Álgebra A (62) · Unidad 6 — Matrices, sistemas y subespacios
Base y dimensión
Una base es un conjunto de generadores sin nada de más. Todas las bases de un mismo subespacio tienen la misma cantidad de elementos, y ese número es la dimensión.
La explicación
Base
Un conjunto de generadores de S que además sea linealmente independiente
se llama una base de S.
Las dos condiciones tienen que estar juntas:
independiente → no sobra ninguno
Una base es la descripción más económica posible de S: si le sacás uno deja de generar, y si le agregás uno deja de ser independiente.
Dimensión
Esa cantidad es la dimensión, dim(S).
Por convención, dim({0}) = 0.
plano por el origen: 2 ℝⁿ: n
Cómo se halla una base
Si S viene por ecuaciones: se resuelve el sistema homogéneo, se escribe la solución general y se factorizan los parámetros. Los vectores que quedan son una base, y la dimensión es la cantidad de variables libres.
(x, y, x+y) = x(1,0,1) + y(0,1,1)
base: {(1,0,1), (0,1,1)} dim(S) = 2
Si S viene por generadores: puede que sobren. Se arma la matriz con ellos como filas, se triangula, y las filas no nulas son una base. La dimensión es el rango.
La cuenta que sirve de control
dim(S) = n − (cantidad de ecuaciones independientes)
Un plano en ℝ³ es una ecuación: 3 − 1 = 2 ✔. Una recta en ℝ³ son dos ecuaciones: 3 − 2 = 1 ✔. Si tu base tiene más vectores que eso, sobra alguno.
Intersección de subespacios
S ∩ T también es un subespacio, y se halla juntando las ecuaciones de los dos en un solo sistema. Si alguno viene por generadores, primero hay que pasarlo a ecuaciones.
juntas: x + y − z = 0 y x − y = 0
de la segunda y = x, y de la primera z = x + y = 2x
(x, x, 2x) = x(1, 1, 2) → base {(1,1,2)}, dim = 1
Dos planos de ℝ³ que no son paralelos se cortan en una recta, y una recta tiene dimensión 1. El resultado es coherente con la geometría, que es siempre el mejor control.
Sea S = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : x + y − z = 0} y T = {(x,y,z) : x − y = 0}. Hallar una base y la dimensión de S, de T y de S ∩ T.
Base de S. Una sola ecuación, así que despejamos una variable:
(x, y, x+y) = x·(1, 0, 1) + y·(0, 1, 1)
Control: dim = n − ecuaciones = 3 − 1 = 2 ✔. Y son dos vectores no paralelos, así que son LI ✔. Es un plano por el origen.
Base de T. Igual: y = x, con x y z libres.
base de T: {(1,1,0), (0,0,1)} dim(T) = 2
S ∩ T. Acá está el punto que más se equivoca:
x − y = 0
De la segunda, y = x. Reemplazando en la primera: x + x − z = 0, o sea z = 2x. Queda una sola variable libre:
base de S ∩ T: {(1,1,2)} dim(S ∩ T) = 1
Controles. Dos ecuaciones independientes en ℝ³: 3 − 2 = 1 ✔. Y geométricamente son dos planos por el origen que no son paralelos —sus normales (1,1,−1) y (1,−1,0) no lo son— así que se cortan en una recta, que tiene dimensión 1 ✔.
Verificación final, la más directa: el generador tiene que estar en los dos subespacios.
(1,1,2) en T: 1 − 1 = 0 ✔
Sean S = ⟨(1, 0, 1), (0, 1, 1)⟩ y T = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x − y + z = 0}. Hallar una base y la dimensión de S ∩ T y de S + T.
Los dos subespacios están descritos de formas distintas —S por generadores, T por una ecuación— y para intersecarlos conviene tenerlos del mismo modo. Lo más rápido es pasar S a ecuaciones.
Ecuación de S. Un vector genérico de S es:
Control: los dos generadores tienen que cumplirla. (1,0,1): 1 + 0 − 1 = 0 ✓. (0,1,1): 0 + 1 − 1 = 0 ✓.
La intersección es cumplir las dos ecuaciones a la vez:
x − y + z = 0 (de T)
Se suman las dos y se va todo salvo x:
Con x = 0, cualquiera de las dos ecuaciones da:
Control: (0,1,1) tiene que estar en los dos. En S: 0 + 1 − 1 = 0 ✓. En T: 0 − 1 + 1 = 0 ✓.
Ahora la suma, con la fórmula de Grassmann, que ahorra tener que calcularla a mano:
Las dimensiones que hacen falta:
dim(T) = 2 (un plano de ℝ³: 3 − 1 ecuación)
dim(S ∩ T) = 1
Y un subespacio de ℝ³ de dimensión 3 es todo ℝ³:
Por qué era predecible. S y T son dos planos distintos por el origen. Dos planos distintos de ℝ³ se cortan en una recta (dimensión 1) y entre los dos generan todo el espacio (dimensión 3). El único caso distinto sería que fueran el mismo plano, y no lo son: sus ecuaciones no son proporcionales.
La verificación directa, para no depender solo de la fórmula: una base de S + T se arma juntando las dos bases y quedándose con las independientes.
Una base de T: de x = y − z salen (1,1,0) y (−1,0,1). Con (1,0,1), (0,1,1) y (1,1,0):
quedan tres filas no nulas: rango 3
Tres vectores independientes en ℝ³, así que generan todo. Los dos caminos coinciden.
Dónde se pierde el punto: calcular S ∩ T juntando los generadores de los dos. Eso da la suma, no la intersección. La intersección se obtiene juntando las ecuaciones; la suma, juntando los generadores. Es el cruce de conceptos más frecuente de la unidad.
Dónde se cae la mayoría
- Dar como base un conjunto que genera pero es dependiente. Tiene que cumplir las dos cosas.
- Calcular la dimensión contando los generadores dados sin verificar que sean independientes.
- Hallar S ∩ T intersecando los generadores. Hay que juntar las ecuaciones, no los generadores.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Base y dimensión →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — El sistema con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso
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Matrices, sistemas y subespacios