Álgebra A (62) · Unidad 9 — Cónicas

La hipérbola y clasificación

La hipérbola usa la diferencia de distancias en vez de la suma, y tiene dos ramas con asíntotas. Mirando los signos de x² e y² se identifica cualquier cónica.

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La explicación

La definición

Hipérbola = { P : |d(P, F₁) − d(P, F₂)| = 2a }

La elipse usa la suma; la hipérbola, la diferencia en módulo. Ese cambio produce dos ramas separadas en vez de una curva cerrada.

Ecuación canónica

x²/a² − y²/b² = 1 ramas a izquierda y derecha

vértices: (±a, 0)
focos: (±c, 0) con c² = a² + b²
asíntotas: y = ± (b/a) x
excentricidad: e = c/a > 1

Acá c² = a² + b², con SUMA. Es la diferencia clave con la elipse, y la consecuencia se ve en el dibujo: en la hipérbola c > a siempre, o sea que los focos quedan más lejos que los vértices. En la elipse era al revés, los focos quedaban adentro.

Si te da c < a en una hipérbola, usaste la fórmula de la elipse.

Hacia dónde abre

x²/a² − y²/b² = 1 → abre horizontalmente (el + está en x)
y²/a² − x²/b² = 1 → abre verticalmente

Manda el término positivo, no cuál tiene el denominador más grande. Es una diferencia importante con la elipse, donde sí mandaba el denominador. Y en la hipérbola a no tiene por qué ser mayor que b: a es simplemente el del término positivo.

Asíntotas: la forma rápida de dibujarla

Se dibuja el rectángulo de lados 2a y 2b centrado en el centro, se trazan sus diagonales prolongadas (ésas son las asíntotas) y las ramas se apoyan en ellas pasando por los vértices. Es el método más rápido y el que usa todo el mundo.

x²/9 − y²/16 = 1
a = 3, b = 4 → c² = 9 + 16 = 25 → c = 5
vértices (±3, 0), focos (±5, 0), asíntotas y = ±(4/3)x

Identificar cualquier cónica

Dada A x² + C y² + D x + E y + F = 0 (sin término en xy):

A y C del mismo signo, distintos → elipse
A y C iguales → circunferencia
A y C de signo opuesto → hipérbola
uno de los dos vale cero → parábola

Esto se contesta de un vistazo, antes de completar ningún cuadrado. Completar cuadrados sirve para encontrar el centro y los parámetros, pero para decir qué cónica es alcanza con mirar dos coeficientes.

Los casos degenerados existen y suelen aparecer: la ecuación puede terminar describiendo un punto, dos rectas, una sola recta o el conjunto vacío. Por eso conviene completar cuadrados igual y ver qué queda del lado derecho.

Ejemplo resuelto

Identificar y describir por completo la cónica 9x² − 4y² − 18x − 16y − 43 = 0.

Paso 1: identificar de un vistazo. El coeficiente de x² es 9 y el de y² es −4: signos opuestos. Es una hipérbola. No hizo falta ninguna cuenta.

Paso 2: agrupar con factor común.

9(x² − 2x) − 4(y² + 4y) − 43 = 0

Cuidado con el signo al sacar el −4: adentro del paréntesis queda +4y, porque −4y² − 16y = −4(y² + 4y).

Paso 3: completar cuadrados.

9[(x−1)² − 1] − 4[(y+2)² − 4] − 43 = 0
9(x−1)² − 9 − 4(y+2)² + 16 − 43 = 0
9(x−1)² − 4(y+2)² = 36

El +16 es el detalle fino. Sale de −4 · (−4) = +16: el factor común es negativo y el término que se compensa también, así que el resultado suma. Un signo mal acá cambia todo el ejercicio y es muy fácil de cometer.

Paso 4: dividir por 36.

(x−1)²/4 − (y+2)²/9 = 1

Paso 5: leer todo.

centro: (1, −2)
el término positivo es el de x → abre horizontalmente
a² = 4 → a = 2 b² = 9 → b = 3
c² = a² + b² = 4 + 9 = 13 → c = √13 ≈ 3,61

vértices: (1 ± 2, −2) = (3, −2) y (−1, −2)
focos: (1 ± √13, −2)
asíntotas: y + 2 = ± (3/2)(x − 1)
excentricidad: e = √13/2 ≈ 1,80

Fijate que b > a, y no es ningún problema: en la hipérbola a es simplemente el del término positivo, sin importar cuál sea más grande.

Controles. c = 3,61 > a = 2 ✔, como tiene que pasar en toda hipérbola. La excentricidad dio mayor que 1 ✔. Las asíntotas tienen pendiente b/a = 3/2, no a/b ✔. Y están escritas respecto del centro (1, −2), no del origen — trasladar las asíntotas es otra cosa que se olvida seguido.

Dónde se cae la mayoría

Usar c² = a² − b² en la hipérbola. Ahí es una suma.
Decidir hacia dónde abre mirando el denominador más grande. Manda el signo, no el tamaño.
Dar las asíntotas como y = ±(a/b)x. Son y = ±(b/a)x, con b sobre a.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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