Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales
Proyectores
Un proyector es una transformación que aplicada dos veces da lo mismo que una sola. Proyectar algo ya proyectado no lo mueve.
La explicación
La definición
En matrices, con A la matriz de p:
Y eso es todo: para decidir si una transformación es un proyector, se calcula A² y se compara con A. No hay nada que interpretar.
De dónde sale el nombre
El ejemplo es la proyección ortogonal del tema 5.4. Si proyectás P sobre una recta obtenés un punto que ya está en la recta; proyectarlo otra vez no lo mueve. Aplicar dos veces da lo mismo que aplicar una.
• la proyección ortogonal sobre una recta en ℝ²
• la proyección ortogonal sobre una recta o un plano en ℝ³
• la identidad (proyecta sobre todo el espacio)
• la transformación nula (proyecta sobre {0})
La propiedad que se usa
Un ejemplo con matriz
A = [[1, 0], [0, 0]]
A² = [[1, 0], [0, 0]] = A ✔ es proyector
dim Nu + dim Im = 1 + 1 = 2 ✔ (teorema de la dimensión)
Y se ve la propiedad: para v = (3, 0), que está en la imagen, p(v) = (3, 0) = v.
Qué NO es proyector
una homotecia de factor 2: A² = 4I ≠ 2I ✘
una simetría: A² = I ≠ A (salvo que A sea I) ✘
La simetría es el caso interesante: cumple A² = I, no A² = A. Aplicar dos veces vuelve al punto de partida en vez de quedarse. Esas se llaman involuciones, y son otra cosa.
Control rápido con el determinante: de A² = A sale det(A)² = det(A), así que det(A) sólo puede ser 0 o 1. Si te dan una matriz con determinante 5 y te preguntan si es proyector, la respuesta es no, sin multiplicar nada.
Decidir si son proyectores: (a) A = [[1, 1], [0, 0]], (b) B = [[0, 1], [1, 0]]. Para el que lo sea, hallar núcleo e imagen.
(a) A = [[1, 1], [0, 0]]. Calculamos A²:
(2,1): (0,0)·(1,0) = 0 (2,2): (0,0)·(1,0) = 0
Núcleo: A·(x,y) = (x + y, 0) = (0,0) pide x + y = 0, o sea y = −x.
Imagen: está generada por las columnas, que son (1,0) y (1,0) — la misma.
Control con el teorema de la dimensión: 1 + 1 = 2 = dimensión de salida ✔.
(b) B = [[0, 1], [1, 0]]. Es la simetría respecto de y = x. Calculamos B²:
Cumple B² = I, no B² = B. Tiene sentido: reflejar dos veces te devuelve al punto original, no te deja quieto donde caíste.
El atajo del determinante. det(B) = −1, y un proyector sólo puede tener determinante 0 o 1. Con eso solo ya se descartaba, sin multiplicar. Para A: det(A) = 0 ✔, consistente con que aplaste el plano sobre una recta.
Verificar que P = (1/5)·[[1, 2], [2, 4]] es un proyector, hallar su núcleo y su imagen, y decir sobre qué subespacio proyecta y en qué dirección.
Un proyector es una matriz que cumple P² = P, y esa es toda la definición. Aplicarlo dos veces tiene que dar lo mismo que aplicarlo una: si ya proyectaste, volver a proyectar no cambia nada.
Se calcula P², sacando el 1/5 afuera:
fila1·col2 = 1·2 + 2·4 = 10
fila2·col1 = 2·1 + 4·2 = 10
fila2·col2 = 2·2 + 4·4 = 20
Es un proyector. Y se puede ver por qué: la matriz [[1,2],[2,4]] tiene las dos filas proporcionales, y ese 5 que aparece en la esquina es exactamente |(1,2)|² — que es lo que compensa el 1/5.
La imagen: está generada por las columnas.
columna 2 = (1/5)·(2, 4) = (2/5)·(1, 2)
Las dos son múltiplos de (1, 2):
El núcleo: resolver P·X = 0. Como las dos filas son proporcionales, hay una sola ecuación:
Verificación:
P·(1,2) = (1/5)·(1 + 4 ; 2 + 8) = (1/5)·(5, 10) = (1, 2) ✓
Esa segunda cuenta es la que define un proyector: los vectores de la imagen quedan fijos. P no los mueve, porque ya están donde tienen que estar.
Sobre qué proyecta y en qué dirección. Proyecta sobre la recta ⟨(1,2)⟩ (su imagen) en la dirección de ⟨(2,−1)⟩ (su núcleo): a cada vector le borra la parte que va en la dirección del núcleo y le deja la que va en la de la imagen.
Y hay un dato más, que hay que notar:
El núcleo es perpendicular a la imagen, así que P no es un proyector cualquiera: es un proyector ortogonal. Proyecta «de frente», como la sombra de un objeto con el sol justo encima. Un proyector no ortogonal proyectaría en diagonal, con el núcleo cruzado respecto de la imagen.
El control de la traza, que es rápido y vale la pena:
En todo proyector la traza es igual a la dimensión de la imagen. Si te da otra cosa, o la matriz no es proyector o la imagen está mal calculada.
Un control más: dim(Nu) + dim(Im) = 1 + 1 = 2 = dim(ℝ²) ✓, como manda el teorema de la dimensión. En un proyector el núcleo y la imagen siempre parten el espacio entero entre los dos.
Dónde se pierde el punto: calcular P² olvidando elevar el 1/5 al cuadrado. Sin ese (1/5)² el resultado da 5·P y parece que no es proyector. El escalar también se multiplica.
Dónde se cae la mayoría
- Confundir A² = A con A² = I. Lo segundo es una simetría, no un proyector.
- Creer que todo proyector es una proyección ortogonal. La condición es sólo p∘p = p.
- Olvidar que la identidad también es un proyector.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Proyectores →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Componer transformaciones del plano25 puntos · resuelto paso a paso
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Transformaciones lineales