Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios

Base y dimensión

Una base es un conjunto de generadores sin nada de más. Todas las bases de un mismo subespacio tienen la misma cantidad de elementos, y ese número es la dimensión.

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La explicación

Base

Sea S un subespacio de ℝⁿ con S ≠ {0}.
Un conjunto de generadores de S que además sea linealmente independiente
se llama una base de S.

Las dos condiciones tienen que estar juntas:

genera → alcanza para armar todo S
independiente → no sobra ninguno

Una base es la descripción más económica posible de S: si le sacás uno deja de generar, y si le agregás uno deja de ser independiente.

Dimensión

Todas las bases de S tienen la misma cantidad de elementos.
Esa cantidad es la dimensión, dim(S).
Por convención, dim({0}) = 0.

Que todas las bases tengan el mismo tamaño no es obvio y es el teorema que sostiene todo. Gracias a él "dimensión" está bien definida: no depende de qué base elegiste. Por eso podés calcularla con cualquier método y comparar resultados.

dim({0}) = 0 recta por el origen: 1
plano por el origen: 2 ℝⁿ: n

Cómo se halla una base

Si S viene por ecuaciones: se resuelve el sistema homogéneo, se escribe la solución general y se factorizan los parámetros. Los vectores que quedan son una base, y la dimensión es la cantidad de variables libres.

S = {(x,y,z) : x + y − z = 0} → z = x + y
(x, y, x+y) = x(1,0,1) + y(0,1,1)
base: {(1,0,1), (0,1,1)} dim(S) = 2

Si S viene por generadores: puede que sobren. Se arma la matriz con ellos como filas, se triangula, y las filas no nulas son una base. La dimensión es el rango.

La cuenta que sirve de control

Para S ⊆ ℝⁿ dado por ecuaciones independientes:
dim(S) = n − (cantidad de ecuaciones independientes)

Un plano en ℝ³ es una ecuación: 3 − 1 = 2 ✔. Una recta en ℝ³ son dos ecuaciones: 3 − 2 = 1 ✔. Si tu base tiene más vectores que eso, sobra alguno.

Intersección de subespacios

S ∩ T también es un subespacio, y se halla juntando las ecuaciones de los dos en un solo sistema. Si alguno viene por generadores, primero hay que pasarlo a ecuaciones.

S = {x + y − z = 0}, T = {x − y = 0}
juntas: x + y − z = 0 y x − y = 0
de la segunda y = x, y de la primera z = x + y = 2x
(x, x, 2x) = x(1, 1, 2) → base {(1,1,2)}, dim = 1

Dos planos de ℝ³ que no son paralelos se cortan en una recta, y una recta tiene dimensión 1. El resultado es coherente con la geometría, que es siempre el mejor control.

Ejemplo resuelto

Sea S = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : x + y − z = 0} y T = {(x,y,z) : x − y = 0}. Hallar una base y la dimensión de S, de T y de S ∩ T.

Base de S. Una sola ecuación, así que despejamos una variable:

z = x + y, con x e y libres
(x, y, x+y) = x·(1, 0, 1) + y·(0, 1, 1)

base de S: {(1,0,1), (0,1,1)} dim(S) = 2

Control: dim = n − ecuaciones = 3 − 1 = 2 ✔. Y son dos vectores no paralelos, así que son LI ✔. Es un plano por el origen.

Base de T. Igual: y = x, con x y z libres.

(x, x, z) = x·(1, 1, 0) + z·(0, 0, 1)
base de T: {(1,1,0), (0,0,1)} dim(T) = 2

S ∩ T. Acá está el punto que más se equivoca:

La intersección NO se calcula intersecando los generadores. Los generadores de S y los de T no tienen ningún vector en común, y sin embargo S ∩ T no es {0}. Lo que se hace es juntar las ecuaciones: un punto está en los dos si cumple las condiciones de los dos.

x + y − z = 0
x − y = 0

De la segunda, y = x. Reemplazando en la primera: x + x − z = 0, o sea z = 2x. Queda una sola variable libre:

(x, x, 2x) = x·(1, 1, 2)
base de S ∩ T: {(1,1,2)} dim(S ∩ T) = 1

Controles. Dos ecuaciones independientes en ℝ³: 3 − 2 = 1 ✔. Y geométricamente son dos planos por el origen que no son paralelos —sus normales (1,1,−1) y (1,−1,0) no lo son— así que se cortan en una recta, que tiene dimensión 1 ✔.

Verificación final, la más directa: el generador tiene que estar en los dos subespacios.

(1,1,2) en S: 1 + 1 − 2 = 0 ✔
(1,1,2) en T: 1 − 1 = 0 ✔

Dónde se cae la mayoría

Dar como base un conjunto que genera pero es dependiente. Tiene que cumplir las dos cosas.
Calcular la dimensión contando los generadores dados sin verificar que sean independientes.
Hallar S ∩ T intersecando los generadores. Hay que juntar las ecuaciones, no los generadores.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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