Álgebra A (62) · Unidad 7 — Determinantes
Determinante, inversa e independencia
El determinante es un detector: si da distinto de cero, la matriz es inversible, las filas son independientes y el sistema tiene solución única. Todo es la misma pregunta.
La explicación
El teorema que une todo
• det(A) ≠ 0
• A es inversible
• rg(A) = n
• las filas de A son linealmente independientes
• las columnas de A son linealmente independientes
• A·X = O tiene sólo la solución trivial
• A·X = B tiene solución única para todo B
Independencia lineal
a₁v₁ + … + anvn = O sólo con a₁ = … = an = 0
En palabras: la única manera de combinarlos para obtener el vector nulo es con todos los coeficientes en cero. Si hay otra forma, son dependientes y al menos uno se escribe en función de los demás.
Cómo se chequea en la práctica: se ponen los vectores como filas de una matriz.
otra cantidad → triangular y mirar el rango
Bases
Es el criterio más rápido y el que más se usa. Para 3 vectores de ℝ³, un determinante de 3×3 y listo.
Conviene tener presente el conteo: más de n vectores en ℝⁿ son siempre dependientes (no hace falta calcular nada), y menos de n nunca generan todo ℝⁿ.
Una lectura geométrica
en ℝ³: |det| = volumen del paralelepípedo que forman las filas
Y con eso el "det = 0" se vuelve intuitivo: área o volumen cero significa que los vectores están aplastados — alineados en ℝ², o coplanares en ℝ³. Que es exactamente lo que significa ser dependientes.
De hecho, el determinante 3×3 de tres vectores es el producto mixto del tema 5.3: la misma cuenta con otro nombre.
Decidir si v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (2, 5, 7) y v₃ = (3, 6, 8) forman una base de ℝ³, y si no, escribir una relación de dependencia.
Son 3 vectores de ℝ³, así que la matriz es cuadrada y el criterio es el determinante.
⎢ 2 5 7 ⎥
⎣ 3 6 8 ⎦
Conviene triangular, porque sumarle a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante y de paso muestra la dependencia si la hay:
F₃ → F₃ − 3F₁: (0, 0, −1)
⎢ 0 1 1 ⎥ det = 1 · 1 · (−1) = −1
⎣ 0 0 −1 ⎦
Distinto de cero, así que los tres vectores sí forman una base de ℝ³. No hay relación de dependencia que escribir.
Qué habría pasado si daba cero. La triangulación habría dejado una fila de ceros, y los coeficientes que usaste para llegar a ella son la relación de dependencia. Por ejemplo, si F₃ − 3F₁ + 0·F₂ hubiera dado (0,0,0), la relación sería v₃ = 3v₁.
Control geométrico: |det| = 1 es el volumen del paralelepípedo que arman los tres vectores. Es chico —los vectores apuntan todos más o menos para el mismo lado— pero no es cero, así que no son coplanares. Que dé chico es normal y no indica ningún error.
Hallar el rango de A = [[1, 2, −1], [2, 4, k], [1, k, 1]] según los valores de k ∈ ℝ.
El rango de una matriz 3×3 vale 3 exactamente cuando su determinante no es cero, así que el primer paso es calcularlo con el parámetro adentro.
Desarrollando por la primera fila:
= (4 − k²) − 2·(2 − k) − (2k − 4)
= 4 − k² − 4 + 2k − 2k + 4
Se busca cuándo se anula:
Primer caso: k ≠ 2 y k ≠ −2. El determinante no es cero, las tres filas son independientes:
Control con k = 0: det = 4 ≠ 0 ✓, rango 3.
Segundo caso: k = 2. Hay que escalonar, porque saber que el rango no es 3 no dice si es 2 o 1.
F₃ → F₃ − F₁: [ 0 0 2 ]
Quedan dos filas no nulas:
Tercer caso: k = −2. Se escalona de nuevo, porque el resultado no tiene por qué ser el mismo.
Acá se ve a ojo que la segunda fila es el doble de la primera:
F₃ → F₃ − F₁: [ 0 −4 2 ]
Quedan dos filas no nulas otra vez:
La respuesta completa:
rango(A) = 2 si k = 2 o k = −2
Lo interesante es que los dos casos degenerados son distintos por dentro, aunque den el mismo rango: con k = −2 la segunda fila es múltiplo de la primera, y con k = 2 no lo es (la dependencia aparece recién entre las combinaciones). Por eso hay que escalonar los dos por separado, y no suponer que uno vale por el otro.
El rango nunca baja a 1 acá, porque en los dos valores críticos el escalonamiento dejó dos filas no nulas. (Que la primera fila (1, 2, −1) no sea nula sólo garantiza un pivote, o sea rango al menos 1.) El mínimo posible es 1, y se alcanzaría solo si las tres filas fueran múltiplos de una sola.
Para qué sirve el rango. Si esta A fuera la matriz de un sistema homogéneo, el rango dice cuántas soluciones hay: con rango 3, solo la trivial; con rango 2, una recta de soluciones (3 − 2 = 1 parámetro).
Dónde se pierde el punto: concluir «rango 2» para k = ±2 solo porque el determinante se anula. Eso descarta el 3, pero podría ser 1. Sin escalonar no se sabe, y el escalonamiento hay que hacerlo para cada valor crítico.
Dónde se cae la mayoría
- Concluir que unos vectores son independientes porque "se ven distintos". Hay que hacer la cuenta.
- Calcular el determinante de una matriz no cuadrada. Para eso se usa el rango.
- Olvidar que más de n vectores en ℝⁿ son dependientes siempre, sin necesidad de calcular.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Determinante, inversa e independencia →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Determinantes por propiedades25 puntos · resuelto paso a paso
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Determinantes