Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales
Transformaciones del plano
Rotaciones, simetrías, homotecias y deslizamientos: cada una tiene una matriz reconocible, y saberlas de memoria ahorra mucho trabajo.
La explicación
Rotación de ángulo θ (antihoraria)
Es la más importante. Casos que conviene tener a mano:
180°: [[−1, 0], [0, −1]] = −I
270°: [[0, 1], [−1, 0]]
Cómo reconstruirla sin memorizar: la primera columna es adónde va e₁ = (1,0), que al girar θ queda en (cos θ, sen θ). La segunda es adónde va e₂ = (0,1), que queda en (−sen θ, cos θ). Las columnas son las imágenes de la base, como siempre.
Homotecia de factor k
Estira si k > 1 (dilatación) y achica si 0 < k < 1 (contracción). Con k < 0 además da vuelta el sentido.
Simetrías
respecto del eje y: [[−1, 0], [0, 1]]
respecto de y = x: [[0, 1], [1, 0]]
respecto del origen: [[−1, 0], [0, −1]]
La primera deja x igual y da vuelta y — que es exactamente lo que hace un espejo horizontal. La tercera intercambia las coordenadas. La cuarta es un caso aparte y conviene tenerlo claro: la simetría respecto del origen no es un espejo sino la rotación de 180°, y por eso su determinante da +1 y no −1 como las otras tres.
Deslizamiento cortante (shear)
en dirección y: [[1, 0], [k, 1]]
Deforma el cuadrado en un paralelogramo sin cambiarle el área: la base y la altura siguen igual, sólo se inclina. Es la transformación de la letra cursiva.
El determinante dice qué le pasa al área
det(A) < 0 → además invierte la orientación (espeja)
homotecia de factor k (en ℝ²) → det = k²
cortante → det = 1 también conserva el área
simetría respecto de una recta → det = −1 conserva el área pero espeja
simetría respecto del origen → det = +1 es la rotación de 180°, no espeja
det = 0 aplasta todo sobre una recta
Hallar la matriz de la transformación que primero refleja respecto del eje x y después rota 90° antihorario. Aplicarla al punto (1, 2).
Las dos matrices por separado.
rotación de 90°: AR = [[0, −1], [1, 0]]
El orden. Primero S (reflejar), después R (rotar). Entonces la transformación es R∘S, y la matriz es:
El producto.
(1,1): (0, −1)·(1, 0) = 0
(1,2): (0, −1)·(0, −1) = 1
(2,1): (1, 0)·(1, 0) = 1
(2,2): (1, 0)·(0, −1) = 0
Sorpresa útil: esa es la matriz de la simetría respecto de la recta y = x. Reflejar en el eje x y después rotar 90° equivale a un solo espejo sobre la diagonal.
Aplicarla a (1, 2).
Verificación paso a paso, que además comprueba el orden:
rotar 90° antihorario: (x, y) → (−y, x) → (2, 1) ✔
Control por determinante: det(A) = 0·0 − 1·1 = −1. Negativo, o sea que la transformación invierte la orientación — lo cual tiene sentido: hay una reflexión en el medio, y una rotación no cambia la orientación. Módulo 1, así que conserva las áreas. Todo coherente con una simetría.
Hallar la matriz de la transformación de ℝ² que primero rota 60° en sentido antihorario y después aplica una homotecia de razón 2. Aplicarla a (1,0) y a (0,1), y verificar que los módulos se duplicaron y que el ángulo entre las imágenes sigue siendo 90°.
Las dos matrices por separado. La de rotación de ángulo θ antihoraria es la fórmula estándar:
La homotecia de razón 2 es simplemente 2·I:
La composición se escribe como producto, y el orden importa: la que se aplica primero va a la derecha.
En este caso particular no habría cambiado nada, porque multiplicar por 2·I conmuta con todo. Pero eso es la excepción: si en lugar de una homotecia fuera una reflexión, el orden sí cambiaría el resultado.
Las imágenes de los vectores canónicos son las columnas de A, así que se leen sin hacer cuentas:
T(0,1) = segunda columna = (−√3 ; 1)
Verificación 1: los módulos. Los vectores canónicos medían 1, así que sus imágenes tienen que medir 2.
|(−√3, 1)| = √(3 + 1) = 2 ✓
Verificación 2: el ángulo entre las imágenes. Rotar no cambia ángulos y escalar tampoco, así que los 90° originales tienen que sobrevivir:
Producto escalar cero es perpendicularidad, así que siguen a 90°.
Verificación 3: el ángulo de rotación. El vector (1, 0) fue a parar a (1, √3), cuyo ángulo es:
El determinante, que resume todo:
Ese 4 es el factor por el que se multiplican las áreas. Y tiene sentido: la rotación no cambia áreas (su determinante es 1) y la homotecia de razón 2 en el plano las multiplica por 2² = 4. Si el determinante te diera 2, confundiste el factor de longitudes con el de áreas.
Que el determinante sea positivo dice además que la transformación conserva la orientación, cosa que una reflexión no haría (ahí sería negativo).
Dónde se pierde el punto: poner el seno y el −seno cambiados de lugar. La matriz con −sen arriba a la derecha rota en sentido antihorario; con el signo al revés, rota en sentido horario. El control rápido es aplicarla a (1,0): si el resultado tiene segunda componente positiva, la rotación fue antihoraria.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir la rotación con los signos cambiados. El −sen θ va arriba a la derecha.
- Confundir la simetría respecto del eje x con la del eje y. La del eje x cambia el signo de y.
- Calcular el factor de área de una homotecia como k en vez de k².
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Transformaciones del plano →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Componer transformaciones del plano25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 8
Transformaciones lineales