Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios
Independencia lineal
Un conjunto es independiente si ninguno de sus vectores sobra. Se chequea planteando que la combinación dé cero y viendo si hay otra solución además de la trivial.
La explicación
La definición
no todos cero tales que λ₁v₁ + … + λsvs = 0
Si no, son linealmente independientes (LI): la única forma de escribir
el 0 como combinación es con todos los coeficientes en cero.
Qué significa que sobre alguien
Si son dependientes, al menos uno se escribe como combinación de los demás, y sacarlo no cambia el subespacio generado:
Por eso los conjuntos LI son los que interesan: describen el subespacio sin repetir información.
Cómo se chequea
2. Es un sistema homogéneo con incógnitas los λ
3. Resolverlo con Gauss
sólo la trivial → LI
infinitas soluciones → LD
Como el sistema es homogéneo nunca es incompatible, así que la única pregunta es si hay soluciones además del cero. Y eso lo decide el rango:
rg < cantidad de vectores → LD
Atajos que ahorran toda la cuenta
• Dos vectores son LD ⟺ son paralelos (uno múltiplo del otro)
• Más de n vectores en ℝⁿ → LD siempre, sin calcular nada
• n vectores en ℝⁿ → se triangula la matriz cuadrada:
n filas no nulas → LI alguna se anula → LD
El tercero es el que más tiempo ahorra: 4 vectores en ℝ³ son dependientes y punto, no hay nada que resolver. El cuarto es el caso típico del parcial: tantos vectores como la dimensión. (En el tema 7.3 vas a ver un atajo para ese caso: un determinante lo contesta en una sola cuenta.)
Cómo se triangula
Se arma la matriz con los vectores como filas, se triangula, y se cuentan las filas no nulas: ése es el rango. Sirve con cualquier cantidad de vectores. Si alguna fila se anula, esos vectores eran dependientes — y la operación que la anuló te muestra la relación. Con un parámetro, sin dividir por expresiones que lo contengan: el valor que anula un pivote es justo el que se busca.
Decidir si son LI: (a) {(1,2,3), (2,4,6)}, (b) {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)}, (c) {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1)}.
(a) {(1,2,3), (2,4,6)}. Son dos vectores: alcanza con ver si son paralelos.
La relación de dependencia es 2v₁ − v₂ = 0, con coeficientes 2 y −1, que no son todos cero. Y ⟨v₁, v₂⟩ = ⟨v₁⟩: es una recta, no un plano.
(b) {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)}. Se ponen como filas y se triangula: con las dos primeras se hacen ceros en la tercera.
LD: una fila se anuló, el rango es 2 con 3 vectores. Y la operación que la anuló es la relación:
(c) Cuatro vectores en ℝ³.
Más de n vectores en ℝⁿ son siempre dependientes. Si en el parcial te piden esto, la respuesta correcta incluye por qué, no una triangulación de 4×3.
Control general: de los tres, ninguno era LI. Eso no es raro — los ejercicios suelen estar armados para que descubras la dependencia. Cuando un conjunto sí es LI, la triangulación no anula ninguna fila y el rango coincide con la cantidad de vectores.
Hallar todos los k ∈ ℝ para los cuales {(1, 2, k), (0, 1, 1), (k, 0, 1)} es una base de ℝ³.
Un conjunto de tres vectores de ℝ³ es base si y solo si es linealmente independiente, porque la cantidad ya coincide con la dimensión. Y tres vectores son independientes exactamente cuando, puestos como filas y triangulados, quedan tres filas no nulas.
Triangular sin dividir por k. El primer pivote es el 1 de arriba; para hacer cero el k de la tercera fila:
Ahora el −2k, con el pivote de la segunda fila:
Ojo con los dos signos: −k·k da −k² en el último lugar, y +2k·1 le suma 2k. Los dos signos combinados son donde se equivoca casi todo el mundo.
Ahora se busca cuándo NO es base, o sea cuándo ese último pivote se anula:
k² − 2k − 1 = 0 (multiplicando por −1)
k = 1 + √2 o k = 1 − √2
La respuesta, entonces:
En decimales: 1 + √2 ≈ 2,41 y 1 − √2 ≈ −0,41. Son los dos únicos valores que arruinan la base; cualquier otro k, incluidos todos los enteros, sirve.
Control con un valor cómodo, k = 0:
los vectores serían (1,2,0), (0,1,1), (0,0,1), claramente independientes (matriz triangular con unos)
Control con uno de los k malos. Con k = 1 + √2:
= 3 + 2√2 − 3 − 2√2 = 0 ✓
Qué pasa exactamente en esos dos valores. Ahí los tres vectores quedan en un mismo plano: uno es combinación de los otros dos. Siguen generando algo, pero ese algo tiene dimensión 2, no 3, así que no alcanzan para ser base de ℝ³.
Cómo se escribe la respuesta. El enunciado pregunta para qué k sí es base, así que la respuesta es el complemento de las raíces, no las raíces. Contestar «k = 1 ± √2» es contestar exactamente al revés de lo que se pidió.
Dónde se pierde el punto: ese cambio de pregunta, y perder un signo al triangular. Conviene controlar el último pivote con un k fácil antes de resolver la cuadrática: si con k = 0 no te da 1, la cuenta está mal. (En el tema 7.3 vas a ver que el determinante de M da el mismo polinomio: es otro control.)
Dónde se cae la mayoría
- Decir que son LD porque la combinación con todos los coeficientes en cero da cero. Eso pasa siempre.
- Concluir que son LI porque ninguno es múltiplo de otro. Con tres o más vectores, uno puede ser combinación de dos sin ser paralelo a ninguno.
- Calcular cuando hay más vectores que la dimensión. Ahí son dependientes sin hacer nada.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Independencia lineal →Los otros temas de la unidad 6
Matrices, sistemas y subespacios