Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales

Transformaciones del plano

Rotaciones, simetrías, homotecias y deslizamientos: cada una tiene una matriz reconocible, y saberlas de memoria ahorra mucho trabajo.

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La explicación

Rotación de ángulo θ (antihoraria)

A = [[cos θ, −sen θ], [sen θ, cos θ]]

Es la más importante. Casos que conviene tener a mano:

90°: [[0, −1], [1, 0]]
180°: [[−1, 0], [0, −1]] = −I
270°: [[0, 1], [−1, 0]]

Cómo reconstruirla sin memorizar: la primera columna es adónde va e₁ = (1,0), que al girar θ queda en (cos θ, sen θ). La segunda es adónde va e₂ = (0,1), que queda en (−sen θ, cos θ). Las columnas son las imágenes de la base, como siempre.

Homotecia de factor k

A = [[k, 0], [0, k]] = k·I T(v) = k·v

Estira si k > 1 (dilatación) y achica si 0 < k < 1 (contracción). Con k < 0 además da vuelta el sentido.

Simetrías

respecto del eje x: [[1, 0], [0, −1]]
respecto del eje y: [[−1, 0], [0, 1]]
respecto de y = x: [[0, 1], [1, 0]]
respecto del origen: [[−1, 0], [0, −1]]

La primera deja x igual y da vuelta y — que es exactamente lo que hace un espejo horizontal. La tercera intercambia las coordenadas.

Deslizamiento cortante (shear)

en dirección x: [[1, k], [0, 1]]
en dirección y: [[1, 0], [k, 1]]

Deforma el cuadrado en un paralelogramo sin cambiarle el área: la base y la altura siguen igual, sólo se inclina. Es la transformación de la letra cursiva.

El determinante dice qué le pasa al área

|det(A)| = cuánto multiplica las áreas la transformación
det(A) < 0 → además invierte la orientación (espeja)

Ese criterio es el control más rápido para saber si una matriz es la que pensás.

rotación → det = cos²θ + sen²θ = 1 conserva áreas y orientación
homotecia de factor k (en ℝ²) → det = k²
cortante → det = 1 también conserva el área
simetría → det = −1 conserva el área pero espeja
det = 0 aplasta todo sobre una recta

Si alguien te dice que una matriz con determinante 2 es una rotación, está mal: ninguna rotación agranda.

Ejemplo resuelto

Hallar la matriz de la transformación que primero refleja respecto del eje x y después rota 90° antihorario. Aplicarla al punto (1, 2).

Las dos matrices por separado.

reflexión respecto del eje x: A_S = [[1, 0], [0, −1]]
rotación de 90°: A_R = [[0, −1], [1, 0]]

El orden. Primero S (reflejar), después R (rotar). Entonces la transformación es R∘S, y la matriz es:

A = A_R · A_S la segunda va a la izquierda

Este orden invertido es lo que más confunde del tema. La razón es que se escribe R(S(v)): S está pegado al vector, así que su matriz queda más a la derecha. Regla práctica: la que se aplica primero se escribe última.

El producto.

[[0, −1], [1, 0]] · [[1, 0], [0, −1]]

(1,1): (0, −1)·(1, 0) = 0
(1,2): (0, −1)·(0, −1) = 1
(2,1): (1, 0)·(1, 0) = 1
(2,2): (1, 0)·(0, −1) = 0

A = [[0, 1], [1, 0]]

Sorpresa útil: esa es la matriz de la simetría respecto de la recta y = x. Reflejar en el eje x y después rotar 90° equivale a un solo espejo sobre la diagonal.

Aplicarla a (1, 2).

[[0,1],[1,0]]·(1, 2) = (2, 1)

Verificación paso a paso, que además comprueba el orden:

reflejar (1, 2) en el eje x → (1, −2)
rotar 90° antihorario: (x, y) → (−y, x) → (2, 1) ✔

Control por determinante: det(A) = 0·0 − 1·1 = −1. Negativo, o sea que la transformación invierte la orientación — lo cual tiene sentido: hay una reflexión en el medio, y una rotación no cambia la orientación. Módulo 1, así que conserva las áreas. Todo coherente con una simetría.

Dónde se cae la mayoría

Escribir la rotación con los signos cambiados. El −sen θ va arriba a la derecha.
Confundir la simetría respecto del eje x con la del eje y. La del eje x cambia el signo de y.
Calcular el factor de área de una homotecia como k en vez de k².

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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