Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales
Qué es una transformación lineal
Es una función entre espacios que respeta la suma y el producto por escalares. Esas dos condiciones son toda la definición y todo lo que hay que verificar.
La explicación
La definición
TL1. T(v + w) = T(v) + T(w)
TL2. T(k·v) = k·T(v)
En palabras: da lo mismo operar antes o después de aplicar T. Sumar dos vectores y transformar el resultado, o transformar cada uno y sumar, tiene que dar lo mismo.
Consecuencias inmediatas
T(−v) = −T(v)
T(v − w) = T(v) − T(w)
T(a₁v₁ + … + arvr) = a₁T(v₁) + … + arT(vr)
Por ejemplo T(x, y) = (x + 1, y) manda (0,0) a (1,0): no es lineal. Ojo, el test sólo sirve para descartar: que T(O) = O no alcanza para afirmar que es lineal.
Cómo reconocerlas
Una función de ℝⁿ en ℝᵐ es lineal exactamente cuando cada coordenada de T(v) es una combinación lineal de las variables, sin términos independientes y sin potencias.
T(x, y) = (x + 1, y) ✘ término independiente
T(x, y) = (x², y) ✘ potencia
T(x, y) = (x·y, 0) ✘ producto de variables
T(x, y) = (|x|, y) ✘ el módulo no es lineal
Sirve como criterio rápido, pero cuando piden demostrar que algo es lineal hay que verificar TL1 y TL2 con vectores genéricos, no con ejemplos.
Cómo se demuestra que NO es lineal
Alcanza con un contraejemplo concreto. Es mucho más corto que cualquier argumento general:
T(2v) = T(2, 0) = (4, 0)
2·T(v) = 2·(1, 0) = (2, 0)
4 ≠ 2 → falla TL2, no es lineal
Determinada por lo que hace con una base
hay una única T lineal con T(vi) = wi
Es una propiedad muy fuerte: saber adónde van n vectores de una base determina T por completo, porque cualquier otro vector se escribe como combinación de ellos y T respeta las combinaciones. De ahí sale toda la unidad.
Decidir si son lineales: (a) T(x, y) = (3x − y, 2y), (b) S(x, y) = (x + y, 1), (c) R(x, y) = (x·y, x).
(a) T(x, y) = (3x − y, 2y). Las dos coordenadas son combinaciones lineales de x e y, sin constantes ni potencias. Todo indica que sí; lo verificamos en serio.
T(v + w) = T(x₁+x₂, y₁+y₂) = (3(x₁+x₂) − (y₁+y₂), 2(y₁+y₂))
T(v) + T(w) = (3x₁−y₁, 2y₁) + (3x₂−y₂, 2y₂) = (3x₁−y₁+3x₂−y₂, 2y₁+2y₂)
Distribuyendo en la primera, las dos expresiones coinciden. TL1 ✔. Y para TL2:
T es lineal.
(b) S(x, y) = (x + y, 1). Test rápido del cero:
No es lineal, y no hace falta nada más. La segunda coordenada es constante, y una constante distinta de cero rompe la linealidad.
(c) R(x, y) = (x·y, x). Acá R(0,0) = (0,0), así que el test del cero no descarta. Hay que buscar un contraejemplo:
R(2v) = R(2, 2) = (4, 2)
2·R(v) = 2·(1, 1) = (2, 2)
(4, 2) ≠ (2, 2) → no es lineal
La estrategia, en orden. 1) Probá T(O) = O; si falla, terminaste. 2) Mirá si hay potencias, productos de variables, módulos o raíces; si hay, buscá un contraejemplo con números chicos. 3) Si todo son combinaciones lineales limpias, verificá TL1 y TL2 en general.
Sea T : ℝ³ → ℝ² lineal, con T(1,0,0) = (2,1), T(0,1,0) = (−1,3) y T(1,1,1) = (0,0). Hallar T(0,0,1) y la fórmula general de T(x,y,z).
La linealidad es lo único que se usa, y conviene escribir las dos propiedades antes de empezar:
T(k·u) = k·T(u)
El dato raro es el tercero: (1,1,1) no es un vector de la base canónica. Pero se descompone:
Y entonces, por linealidad:
Se despeja el único término desconocido:
= (0,0) − (2,1) − (−1,3)
= (0 − 2 + 1 ; 0 − 1 − 3)
Ahora la fórmula general. Cualquier vector se escribe en la base canónica:
Y la linealidad permite sacar los escalares afuera:
= x·(2,1) + y·(−1,3) + z·(−1,−4)
Se suma componente a componente:
Verificación con los tres datos del enunciado, que es lo que cierra el ejercicio:
T(0,1,0) = (0 − 1 − 0 ; 0 + 3 − 0) = (−1, 3) ✓
T(1,1,1) = (2 − 1 − 1 ; 1 + 3 − 4) = (0, 0) ✓
La matriz asociada, que es la misma información en otro formato: sus columnas son las imágenes de los vectores canónicos.
Un dato que el ejercicio regala: como T(1,1,1) = (0,0), el vector (1,1,1) está en el núcleo de T. Y como T va de ℝ³ a ℝ², el núcleo tiene dimensión al menos 1 sí o sí: no se puede meter ℝ³ adentro de ℝ² sin aplastar algo.
Por qué alcanza con tres datos. Una transformación lineal queda completamente determinada por lo que hace con una base del dominio. Los tres vectores del enunciado son base de ℝ³ (se puede verificar: el determinante de (1,0,0), (0,1,0), (1,1,1) es 1), así que la información era justa.
Dónde se pierde el punto: restar mal al despejar T(0,0,1), sobre todo con el (−1,3) que ya viene con un signo negativo adentro. Restar un vector es restar cada coordenada: 0 − (−1) = +1, no −1.
Dónde se cae la mayoría
- Verificar sólo con un ejemplo numérico y concluir que es lineal. Para afirmarlo hay que usar vectores genéricos.
- Olvidar que un término independiente rompe la linealidad, por chico que sea.
- Creer que T(O) = O alcanza para probar linealidad. Sólo sirve para descartar.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Qué es una transformación lineal →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Una transformación con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 8
Transformaciones lineales