Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales

Núcleo, imagen y clasificación

El núcleo es lo que T manda al cero; la imagen, todo lo que T alcanza. Sus dimensiones suman siempre la dimensión de salida.

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La explicación

Las definiciones

Nu(T) = { v ∈ ℝⁿ : T(v) = O } vive en la salida
Im(T) = { w ∈ ℝᵐ : w = T(v) } vive en la llegada

Los dos son subespacios: contienen al cero y son cerrados para la suma y el producto por escalares.

Cómo se calculan

Núcleo: resolver el sistema homogéneo A_T·X = O

Se triangula A_T y se describen las soluciones. Siempre hay al menos el O.

Imagen: está generada por las columnas de A_T,
y dim(Im(T)) = rg(A_T)

Porque T(e₁), …, T(e_n) son las columnas y generan todo lo que T alcanza. Para dar una base de la imagen se descartan las columnas que sean combinación de las otras.

El teorema de la dimensión

dim(Nu(T)) + dim(Im(T)) = n (n = dimensión de la salida)

Es el control más potente de la unidad. Calculás uno de los dos, y el otro sale por resta. Y si calculaste los dos por separado y no suman n, hay un error seguro — no es una coincidencia que a veces falle.

Ojo con la n: es la dimensión del espacio de salida, no del de llegada. Para T : ℝ³ → ℝ², n = 3.

Clasificación

monomorfismo (inyectiva) ⟺ Nu(T) = {O} ⟺ dim Nu = 0
epimorfismo (suryectiva) ⟺ Im(T) = ℝᵐ ⟺ rg(A_T) = m
isomorfismo (biyectiva) ⟺ las dos cosas

Para T : ℝⁿ → ℝⁿ (mismo espacio), las tres condiciones se vuelven equivalentes entre sí, y equivalen a det(A_T) ≠ 0. Es el teorema de 7.3 traducido a transformaciones.

Conclusiones que salen sin cuentas

n > m (baja de dimensión) → nunca es inyectiva
n < m (sube de dimensión) → nunca es suryectiva

La primera: si dim Im ≤ m < n, entonces dim Nu = n − dim Im > 0, así que hay núcleo no trivial. Una T de ℝ³ en ℝ² siempre aplasta algo. La segunda es el argumento simétrico.

Ejemplo resuelto

Sea T : ℝ³ → ℝ² dada por T(x, y, z) = (x + y, y + z). Hallar núcleo e imagen con sus dimensiones, y clasificarla.

La matriz. Leyendo los coeficientes de cada coordenada como una fila:

A_T = ⎡ 1 1 0 ⎤
⎣ 0 1 1 ⎦ (2×3 ✔)

Imagen. Ya está triangulada y tiene 2 filas no nulas, así que rg(A_T) = 2.

dim(Im(T)) = 2 = dimensión de ℝ² → Im(T) = ℝ²

Es suryectiva (epimorfismo).

Núcleo. Por el teorema de la dimensión, con n = 3 (la salida):

dim(Nu(T)) = 3 − 2 = 1

Ya sabemos que va a ser una recta. Lo calculamos:

x + y = 0 → y = −x
y + z = 0 → z = −y = x

Nu(T) = { (t, −t, t) : t ∈ ℝ } = ⟨(1, −1, 1)⟩

Dimensión 1, como predijo el teorema. ✔

Control directo: T(1, −1, 1) = (1 + (−1), −1 + 1) = (0, 0) ✔. Siempre conviene verificar que el generador del núcleo efectivamente va a parar al cero — es la comprobación que atrapa cualquier error de signo al despejar.

Clasificación. El núcleo no es sólo el cero, así que no es inyectiva. Y la imagen es todo ℝ², así que sí es suryectiva.

T es epimorfismo, pero no monomorfismo ni isomorfismo

Se podía anticipar. T va de ℝ³ a ℝ²: baja de dimensión, así que no podía ser inyectiva bajo ninguna circunstancia. Lo único que había que averiguar era si llegaba a todo ℝ², y para eso alcanzaba con el rango. Mirar las dimensiones antes de calcular ahorra la mitad del trabajo y evita respuestas imposibles.

Dónde se cae la mayoría

Buscar el núcleo resolviendo A·X = B en vez del sistema homogéneo A·X = O.
Usar la dimensión de llegada en el teorema de la dimensión. Es la de salida.
Tomar las filas de la matriz como generadores de la imagen. Son las columnas.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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