Álgebra A (62) · Unidad 9 — Cónicas
La parábola
Todos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo y de una recta fija. De esa condición sale la ecuación, no al revés.
La explicación
La definición por distancias
F es el foco (un punto) y L la directriz (una recta que no pasa por F). Todas las cónicas se definen así, comparando distancias; lo que cambia es la comparación.
Ecuación canónica
Abre hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0. El vértice es (0, 0), y es el punto medio entre el foco y su proyección sobre la directriz.
abre a la derecha (c > 0) o a la izquierda
• Si el cuadrado es la x, la parábola abre verticalmente (arriba o abajo).
• Si el cuadrado es la y, abre horizontalmente.
Suena al revés de lo que uno esperaría, y por eso se equivoca tanta gente. La forma de recordarlo: y = x² es la parábola de toda la vida y abre hacia arriba; ahí la que está al cuadrado es la x.
Cómo se sacan foco y directriz
foco F = (0, 2) directriz y = −2
El foco siempre queda del lado hacia donde abre, y la directriz del lado opuesto, a la misma distancia del vértice. Es un control geométrico instantáneo.
Parábola con vértice desplazado
Todo se traslada: foco en (h, k + c) y directriz y = k − c. Ojo con los signos: (x − 3)² tiene el vértice en x = 3, no en −3.
Cuando viene desarrollada
Si la ecuación aparece como x² − 6x − 4y + 13 = 0, hay que completar el cuadrado:
(x − 3)² − 9 − 4y + 13 = 0
(x − 3)² = 4y − 4
(x − 3)² = 4(y − 1)
Vértice (3, 1), 4c = 4 así que c = 1, foco (3, 2), directriz y = 0.
Hallar vértice, foco y directriz de la parábola y² + 4y − 8x + 12 = 0, y decir hacia dónde abre.
Paso 1: identificar cuál variable está al cuadrado. Es la y, así que la parábola abre horizontalmente (a izquierda o a derecha). Eso ya lo sabemos antes de hacer ninguna cuenta.
Paso 2: completar el cuadrado en y.
El truco es siempre el mismo: se toma la mitad del coeficiente de y (que es 2), se escribe (y + 2)², y se resta el cuadrado de eso (que es 4) para compensar.
(y + 2)² = 8x − 8
(y + 2)² = 8(x − 1)
Paso 3: leer los datos. Comparando con (y − k)² = 4c(x − h):
4c = 8 → c = 2
Paso 4: foco y directriz. Como abre horizontalmente y c = 2 > 0, abre hacia la derecha. El foco está c unidades a la derecha del vértice, y la directriz c unidades a la izquierda:
directriz: x = 1 − 2 = −1
Control con un punto. Con uno solo alcanza, y sirve cualquier punto de la parábola que no sea el vértice. Tomemos el de y = 2:
P = (3, 2)
d(P, F) = d((3,2),(3,−2)) = 4
d(P, directriz) = |3 − (−1)| = 4 ✔
Las dos distancias coinciden, que es exactamente la definición de parábola. Este control verifica foco y directriz al mismo tiempo y es el más confiable.
Hallar la ecuación de la parábola de vértice V = (2, −1) y eje vertical que pasa por el punto (4, 3). Dar su foco y su directriz.
«Eje vertical» decide la forma de la ecuación. Con eje vertical la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, y el cuadrado va sobre la x:
Si el eje fuera horizontal, el cuadrado iría sobre la y. Confundir eso es empezar mal el ejercicio entero.
Con el vértice dado:
El punto (4, 3) determina p:
4 = 16p → p = 1/4
En forma explícita, que a veces es la que se pide:
Se lee directo que abre hacia arriba, porque p es positivo (y el coeficiente de x² también).
El foco. Está sobre el eje, a distancia p del vértice, del lado hacia donde abre:
La directriz. Es la recta perpendicular al eje, a distancia p del vértice pero del lado opuesto:
El vértice queda justo en el medio entre el foco y la directriz, siempre. Control: el punto medio entre y = −3/4 e y = −5/4 es −1 = yv ✓.
La verificación que define a la parábola. Todo punto de la curva está a la misma distancia del foco que de la directriz. Se prueba con el punto (4, 3):
= √(4 + 225/16) = √(289/16) = 17/4
Las dos dan 17/4. Ese control es el mejor que hay para una parábola, porque usa la definición y no la fórmula: si la ecuación estuviera mal, no coincidirían.
Un control rápido extra: el vértice (2,−1) tiene que cumplir la ecuación. (2−2)² = 0 y (−1 + 1) = 0 ✓.
Cómo saber si p es grande o chico. Un p chico (acá 1/4) significa una parábola cerrada, angosta: el foco está muy cerca del vértice. Cuanto mayor es p, más abierta. Con p = 1/4 el coeficiente de x² es 1, que es la parábola «normal» y = x², corrida.
Dónde se pierde el punto: escribir (y + 1)² = 4p(x − 2), que es la de eje horizontal. El enunciado dice eje vertical: la variable que va al cuadrado es la otra, la que se mueve perpendicular al eje.
Dónde se cae la mayoría
- Confundir hacia dónde abre. Si la que está al cuadrado es la x, abre verticalmente.
- Leer c directamente del coeficiente. Si dice x² = 8y, entonces 4c = 8 y c = 2, no 8.
- Equivocar el signo del vértice: (x − 3)² tiene vértice en x = 3.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La parábola →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Cónicas, de ida y de vuelta25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 9
Cónicas