Álgebra A (62) · Unidad 9 — Cónicas

La parábola

Todos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo y de una recta fija. De esa condición sale la ecuación, no al revés.

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La explicación

La definición por distancias

Parábola = { P : d(P, F) = d(P, L) }

F es el foco (un punto) y L la directriz (una recta que no pasa por F). Todas las cónicas se definen así, comparando distancias; lo que cambia es la comparación.

Ecuación canónica

x² = 4cy con foco F = (0, c) y directriz y = −c

Abre hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0. El vértice es (0, 0), y es el punto medio entre el foco y su proyección sobre la directriz.

y² = 4cx la misma con los ejes cambiados:
abre a la derecha (c > 0) o a la izquierda

Cuál de los dos es se ve mirando qué variable está elevada al cuadrado.
• Si el cuadrado es la x, la parábola abre verticalmente (arriba o abajo).
• Si el cuadrado es la y, abre horizontalmente.

Suena al revés de lo que uno esperaría, y por eso se equivoca tanta gente. La forma de recordarlo: y = x² es la parábola de toda la vida y abre hacia arriba; ahí la que está al cuadrado es la x.

Cómo se sacan foco y directriz

x² = 8y → 4c = 8 → c = 2
foco F = (0, 2) directriz y = −2

El foco siempre queda del lado hacia donde abre, y la directriz del lado opuesto, a la misma distancia del vértice. Es un control geométrico instantáneo.

Parábola con vértice desplazado

(x − h)² = 4c(y − k) vértice en (h, k)

Todo se traslada: foco en (h, k + c) y directriz y = k − c. Ojo con los signos: (x − 3)² tiene el vértice en x = 3, no en −3.

Cuando viene desarrollada

Si la ecuación aparece como x² − 6x − 4y + 13 = 0, hay que completar el cuadrado:

x² − 6x = (x − 3)² − 9

(x − 3)² − 9 − 4y + 13 = 0
(x − 3)² = 4y − 4
(x − 3)² = 4(y − 1)

Vértice (3, 1), 4c = 4 así que c = 1, foco (3, 2), directriz y = 0.

Ejemplo resuelto

Hallar vértice, foco y directriz de la parábola y² + 4y − 8x + 12 = 0, y decir hacia dónde abre.

Paso 1: identificar cuál variable está al cuadrado. Es la y, así que la parábola abre horizontalmente (a izquierda o a derecha). Eso ya lo sabemos antes de hacer ninguna cuenta.

Paso 2: completar el cuadrado en y.

y² + 4y = (y + 2)² − 4

El truco es siempre el mismo: se toma la mitad del coeficiente de y (que es 2), se escribe (y + 2)², y se resta el cuadrado de eso (que es 4) para compensar.

(y + 2)² − 4 − 8x + 12 = 0
(y + 2)² = 8x − 8
(y + 2)² = 8(x − 1)

Paso 3: leer los datos. Comparando con (y − k)² = 4c(x − h):

h = 1, k = −2 → vértice V = (1, −2)
4c = 8 → c = 2

Cuidado con los dos signos. El vértice sale de (y + 2)², y el + significa k = −2. Y 4c = 8 da c = 2, no 8. Son dos lugares distintos donde se pierde el punto, y los dos son puramente mecánicos.

Paso 4: foco y directriz. Como abre horizontalmente y c = 2 > 0, abre hacia la derecha. El foco está c unidades a la derecha del vértice, y la directriz c unidades a la izquierda:

foco F = (1 + 2, −2) = (3, −2)
directriz: x = 1 − 2 = −1

Control con un punto. Tomemos el punto de la parábola con y = −2 (el vértice, (1,−2)) y otro cualquiera. Con y = 2:

(2 + 2)² = 8(x − 1) → 16 = 8x − 8 → x = 3
P = (3, 2)

d(P, F) = d((3,2),(3,−2)) = 4
d(P, directriz) = |3 − (−1)| = 4 ✔

Las dos distancias coinciden, que es exactamente la definición de parábola. Este control verifica foco y directriz al mismo tiempo y es el más confiable.

Dónde se cae la mayoría

Confundir hacia dónde abre. Si la que está al cuadrado es la x, abre verticalmente.
Leer c directamente del coeficiente. Si dice x² = 8y, entonces 4c = 8 y c = 2, no 8.
Equivocar el signo del vértice: (x − 3)² tiene vértice en x = 3.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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