Álgebra A (62) · Unidad 9 — Cónicas
Circunferencia y elipse
La circunferencia es el lugar de los puntos a distancia fija de un centro. La elipse generaliza eso con dos focos: la suma de las distancias es constante.
La explicación
Circunferencia
Sale directo de la definición: todos los puntos a distancia r del centro. Es la fórmula de la distancia elevada al cuadrado.
Si viene desarrollada (x² + y² + Dx + Ey + F = 0) hay que completar cuadrados en las dos variables:
(x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 − 4 = 0
(x − 1)² + (y + 2)² = 9 centro (1, −2), radio 3
Elipse: la definición
Es el dibujo del hilo y los dos clavos: si atás un hilo de largo 2a entre dos clavos y lo tensás con un lápiz, el lápiz recorre una elipse.
Ecuación canónica
focos: (±c, 0) con c² = a² − b²
vértices: (±a, 0) excentricidad: e = c/a < 1
Y una consecuencia importante: los focos están siempre sobre el eje mayor, o sea del lado del denominador más grande. Si el número grande está debajo de y², la elipse es "parada" y los focos están en (0, ±c).
a = 5, b = 3 → c² = 25 − 9 = 16 → c = 4
focos (±4, 0), vértices (±5, 0), e = 4/5
Excentricidad
Mide cuán "achatada" es. Con e cerca de 0 los focos están casi juntos y la elipse es casi una circunferencia (de hecho, la circunferencia es la elipse con a = b, c = 0 y e = 0). Con e cerca de 1 queda muy alargada.
Elipse desplazada
Todo se traslada igual: focos en (h ± c, k), vértices en (h ± a, k).
Identificar la cónica 4x² + 9y² − 8x + 36y + 4 = 0, hallar su centro, semiejes, focos y excentricidad.
Paso 1: agrupar y sacar factor común. Los coeficientes de x² e y² son distintos pero del mismo signo: eso anticipa una elipse.
Sacar el factor común antes de completar cuadrados es lo que evita la mayoría de los errores en estos ejercicios.
Paso 2: completar cuadrados adentro de cada paréntesis.
y² + 4y = (y + 2)² − 4
4(x−1)² − 4 + 9(y+2)² − 36 + 4 = 0
4(x−1)² + 9(y+2)² = 36
Paso 3: dividir para que quede = 1.
Paso 4: leer todo.
a² = 9 → a = 3 (el mayor, y está bajo la x)
b² = 4 → b = 2
c² = a² − b² = 9 − 4 = 5 → c = √5 ≈ 2,24
vértices: (1 ± 3, −2) = (4, −2) y (−2, −2)
excentricidad: e = √5/3 ≈ 0,75
Controles. El eje mayor es horizontal porque el 9 está debajo de la x, y los focos quedaron sobre esa horizontal (misma y que el centro) ✔. Además c < a siempre, y 2,24 < 3 ✔. Y la excentricidad quedó entre 0 y 1 ✔, como corresponde a una elipse.
Una lectura del resultado: e ≈ 0,75 es bastante alto, así que la elipse se ve claramente alargada y no casi circular. Si el dibujo te queda redondo, revisá.
Hallar la ecuación de la elipse con focos F₁ = (1, 2) y F₂ = (7, 2) y eje mayor de longitud 10. Dar su centro, sus semiejes, su excentricidad y su ecuación desarrollada.
Los focos dan el centro y la orientación de un vistazo. Los dos tienen la misma y = 2, así que están sobre una recta horizontal: el eje mayor es horizontal.
La distancia focal. c es la distancia del centro a cada foco:
El semieje mayor. El eje mayor mide 2a, y el enunciado dice que mide 10:
El semieje menor, con la relación fundamental de la elipse:
25 = b² + 9 → b² = 16 → b = 4
Esa relación es la que hay que tener clarísima: en la elipse, a es el más grande de los tres y c el más chico. En la hipérbola es al revés (c² = a² + b²), y cruzarlas es el error más común de toda la unidad.
La ecuación canónica. Como el eje mayor es horizontal, a² va debajo de la x:
La excentricidad:
Qué dice ese número. La excentricidad de una elipse va entre 0 y 1: con e = 0 sería un círculo, y cuanto más cerca de 1, más achatada. 0,6 es una elipse bien marcada, ni redonda ni extrema.
Los vértices, que salen de moverse a desde el centro:
sobre el eje menor: (4 ; 2 ± 4) → (4 ; 6) y (4 ; −2)
La ecuación desarrollada. Se multiplica todo por 400, que es el mínimo común múltiplo de 25 y 16:
16x² − 128x + 256 + 25y² − 100y + 100 = 400
Verificación con un vértice, (9, 2):
= 1296 + 100 − 1152 − 200 − 44 = 0 ✓
Y con otro, (4, 6):
= 256 + 900 − 512 − 600 − 44 = 0 ✓
La verificación por la definición, que es la más convincente: la suma de las distancias de cualquier punto a los dos focos tiene que valer 2a = 10. Con el punto (4, 6):
a F₂ = √((4−7)² + (6−2)²) = √(9+16) = 5
suma = 10 ✓
Dónde se pierde el punto: usar a² = b² + c² al revés, o poner el 25 debajo de la y. El denominador más grande va siempre debajo de la variable que corre a lo largo del eje mayor, y el eje mayor lo definen los focos.
Dónde se cae la mayoría
- Usar c² = a² + b² en la elipse. En la elipse es una resta; la suma es de la hipérbola.
- Poner los focos sobre el eje menor. Van siempre sobre el eje mayor.
- Olvidar restar lo que se agrega al completar cuadrados, y que el radio salga mal.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Circunferencia y elipse →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Cónicas, de ida y de vuelta25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 9
Cónicas