Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales

La matriz de una transformación

Toda transformación lineal se escribe como multiplicar por una matriz, y las columnas de esa matriz son las imágenes de los vectores de la base canónica.

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La explicación

Toda TL es una matriz

Para toda T : ℝⁿ → ℝᵐ lineal existe una única A ∈ ℝ^m×n tal que
T(x) = A·x

Se la llama matriz de T y se nota A_T. El resultado es fuerte: las transformaciones lineales y las matrices son la misma cosa vista de dos maneras.

Cómo se arma: las columnas

A_T = ( T(e₁) │ T(e₂) │ … │ T(e_n) )

donde e₁ = (1, 0, …, 0), e₂ = (0, 1, 0, …) son los vectores de la base canónica. Se calcula la imagen de cada uno y se la pone como columna.

Como columna, no como fila. Es el error más común del tema, y se detecta al instante: si A_T no tiene el tamaño correcto (m filas por n columnas, con m la dimensión de llegada y n la de salida), está transpuesta.

T(x, y) = (2x + y, x − 3y)

T(1, 0) = (2, 1) → primera columna
T(0, 1) = (1, −3) → segunda columna

A_T = [[2, 1], [1, −3]]

Atajo: si T está dada por fórmula, la matriz se lee directamente tomando los coeficientes de cada coordenada como una fila. La primera coordenada es 2x + 1y → fila (2, 1); la segunda es 1x − 3y → fila (1, −3). Da lo mismo, y es más rápido.

Verificar

A_T · (x, y) = [[2,1],[1,−3]]·(x, y) = (2x + y, x − 3y) ✔

Multiplicar la matriz por el vector genérico tiene que devolver la fórmula original. Es la comprobación definitiva y toma un renglón.

Composición e inversa

A_S∘T = A_S · A_T ojo con el orden
A_T⁻¹ = (A_T)⁻¹

En S∘T primero se aplica T y después S, pero en el producto de matrices A_S va a la izquierda. Coincide con cómo se escribe: S(T(v)) = A_S(A_Tv). El de adentro queda pegado al vector.

Cuando la base no es la canónica

Si te dan T(v₁) y T(v₂) para vectores que no son e₁ y e₂, no podés poner esos valores como columnas directamente. Hay que escribir primero e₁ y e₂ como combinación de v₁ y v₂, y usar la linealidad de T para obtener T(e₁) y T(e₂).

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea T(x, y) = (x + 2y, 3x − y, x). Hallar A_T, decir de qué tamaño es, y calcular T(2, −1) de las dos maneras.

Primero el tamaño. T va de ℝ² a ℝ³: la entrada tiene 2 coordenadas y la salida 3. Entonces A_T es de 3×2 (3 filas, 2 columnas).

Determinar el tamaño antes de calcular nada es lo que evita transponer sin querer. La regla: filas = dimensión de llegada, columnas = dimensión de salida. Y encaja con el producto: (3×2)·(2×1) = (3×1), que es un vector de ℝ³. ✔

Las columnas, con la base canónica.

T(1, 0) = (1 + 0, 3 − 0, 1) = (1, 3, 1) → primera columna
T(0, 1) = (0 + 2, 0 − 1, 0) = (2, −1, 0) → segunda columna

A_T = ⎡ 1 2 ⎤
⎢ 3 −1 ⎥
⎣ 1 0 ⎦

Es 3×2. ✔ Y se puede leer directo de la fórmula: cada coordenada de T aporta una fila con sus coeficientes.

T(2, −1) por la fórmula:

(2 + 2(−1), 3·2 − (−1), 2) = (0, 7, 2)

T(2, −1) por la matriz:

fila 1: (1, 2)·(2, −1) = 2 − 2 = 0
fila 2: (3, −1)·(2, −1) = 6 + 1 = 7
fila 3: (1, 0)·(2, −1) = 2

Los dos caminos dan (0, 7, 2). ✔

Para qué sirve tener la matriz. Con la fórmula alcanza para evaluar en un punto, pero la matriz es lo que permite componer transformaciones multiplicando, invertirlas, y calcular núcleo e imagen con Gauss. Todo lo que viene después de este tema usa la matriz, no la fórmula.

Y uno del nivel del parcial

Sea T : ℝ³ → ℝ³ la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es A_T = [[1, 0, −1], [2, 1, 0], [0, 1, 2]]. Calcular T(1, 2, 3), decidir si T es biyectiva y, si no lo es, hallar su núcleo.

Aplicar T es multiplicar la matriz por el vector, tratándolo como columna:

T(1,2,3) = A_T · (1, 2, 3)

fila 1: 1·1 + 0·2 + (−1)·3 = 1 − 3 = −2
fila 2: 2·1 + 1·2 + 0·3 = 2 + 2 = 4
fila 3: 0·1 + 1·2 + 2·3 = 2 + 6 = 8

T(1,2,3) = (−2 ; 4 ; 8)

Para la biyectividad, el criterio con matrices cuadradas es directo: T es biyectiva si y solo si det(A_T) ≠ 0.

det = 1·(1·2 − 0·1) − 0·(2·2 − 0·0) + (−1)·(2·1 − 1·0)
= 1·2 − 0 − 1·2 = 2 − 2 = 0

T no es biyectiva

Qué significa exactamente. Con determinante cero, T no es inyectiva (hay vectores distintos con la misma imagen) ni sobreyectiva (la imagen no es todo ℝ³). En una transformación de un espacio en sí mismo, las dos cosas van juntas: si falla una, falla la otra.

El núcleo es el conjunto de vectores que van a parar al cero, o sea las soluciones del sistema homogéneo A_T·X = 0:

x − z = 0
2x + y = 0
y + 2z = 0

Se despeja en cadena, empezando por la más simple:

de la primera: z = x
de la segunda: y = −2x

Y se controla en la tercera, que es la que sobra:

y + 2z = −2x + 2x = 0 ✓

Que la tercera se cumpla sola es la confirmación de que el sistema era dependiente, coherente con el determinante nulo. Si no se hubiera cumplido, habría un error en los despejes.

(x, y, z) = (x, −2x, x) = x·(1, −2, 1)

Nu(T) = ⟨(1, −2, 1)⟩, dim = 1

Verificación:

A_T·(1,−2,1) = (1 − 1 ; 2 − 2 ; −2 + 2) = (0, 0, 0) ✓

El teorema de la dimensión cierra el análisis:

dim(Nu) + dim(Im) = dim(dominio)
1 + dim(Im) = 3 → dim(Im) = 2

La imagen es un plano de ℝ³, generado por dos cualesquiera de las columnas de A_T que sean independientes — por ejemplo (1,2,0) y (0,1,1). La tercera columna, (−1,0,2), es combinación de esas dos: (−1)·(1,2,0) + 2·(0,1,1) = (−1, 0, 2) ✓.

La lectura geométrica: T aplasta una recta de ℝ³ (el núcleo) hasta el origen, y todo el espacio termina en un plano. Por eso no puede ser biyectiva: perdió una dimensión en el camino.

Dónde se pierde el punto: calcular el núcleo resolviendo A·X = b con el b del primer ítem. El núcleo siempre se resuelve contra el vector nulo, sin importar qué diga el resto del ejercicio.

Dónde se cae la mayoría

Poner las imágenes de la base como filas en vez de como columnas.
Escribir A_{S∘T} = A_T·A_S. El orden es al revés: A_S·A_T.
Usar directamente los T(vᵢ) como columnas cuando los vᵢ no son la base canónica.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — Una transformación con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso
Segundo parcial — Componer transformaciones del plano25 puntos · resuelto paso a paso

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