Álgebra A (62) · Unidad 9 — Cónicas

Circunferencia y elipse

La circunferencia es el lugar de los puntos a distancia fija de un centro. La elipse generaliza eso con dos focos: la suma de las distancias es constante.

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La explicación

Circunferencia

(x − h)² + (y − k)² = r² centro (h, k), radio r

Sale directo de la definición: todos los puntos a distancia r del centro. Es la fórmula de la distancia elevada al cuadrado.

Si viene desarrollada (x² + y² + Dx + Ey + F = 0) hay que completar cuadrados en las dos variables:

x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0
(x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 − 4 = 0
(x − 1)² + (y + 2)² = 9 centro (1, −2), radio 3

Si al completar cuadrados el lado derecho queda negativo, no hay ninguna circunferencia: el conjunto es vacío. Y si queda exactamente cero, el "conjunto" es un solo punto, el centro. Son los dos casos degenerados que los ejercicios suelen incluir a propósito.

Elipse: la definición

Elipse = { P : d(P, F₁) + d(P, F₂) = 2a } con 2a > d(F₁, F₂)

Es el dibujo del hilo y los dos clavos: si atás un hilo de largo 2a entre dos clavos y lo tensás con un lápiz, el lápiz recorre una elipse.

Ecuación canónica

x²/a² + y²/b² = 1 con a > b > 0

a = semieje mayor b = semieje menor
focos: (±c, 0) con c² = a² − b²
vértices: (±a, 0) excentricidad: e = c/a < 1

La relación es c² = a² − b², con una RESTA — al revés que en la hipérbola, donde es una suma. Es el punto que más se mezcla de la unidad.

Y una consecuencia importante: los focos están siempre sobre el eje mayor, o sea del lado del denominador más grande. Si el número grande está debajo de y², la elipse es "parada" y los focos están en (0, ±c).

x²/25 + y²/9 = 1
a = 5, b = 3 → c² = 25 − 9 = 16 → c = 4
focos (±4, 0), vértices (±5, 0), e = 4/5

Excentricidad

e = c/a, con 0 ≤ e < 1 para la elipse

Mide cuán "achatada" es. Con e cerca de 0 los focos están casi juntos y la elipse es casi una circunferencia (de hecho, la circunferencia es la elipse con a = b, c = 0 y e = 0). Con e cerca de 1 queda muy alargada.

Elipse desplazada

(x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 centro (h, k)

Todo se traslada igual: focos en (h ± c, k), vértices en (h ± a, k).

Ejemplo resuelto

Identificar la cónica 4x² + 9y² − 8x + 36y + 4 = 0, hallar su centro, semiejes, focos y excentricidad.

Paso 1: agrupar y sacar factor común. Los coeficientes de x² e y² son distintos pero del mismo signo: eso anticipa una elipse.

4(x² − 2x) + 9(y² + 4y) + 4 = 0

Sacar el factor común antes de completar cuadrados es lo que evita la mayoría de los errores en estos ejercicios.

Paso 2: completar cuadrados adentro de cada paréntesis.

x² − 2x = (x − 1)² − 1
y² + 4y = (y + 2)² − 4

4[(x−1)² − 1] + 9[(y+2)² − 4] + 4 = 0
4(x−1)² − 4 + 9(y+2)² − 36 + 4 = 0
4(x−1)² + 9(y+2)² = 36

El −1 y el −4 quedan multiplicados por el factor común. No son −1 y −4 los que salen del corchete, sino −4 y −36. Saltearse esa multiplicación es el error número uno de este tipo de ejercicio.

Paso 3: dividir para que quede = 1.

(x−1)²/9 + (y+2)²/4 = 1

Paso 4: leer todo.

centro: (1, −2)
a² = 9 → a = 3 (el mayor, y está bajo la x)
b² = 4 → b = 2
c² = a² − b² = 9 − 4 = 5 → c = √5 ≈ 2,24

focos: (1 ± √5, −2) → aproximadamente (3,24, −2) y (−1,24, −2)
vértices: (1 ± 3, −2) = (4, −2) y (−2, −2)
excentricidad: e = √5/3 ≈ 0,75

Controles. El eje mayor es horizontal porque el 9 está debajo de la x, y los focos quedaron sobre esa horizontal (misma y que el centro) ✔. Además c < a siempre, y 2,24 < 3 ✔. Y la excentricidad quedó entre 0 y 1 ✔, como corresponde a una elipse.

Una lectura del resultado: e ≈ 0,75 es bastante alto, así que la elipse se ve claramente alargada y no casi circular. Si el dibujo te queda redondo, revisá.

Dónde se cae la mayoría

Usar c² = a² + b² en la elipse. En la elipse es una resta; la suma es de la hipérbola.
Poner los focos sobre el eje menor. Van siempre sobre el eje mayor.
Olvidar restar lo que se agrega al completar cuadrados, y que el radio salga mal.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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