan λ y μ directo, y la tercera hay que verificarla: 2 + 3 = 5 ✔.

Sí pertenece, y (2,3,5) = 2(1,0,1) + 3(0,1,1)

¿u = (1, 1, 3) ∈ S? Mismo planteo:

λ = 1, μ = 1, y la tercera pide λ + μ = 3
pero 1 + 1 = 2 ≠ 3 ✘ → no pertenece

La tercera ecuación es la que decide. Las dos primeras siempre se van a poder despejar; lo que hace que el sistema sea compatible o no es que la última cierre. Si resolvés las primeras y no volvés a verificar, vas a decir que todo pertenece.

Ecuaciones de S. Se escribe el vector genérico:

(x, y, z) = λ(1,0,1) + μ(0,1,1) = (λ, μ, λ + μ)

De donde x = λ, y = μ, z = λ + μ. Reemplazando las dos primeras en la tercera se elimina el parámetro:

z = x + y → S = {(x,y,z) : x + y − z = 0}

Control con los dos vectores. Es la mejor verificación, porque usa la otra descripción de S:

v = (2,3,5): 2 + 3 − 5 = 0 ✔ (pertenece, como habíamos dicho)
u = (1,1,3): 1 + 1 − 3 = −1 ≠ 0 ✔ (no pertenece, coincide)

Las dos respuestas cierran por los dos caminos. Y encontrar la ecuación, además, te da una forma de responder "¿pertenece?" en un renglón en vez de con un sistema.

Y uno del nivel del parcial

Sea S = ⟨(1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1)⟩ ⊆ ℝ⁴. Decidir si v = (2, 1, −1, 1) pertenece a S, y hallar un sistema de ecuaciones cuyo conjunto de soluciones sea S.

Pertenecer a un generado es poder escribirse como combinación lineal de los generadores. Se plantea con coeficientes a determinar:

(2, 1, −1, 1) = a·(1, 1, 0, 1) + b·(0, 1, 1, 1)

Eso es un sistema de cuatro ecuaciones, una por coordenada:

a = 2 … (I)
a + b = 1 … (II)
b = −1 … (III)
a + b = 1 … (IV)

Conviene empezar por las que tienen una sola incógnita, que acá son la primera y la tercera:

a = 2, b = −1

Y después controlar en las que sobran:

(II): 2 + (−1) = 1 ✓
(IV): 2 + (−1) = 1 ✓

Todas se cumplen, así que sí pertenece:

v = 2·(1,1,0,1) − 1·(0,1,1,1) = (2, 2−1, −1, 2−1) = (2, 1, −1, 1) ✓

Que las cuatro ecuaciones cierren es lo que decide. Si (II) hubiera dado otra cosa, el sistema sería incompatible y v no pertenecería, aunque las dos primeras ecuaciones hubieran andado bien.

Ahora las ecuaciones de S. Se toma un vector genérico y se pide que sea combinación de los generadores:

(x, y, z, w) = a·(1,1,0,1) + b·(0,1,1,1)

x = a
y = a + b
z = b
w = a + b

Las dos primeras coordenadas identifican los parámetros, y con eso se eliminan:

a = x, b = z

Se reemplaza en las que quedan, y esas son las ecuaciones de S:

y = x + z → y − x − z = 0
w = x + z → w − x − z = 0

S = {(x,y,z,w) ∈ ℝ⁴ : y = x + z y w = x + z}

Control de dimensión, que es el control clave acá:

dim(S) = 2 (dos generadores, y son independientes)
ecuaciones independientes = 2
4 − 2 = 2 ✓

Si te hubieran salido tres ecuaciones, alguna sería redundante, y si te hubiera salido una sola, S tendría dimensión 3 y no 2. Ese conteo detecta el error antes de entregar.

Verificación de las ecuaciones sobre los generadores:

(1,1,0,1): 1 = 1 + 0 ✓ y 1 = 1 + 0 ✓
(0,1,1,1): 1 = 0 + 1 ✓ y 1 = 0 + 1 ✓
v = (2,1,−1,1): 1 = 2 + (−1) ✓ y 1 = 2 + (−1) ✓

Que v cumpla las ecuaciones es la segunda forma de contestar la primera pregunta, y es mucho más rápida: una vez que tenés las ecuaciones de S, decidir si un vector pertenece es reemplazar. Si el parcial pide las dos cosas, conviene hacer primero las ecuaciones.

Dónde se pierde el punto: usar solo las coordenadas que alcanzan para despejar a y b, y no controlar las otras dos. Ahí siempre «da» que el vector pertenece, porque nunca se revisó la condición que podía fallar.

Dónde se cae la mayoría

Concluir que un vector no pertenece porque "no se ve". Hay que plantear el sistema y resolverlo.
Resolver el sistema y no escribir la combinación lineal cuando el ejercicio la pide. Los λ ya los tenés.
Olvidar verificar la última ecuación del sistema y dar por buena una combinación que no cierra.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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