Álgebra A (62) · Unidad 7 — Determinantes
Cómo se calcula un determinante
El determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada. El de 2×2 es una cuenta directa; los más grandes se reducen a determinantes más chicos.
La explicación
De 2×2
Producto de la diagonal principal menos producto de la otra. Es la cuenta que ya apareció en la fórmula de la inversa, y no es casualidad.
De 3×3: desarrollo por cofactores
Se elige una fila (o columna), y por cada elemento se calcula el determinante de la matriz 2×2 que queda al tachar su fila y su columna. Eso se llama el menor.
− + −
+ − +
El truco que ahorra la mitad del trabajo
Se puede desarrollar por cualquier fila o columna: el resultado es el mismo. Entonces conviene elegir la que tenga más ceros, porque cada cero anula un menor entero.
⎢ 0 2 0 ⎥ ← desarrollar por acá: sólo sobrevive un término
⎣ 4 7 6 ⎦
Regla de Sarrus (sólo 3×3)
Como alternativa: se repiten las dos primeras columnas a la derecha, se suman los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha y se restan los tres que bajan hacia la izquierda.
− a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃
Sarrus sirve únicamente para 3×3. Aplicarla a una 4×4 da cualquier cosa. El desarrollo por cofactores, en cambio, funciona para cualquier tamaño — de 4×4 se pasa a cuatro determinantes de 3×3.
Casos que salen de memoria
matriz triangular → el determinante es el producto de la diagonal
una fila (o columna) de ceros → det = 0
dos filas iguales → det = 0
El de las triangulares es el más útil: si ya triangulaste la matriz en un ejercicio anterior, el determinante te sale multiplicando la diagonal.
Calcular el determinante de A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]] por cofactores y verificarlo con Sarrus.
Por cofactores, primera fila (no hay ceros, así que da igual cuál).
M₁₂ = det[[4, 6], [7, 10]] = 40 − 42 = −2
M₁₃ = det[[4, 5], [7, 8]] = 32 − 35 = −3
= 2 + 4 − 9
= −3
Verificación con Sarrus. Sumas de las diagonales que bajan a la derecha:
Restas, las que bajan a la izquierda:
Los dos métodos coinciden.
Qué significa que dio distinto de cero. Que A es inversible, que sus filas son linealmente independientes, y que el sistema A·X = B tiene solución única para cualquier B. Ese es el tema 7.3, pero conviene ir conectándolo: el determinante no es una cuenta suelta, es un detector.
De dónde sale ese −3. Si cambiás el 10 por un 9, las tres filas pasan a ser dependientes —queda F₃ = 2F₂ − F₁, probalo: 2(4,5,6) − (1,2,3) = (7,8,9)— y el determinante da 0. O sea que esta matriz está a un número de ser singular, y por eso el resultado es chico comparado con los 230 de las cuentas intermedias.
Lo que ese −3 no dice. Que un determinante sea chico no significa, por sí solo, que la matriz esté cerca de ser singular: depende de la escala. La matriz 0,1·I de 3×3 tiene determinante 0,001 y es perfectamente inversible. El único umbral que importa es el cero.
Calcular el determinante de la matriz A = [[2,1,0,0], [1,2,1,0], [0,1,2,1], [0,0,1,2]] desarrollando por la primera columna, y encontrar el patrón que siguen los determinantes de sus menores principales.
Antes de calcular, mirar la matriz. Es tridiagonal: solo hay números en la diagonal y en las dos vecinas; todo lo demás es 0. Eso hace que el desarrollo por cofactores tenga muy pocos términos.
Se desarrolla por la primera columna, que tiene dos ceros de los cuatro elementos:
donde M₁₁ y M₂₁ son los menores, o sea los determinantes 3×3 que quedan al tapar la fila y columna correspondientes.
El primer menor (tapando fila 1 y columna 1):
= 2·(4 − 1) − 1·(2 − 0) + 0 = 6 − 2 = 4
El segundo menor (tapando fila 2 y columna 1):
= 1·(4 − 1) − 0 + 0 = 3
Se junta, sin olvidar el signo del cofactor (el de la posición 2,1 es negativo):
Ahora el patrón, que es la segunda parte. Se calculan los determinantes de las submatrices de arriba a la izquierda, de tamaño creciente:
D₂ = det[[2,1],[1,2]] = 4 − 1 = 3
D₃ = 4 (es el M₁₁ de recién)
D₄ = 5 (es det(A))
Por qué sale eso. Al desarrollar por la primera columna de una tridiagonal como esta, siempre queda la misma relación:
Se verifica con los que ya tenemos:
D₄ = 2·4 − 3 = 5 ✓
Y la fórmula n + 1 cumple la recurrencia: 2(n) − (n−1) = n + 1 ✓. Con eso se puede predecir el determinante de la matriz 10×10 sin calcularlo: D₁₀ = 11.
Para qué sirve el patrón. Un parcial puede pedir el determinante de la tridiagonal 6×6. Calcularlo a mano por cofactores son varias páginas; con la recurrencia son dos renglones: D₅ = 2·5 − 4 = 6 y D₆ = 2·6 − 5 = 7.
Un control adicional: como det(A) = 5 ≠ 0, la matriz es inversible y sus cuatro filas son linealmente independientes. Y como todos los Dn dan positivos, la matriz es además definida positiva — un dato que en otras materias vale mucho.
Dónde se pierde el punto: los signos de los cofactores. Se alternan como un tablero de ajedrez empezando por + arriba a la izquierda, así que en la primera columna van +, −, +, −. Desarrollar por una fila o columna con muchos ceros no solo ahorra cuentas: ahorra oportunidades de equivocar un signo.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidar el signo menos del término del medio en el desarrollo de 3×3.
- Usar la regla de Sarrus en una matriz de 4×4. Sólo vale para 3×3.
- Desarrollar por la primera fila cuando hay otra con más ceros, y hacer el triple de cuentas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Cómo se calcula un determinante →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Determinantes por propiedades25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 7
Determinantes