Álgebra A (62) · Unidad 7 — Determinantes
Cómo se calcula un determinante
El determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada. El de 2×2 es una cuenta directa; los más grandes se reducen a determinantes más chicos.
La explicación
De 2×2
Producto de la diagonal principal menos producto de la otra. Es la cuenta que ya apareció en la fórmula de la inversa, y no es casualidad.
De 3×3: desarrollo por cofactores
Se elige una fila (o columna), y por cada elemento se calcula el determinante de la matriz 2×2 que queda al tachar su fila y su columna. Eso se llama el menor.
− + −
+ − +
El truco que ahorra la mitad del trabajo
Se puede desarrollar por cualquier fila o columna: el resultado es el mismo. Entonces conviene elegir la que tenga más ceros, porque cada cero anula un menor entero.
⎢ 0 2 0 ⎥ ← desarrollar por acá: sólo sobrevive un término
⎣ 4 7 6 ⎦
Regla de Sarrus (sólo 3×3)
Como alternativa: se repiten las dos primeras columnas a la derecha, se suman los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha y se restan los tres que bajan hacia la izquierda.
− a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃
Sarrus sirve únicamente para 3×3. Aplicarla a una 4×4 da cualquier cosa. El desarrollo por cofactores, en cambio, funciona para cualquier tamaño — de 4×4 se pasa a cuatro determinantes de 3×3.
Casos que salen de memoria
matriz triangular → el determinante es el producto de la diagonal
una fila (o columna) de ceros → det = 0
dos filas iguales → det = 0
El de las triangulares es el más útil: si ya trianguizaste la matriz en un ejercicio anterior, el determinante te sale multiplicando la diagonal.
Calcular el determinante de A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]] por cofactores y verificarlo con Sarrus.
Por cofactores, primera fila (no hay ceros, así que da igual cuál).
M₁₂ = det[[4, 6], [7, 10]] = 40 − 42 = −2
M₁₃ = det[[4, 5], [7, 8]] = 32 − 35 = −3
= 2 + 4 − 9
= −3
Verificación con Sarrus. Sumas de las diagonales que bajan a la derecha:
Restas, las que bajan a la izquierda:
Los dos métodos coinciden.
Qué significa que dio distinto de cero. Que A es inversible, que sus filas son linealmente independientes, y que el sistema A·X = B tiene solución única para cualquier B. Ese es el tema 7.3, pero conviene ir conectándolo: el determinante no es una cuenta suelta, es un detector.
Control de razonabilidad: si cambiás el 10 por un 9, las filas pasan a ser dependientes (la tercera sería la primera más dos veces... probalo) y el determinante da 0. Una matriz "casi singular" tiene determinante chico, como este −3 frente a números del orden de 200 en las cuentas intermedias.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar el signo menos del término del medio en el desarrollo de 3×3.
- Usar la regla de Sarrus en una matriz de 4×4. Sólo vale para 3×3.
- Desarrollar por la primera fila cuando hay otra con más ceros, y hacer el triple de cuentas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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