Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales

Núcleo, imagen y clasificación

El núcleo es lo que T manda al cero; la imagen, todo lo que T alcanza. Sus dimensiones suman siempre la dimensión de salida.

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La explicación

Las definiciones

Nu(T) = { v ∈ ℝⁿ : T(v) = O } vive en la salida
Im(T) = { w ∈ ℝᵐ : w = T(v) } vive en la llegada

Los dos son subespacios: contienen al cero y son cerrados para la suma y el producto por escalares.

Cómo se calculan

Núcleo: resolver el sistema homogéneo A_T·X = O

Se triangula A_T y se describen las soluciones. Siempre hay al menos el O.

Imagen: está generada por las columnas de A_T,
y dim(Im(T)) = rg(A_T)

Porque T(e₁), …, T(e_n) son las columnas y generan todo lo que T alcanza. Para dar una base de la imagen se descartan las columnas que sean combinación de las otras.

El teorema de la dimensión

dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = n (n = dimensión de la salida)

Es el control más potente de la unidad. Calculás uno de los dos, y el otro sale por resta. Y si calculaste los dos por separado y no suman n, hay un error seguro — no es una coincidencia que a veces falle.

Ojo con la n: es la dimensión del espacio de salida, no del de llegada. Para T : ℝ³ → ℝ², n = 3.

Clasificación

monomorfismo (inyectiva) ⟺ Nu(T) = {O} ⟺ dim Nu = 0
epimorfismo (suryectiva) ⟺ Im(T) = ℝᵐ ⟺ rg(A_T) = m
isomorfismo (biyectiva) ⟺ las dos cosas

Para T : ℝⁿ → ℝⁿ (mismo espacio), las tres condiciones se vuelven equivalentes entre sí, y equivalen a det(A_T) ≠ 0. Es el teorema de 7.3 traducido a transformaciones.

Conclusiones que salen sin cuentas

n > m (baja de dimensión) → nunca es inyectiva
n < m (sube de dimensión) → nunca es suryectiva

La primera: si dim Im ≤ m < n, entonces dim Nu = n − dim Im > 0, así que hay núcleo no trivial. Una T de ℝ³ en ℝ² siempre aplasta algo. La segunda es el argumento simétrico.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea T : ℝ³ → ℝ² dada por T(x, y, z) = (x + y, y + z). Hallar núcleo e imagen con sus dimensiones, y clasificarla.

La matriz. Leyendo los coeficientes de cada coordenada como una fila:

A_T = ⎡ 1 1 0 ⎤
⎣ 0 1 1 ⎦ (2×3 ✔)

Imagen. Ya está triangulada y tiene 2 filas no nulas, así que rg(A_T) = 2.

dim(Im(T)) = 2 = dimensión de ℝ² → Im(T) = ℝ²

Es suryectiva (epimorfismo).

Núcleo. Por el teorema de la dimensión, con n = 3 (la salida):

dim(Nu(T)) = 3 − 2 = 1

Ya sabemos que va a ser una recta. Lo calculamos:

x + y = 0 → y = −x
y + z = 0 → z = −y = x

Nu(T) = { (t, −t, t) : t ∈ ℝ } = ⟨(1, −1, 1)⟩

Dimensión 1, como predijo el teorema. ✔

Control directo: T(1, −1, 1) = (1 + (−1), −1 + 1) = (0, 0) ✔. Siempre conviene verificar que el generador del núcleo efectivamente va a parar al cero — es la comprobación que atrapa cualquier error de signo al despejar.

Clasificación. El núcleo no es sólo el cero, así que no es inyectiva. Y la imagen es todo ℝ², así que sí es suryectiva.

T es epimorfismo, pero no monomorfismo ni isomorfismo

Se podía anticipar. T va de ℝ³ a ℝ²: baja de dimensión, así que no podía ser inyectiva bajo ninguna circunstancia. Lo único que había que averiguar era si llegaba a todo ℝ², y para eso alcanzaba con el rango. Mirar las dimensiones antes de calcular ahorra la mitad del trabajo y evita respuestas imposibles.

Y uno del nivel del parcial

Sea T : ℝ⁴ → ℝ³ dada por T(x, y, z, w) = (x + y, z + w, x + y − z − w). Hallar base y dimensión del núcleo y de la imagen, y verificar el teorema de la dimensión.

Antes de calcular nada, conviene mirar la fórmula: la tercera componente es la primera menos la segunda. Eso ya anticipa que la imagen no va a ser todo ℝ³.

El núcleo: los vectores que van al (0,0,0).

x + y = 0
z + w = 0
x + y − z − w = 0

La tercera ecuación es la primera menos la segunda, así que se cumple sola: 0 − 0 = 0. No aporta nada y se descarta.

y = −x, w = −z

Quedan dos variables libres, x y z:

(x, −x, z, −z) = x·(1, −1, 0, 0) + z·(0, 0, 1, −1)

base del núcleo: {(1, −1, 0, 0) ; (0, 0, 1, −1)}
dim(Nu) = 2

Verificación:

T(1,−1,0,0) = (1−1 ; 0+0 ; 1−1−0) = (0,0,0) ✓
T(0,0,1,−1) = (0+0 ; 1−1 ; 0−1+1) = (0,0,0) ✓

Los dos generadores son independientes (ninguno es múltiplo del otro: el primero tiene ceros donde el segundo no), así que son base y la dimensión es 2.

La imagen: está generada por las imágenes de la base canónica.

T(1,0,0,0) = (1 ; 0 ; 1)
T(0,1,0,0) = (1 ; 0 ; 1)
T(0,0,1,0) = (0 ; 1 ; −1)
T(0,0,0,1) = (0 ; 1 ; −1)

Los cuatro generadores son en realidad dos, repetidos de a pares:

Im(T) = ⟨(1, 0, 1) ; (0, 1, −1)⟩

Son independientes —no son múltiplos uno del otro— así que forman base:

dim(Im) = 2

El teorema de la dimensión:

dim(Nu) + dim(Im) = dim(dominio)
2 + 2 = 4 ✓

El dominio es ℝ⁴, así que el 4 es el que tiene que salir. No el 3 del codominio: el teorema habla del espacio de partida. Confundirlos es el error más frecuente y se detecta enseguida, porque las cuentas no cierran.

La clasificación:

¿inyectiva? no: el núcleo tiene dimensión 2, no es solo el cero
¿sobreyectiva? no: dim(Im) = 2 < 3 = dim(ℝ³)

Que no sea inyectiva era inevitable: ninguna transformación de ℝ⁴ en ℝ³ puede serlo, porque el núcleo tiene dimensión al menos 4 − 3 = 1. Que tampoco sea sobreyectiva sí es propio de esta T, y viene de la dependencia entre sus componentes.

La ecuación de la imagen, por si el parcial la pide: un vector (a,b,c) está en Im(T) si es combinación de (1,0,1) y (0,1,−1), o sea si a = a, b = b, c = a − b:

Im(T) = {(a,b,c) ∈ ℝ³ : c = a − b}, un plano por el origen

Que es justo lo que se veía en la fórmula desde el principio.

Dónde se pierde el punto: dar como base de la imagen las cuatro imágenes de la canónica. Generan, sí, pero no son base: hay que quedarse con un subconjunto independiente, y acá dos de las cuatro estaban repetidas.

Dónde se cae la mayoría

Buscar el núcleo resolviendo A·X = B en vez del sistema homogéneo A·X = O.
Usar la dimensión de llegada en el teorema de la dimensión. Es la de salida.
Tomar las filas de la matriz como generadores de la imagen. Son las columnas.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — Una transformación con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso

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