Álgebra A (62) · Unidad 7 — Determinantes

Propiedades del determinante

Las propiedades permiten calcular determinantes grandes sin desarrollar nada: se triangula la matriz y se multiplica la diagonal.

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La explicación

Cómo reaccionan a las operaciones de fila

intercambiar dos filas → el determinante cambia de signo
multiplicar una fila por k → el determinante queda multiplicado por k
sumarle a una fila un múltiplo de otra → el determinante no cambia

Esa tercera es la que hace todo el trabajo. Es justo la operación de Gauss, y no altera el determinante: se puede triangular tranquilamente y después multiplicar la diagonal. Las otras dos hay que compensarlas — un cambio de signo por cada intercambio, y dividir por k si multiplicaste una fila.

Productos, transpuestas e inversas

det(A·B) = det(A)·det(B) sí respeta el producto
det(A^t) = det(A)
det(A⁻¹) = 1 / det(A)
det(k·A) = kⁿ·det(A) con A de n×n

det(A + B) ≠ det(A) + det(B) NO respeta la suma

Las dos últimas son las trampas habituales. El kⁿ: multiplicar toda la matriz por k es multiplicar las n filas por k, y cada una aporta un factor. Para una 3×3, det(2A) = 8·det(A), no 2·det(A).

Y la suma no se lleva bien con el determinante. Es fácil de comprobar: con A = B = I de 2×2, det(A + B) = det(2I) = 4, pero det(A) + det(B) = 1 + 1 = 2.

Cuándo da cero

det(A) = 0 ⟺ las filas de A son linealmente dependientes

En particular da cero si hay una fila de ceros, dos filas iguales, o una fila que es múltiplo de otra. Detectar eso a ojo evita calcular nada.

Triangular para calcular

⎡ 1 2 3 ⎤ F₂−2F₁ ⎡ 1 2 3 ⎤
⎢ 2 5 7 ⎥ F₃−3F₁ ⎢ 0 1 1 ⎥
⎣ 3 6 8 ⎦ → ⎣ 0 0 −1 ⎦

Las dos operaciones fueron del tercer tipo, así que el determinante no cambió: det = 1·1·(−1) = −1. Para matrices de 4×4 o más, este camino es mucho más corto que desarrollar por cofactores.

Ejemplo resuelto

Si A es 3×3 con det(A) = 5, calcular det(2A), det(Aᵗ), det(A⁻¹) y det(A²).

Ninguno pide calcular la matriz: todos salen de las propiedades.

det(2A). Multiplicar la matriz por 2 es multiplicar las tres filas por 2, y cada una aporta un factor 2:

det(2A) = 2³ · det(A) = 8 · 5 = 40

El exponente es el tamaño de la matriz, no el escalar. Si A fuera 2×2 daría 4·5 = 20, y si fuera 4×4, 16·5 = 80. Contestar 2·5 = 10 es el error clásico, y se evita recordando por qué: hay una fila multiplicada por cada dimensión.

det(Aᵗ). Transponer no cambia el determinante:

det(A^t) = 5

Esa propiedad es la que justifica que se pueda desarrollar tanto por filas como por columnas.

det(A⁻¹). Como A·A⁻¹ = I y el determinante respeta el producto:

det(A)·det(A⁻¹) = det(I) = 1 → det(A⁻¹) = 1/5

Fijate que esa deducción de un renglón también demuestra la propiedad, en vez de pedirte que la memorices. Y deja claro por qué una matriz con determinante 0 no puede tener inversa: no hay número que multiplicado por 0 dé 1.

det(A²). A² = A·A:

det(A²) = det(A)·det(A) = 25

Resumen: det(2A) = 40, det(Aᵗ) = 5, det(A⁻¹) = 1/5, det(A²) = 25

Control: todos salieron distintos de cero, lo cual es obligatorio — si det(A) ≠ 0, ninguna de esas matrices puede ser singular. Si alguno te hubiera dado 0, hay un error.

Dónde se cae la mayoría

Escribir det(A + B) = det(A) + det(B). El determinante respeta el producto, no la suma.
Escribir det(kA) = k·det(A). Es kⁿ, con n el tamaño de la matriz.
Triangular intercambiando filas y olvidar el cambio de signo.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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