Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios
Independencia lineal
Un conjunto es independiente si ninguno de sus vectores sobra. Se chequea planteando que la combinación dé cero y viendo si hay otra solución además de la trivial.
La explicación
La definición
no todos cero tales que λ₁v₁ + … + λsvs = 0
Si no, son linealmente independientes (LI): la única forma de escribir
el 0 como combinación es con todos los coeficientes en cero.
Qué significa que sobre alguien
Si son dependientes, al menos uno se escribe como combinación de los demás, y sacarlo no cambia el subespacio generado:
Por eso los conjuntos LI son los que interesan: describen el subespacio sin repetir información.
Cómo se chequea
2. Es un sistema homogéneo con incógnitas los λ
3. Resolverlo con Gauss
sólo la trivial → LI
infinitas soluciones → LD
Como el sistema es homogéneo nunca es incompatible, así que la única pregunta es si hay soluciones además del cero. Y eso lo decide el rango:
rg < cantidad de vectores → LD
Atajos que ahorran toda la cuenta
• Dos vectores son LD ⟺ son paralelos (uno múltiplo del otro)
• Más de n vectores en ℝⁿ → LD siempre, sin calcular nada
• n vectores en ℝⁿ → matriz cuadrada → determinante:
det ≠ 0 → LI det = 0 → LD
El tercero es el que más tiempo ahorra: 4 vectores en ℝ³ son dependientes y punto, no hay nada que resolver. Y el cuarto conecta con el tema 7.3: cuando la cantidad coincide con la dimensión, un determinante contesta todo.
Cuando no son cuadrados
Si la cantidad de vectores no coincide con n, no hay determinante: se arma la matriz con los vectores como filas, se triangula, y se cuentan las filas no nulas. Si alguna se anula, esos vectores eran dependientes — y la operación que la anuló te muestra la relación.
Decidir si son LI: (a) {(1,2,3), (2,4,6)}, (b) {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)}, (c) {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1)}.
(a) {(1,2,3), (2,4,6)}. Son dos vectores: alcanza con ver si son paralelos.
La relación de dependencia es 2v₁ − v₂ = 0, con coeficientes 2 y −1, que no son todos cero. Y ⟨v₁, v₂⟩ = ⟨v₁⟩: es una recta, no un plano.
(b) {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)}. Son 3 vectores en ℝ³, así que se puede usar el determinante:
⎢ 0 1 0 ⎥ = 0 (la tercera columna es toda ceros)
⎣ 1 1 0 ⎦
LD. Y acá se ve la relación a ojo:
(c) Cuatro vectores en ℝ³.
Más de n vectores en ℝⁿ son siempre dependientes. Si en el parcial te piden esto, la respuesta correcta incluye por qué, no una triangulación de 4×3.
Control general: de los tres, ninguno era LI. Eso no es raro — los ejercicios suelen estar armados para que descubras la dependencia. Cuando un conjunto sí es LI, la triangulación no anula ninguna fila y el rango coincide con la cantidad de vectores.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que son LD porque la combinación con todos los coeficientes en cero da cero. Eso pasa siempre.
- Intentar usar el determinante con una cantidad de vectores distinta de n. Ahí va el rango.
- Calcular cuando hay más vectores que la dimensión. Ahí son dependientes sin hacer nada.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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