Álgebra A (62) · Unidad 7 — Determinantes
Propiedades del determinante
Las propiedades permiten calcular determinantes grandes sin desarrollar nada: se triangula la matriz y se multiplica la diagonal.
La explicación
Cómo reaccionan a las operaciones de fila
multiplicar una fila por k → el determinante queda multiplicado por k
sumarle a una fila un múltiplo de otra → el determinante no cambia
Productos, transpuestas e inversas
det(At) = det(A)
det(A−1) = 1 / det(A)
det(k·A) = kn·det(A) con A de n×n
Las dos últimas son las trampas habituales. El kn: multiplicar toda la matriz por k es multiplicar las n filas por k, y cada una aporta un factor. Para una 3×3, det(2A) = 8·det(A), no 2·det(A).
Y la suma no se lleva bien con el determinante. Es fácil de comprobar: con A = B = I de 2×2, det(A + B) = det(2I) = 4, pero det(A) + det(B) = 1 + 1 = 2.
Ojo con cómo se lee ese renglón: no dice que los dos lados nunca coincidan. Con A = I y B = [[1, 0], [0, −1]] dan los dos 0, y empatan. Lo que dice es que la igualdad no vale siempre, así que no se puede usar como propiedad: si en un ejercicio te aparece det(A + B), no hay atajo, hay que sumar las matrices primero.
Cuándo da cero
En particular da cero si hay una fila de ceros, dos filas iguales, o una fila que es múltiplo de otra. Detectar eso a ojo evita calcular nada.
Triangular para calcular
⎢ 2 5 7 ⎥ F₃−3F₁ ⎢ 0 1 1 ⎥
⎣ 3 6 8 ⎦ → ⎣ 0 0 −1 ⎦
Las dos operaciones fueron del tercer tipo, así que el determinante no cambió: det = 1·1·(−1) = −1. Para matrices de 4×4 o más, este camino es mucho más corto que desarrollar por cofactores.
Si A es 3×3 con det(A) = 5, calcular det(2A), det(Aᵗ), det(A⁻¹) y det(A²).
Ninguno pide calcular la matriz: todos salen de las propiedades.
det(2A). Multiplicar la matriz por 2 es multiplicar las tres filas por 2, y cada una aporta un factor 2:
det(Aᵗ). Transponer no cambia el determinante:
Esa propiedad es la que justifica que se pueda desarrollar tanto por filas como por columnas.
det(A⁻¹). Como A·A⁻¹ = I y el determinante respeta el producto:
Fijate que esa deducción de un renglón también demuestra la propiedad, en vez de pedirte que la memorices. Y deja claro por qué una matriz con determinante 0 no puede tener inversa: no hay número que multiplicado por 0 dé 1.
det(A²). A² = A·A:
Control: todos salieron distintos de cero, lo cual es obligatorio — si det(A) ≠ 0, ninguna de esas matrices puede ser singular. Si alguno te hubiera dado 0, hay un error.
Sean A y B matrices de 4×4 con det(A) = 2 y det(B) = −3. Calcular det(3A), det(A·Bᵗ), det(A⁻¹·B²) y det(−B), justificando cada propiedad usada.
Ninguna de las cuatro se calcula con las matrices: no las tenemos. Todo sale de las propiedades del determinante, y el punto del ejercicio es nombrarlas.
Las propiedades que hacen falta:
det(A·B) = det(A)·det(B)
det(Aᵗ) = det(A)
det(A⁻¹) = 1/det(A)
(a) det(3A). Acá está el error clásico de toda la unidad: multiplicar la matriz por 3 no multiplica el determinante por 3.
Por qué. Multiplicar A por 3 multiplica por 3 cada una de sus 4 filas, y sacar un factor de una fila multiplica el determinante por ese factor. Cuatro filas, cuatro factores:
El exponente es el tamaño de la matriz, no el de nada más. Si fuera 3×3 sería 27·2 = 54.
(b) det(A·Bᵗ). Dos propiedades encadenadas:
Trasponer no cambia el determinante, así que la t no molesta. Y notar que no hizo falta saber si A·Bᵗ es igual a Bᵗ·A: el determinante del producto es el mismo en cualquier orden, aunque los productos sean matrices distintas.
(c) det(A⁻¹·B²). Se separa el producto y se trata cada factor:
det(B²) = det(B·B) = det(B)·det(B) = (−3)² = 9
La fórmula de la inversa sale de la del producto: como A·A⁻¹ = I y det(I) = 1, entonces det(A)·det(A⁻¹) = 1. Y de paso queda claro por qué una matriz con determinante 0 no puede tener inversa: no hay número que multiplicado por 0 dé 1.
(d) det(−B). Es el caso (a) con k = −1:
El signo no cambió, porque el tamaño es par. Si las matrices fueran 3×3, (−1)³ = −1 y el resultado sería +3. Esta es la razón por la que en los ejercicios con parámetros conviene anotar el tamaño antes que nada.
Un resumen de los cuatro:
det(A·Bᵗ) = −6
det(A⁻¹·B²) = 9/2
det(−B) = −3
Lo que NO existe, y conviene tener presente: no hay ninguna fórmula para det(A + B). No es det(A) + det(B) ni nada parecido. El determinante se lleva bien con el producto y mal con la suma.
Dónde se pierde el punto: contestar det(3A) = 6. Es el error más repetido de toda la unidad, y se evita recordando de dónde viene la propiedad: el factor sale fila por fila, así que se eleva a la cantidad de filas.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir det(A + B) = det(A) + det(B). El determinante respeta el producto, no la suma.
- Escribir det(kA) = k·det(A). Es kⁿ, con n el tamaño de la matriz.
- Triangular intercambiando filas y olvidar el cambio de signo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Propiedades del determinante →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Determinantes por propiedades25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 7
Determinantes