Álgebra A (62) · Unidad 8 — Transformaciones lineales

Proyectores

Un proyector es una transformación que aplicada dos veces da lo mismo que una sola. Proyectar algo ya proyectado no lo mueve.

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La explicación

La definición

p : ℝⁿ → ℝⁿ es un proyector si p ∘ p = p

En matrices, con A la matriz de p:

A² = A

Y eso es todo: para decidir si una transformación es un proyector, se calcula A² y se compara con A. No hay nada que interpretar.

De dónde sale el nombre

El ejemplo es la proyección ortogonal del tema 5.4. Si proyectás P sobre una recta obtenés un punto que ya está en la recta; proyectarlo otra vez no lo mueve. Aplicar dos veces da lo mismo que aplicar una.

Son proyectores:
• la proyección ortogonal sobre una recta en ℝ²
• la proyección ortogonal sobre una recta o un plano en ℝ³
• la identidad (proyecta sobre todo el espacio)
• la transformación nula (proyecta sobre {0})

La propiedad que se usa

Si p es un proyector, entonces p(v) = v para todo v ∈ Im(p)

Sale de la definición en un renglón. Si v ∈ Im(p), entonces v = p(w) para algún w. Aplicando p:

p(v) = p(p(w)) = (p∘p)(w) = p(w) = v

Dicho de otro modo: sobre su propia imagen, un proyector es la identidad. Los vectores que ya están "donde se proyecta" se quedan quietos.

Un ejemplo con matriz

p(x, y) = (x, 0) la proyección sobre el eje x

A = [[1, 0], [0, 0]]
A² = [[1, 0], [0, 0]] = A ✔ es proyector

Nu(p) = el eje y Im(p) = el eje x
dim Nu + dim Im = 1 + 1 = 2 ✔ (teorema de la dimensión)

Y se ve la propiedad: para v = (3, 0), que está en la imagen, p(v) = (3, 0) = v.

Qué NO es proyector

una rotación de 90°: A² es la rotación de 180° ≠ A ✘
una homotecia de factor 2: A² = 4I ≠ 2I ✘
una simetría: A² = I ≠ A (salvo que A sea I) ✘

La simetría es el caso interesante: cumple A² = I, no A² = A. Aplicar dos veces vuelve al punto de partida en vez de quedarse. Esas se llaman involuciones, y son otra cosa.

Control rápido con el determinante: de A² = A sale det(A)² = det(A), así que det(A) sólo puede ser 0 o 1. Si te dan una matriz con determinante 5 y te preguntan si es proyector, la respuesta es no, sin multiplicar nada.

Ejemplo resuelto

Decidir si son proyectores: (a) A = [[1, 1], [0, 0]], (b) B = [[0, 1], [1, 0]]. Para el que lo sea, hallar núcleo e imagen.

(a) A = [[1, 1], [0, 0]]. Calculamos A²:

(1,1): (1,1)·(1,0) = 1 (1,2): (1,1)·(1,0) = 1
(2,1): (0,0)·(1,0) = 0 (2,2): (0,0)·(1,0) = 0

A² = [[1, 1], [0, 0]] = A ✔ es proyector

Núcleo: A·(x,y) = (x + y, 0) = (0,0) pide x + y = 0, o sea y = −x.

Nu(p) = ⟨(1, −1)⟩, dim = 1

Imagen: está generada por las columnas, que son (1,0) y (1,0) — la misma.

Im(p) = ⟨(1, 0)⟩, dim = 1

Control con el teorema de la dimensión: 1 + 1 = 2 = dimensión de salida ✔.

Verificación de la propiedad característica. Tomemos v = (5, 0), que está en Im(p):

p(5, 0) = (5 + 0, 0) = (5, 0) = v ✔

Sobre su imagen el proyector no hace nada. Si esto te fallara, o la imagen está mal calculada o la matriz no era proyector.

(b) B = [[0, 1], [1, 0]]. Es la simetría respecto de y = x. Calculamos B²:

B² = [[1, 0], [0, 1]] = I ≠ B ✘ no es proyector

Cumple B² = I, no B² = B. Tiene sentido: reflejar dos veces te devuelve al punto original, no te deja quieto donde caíste.

El atajo del determinante. det(B) = −1, y un proyector sólo puede tener determinante 0 o 1. Con eso solo ya se descartaba, sin multiplicar. Para A: det(A) = 0 ✔, consistente con que aplaste el plano sobre una recta.

Dónde se cae la mayoría

Confundir A² = A con A² = I. Lo segundo es una simetría, no un proyector.
Creer que todo proyector es una proyección ortogonal. La condición es sólo p∘p = p.
Olvidar que la identidad también es un proyector.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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