Álgebra A (62) · Unidad 9 — Cónicas
La hipérbola y clasificación
La hipérbola usa la diferencia de distancias en vez de la suma, y tiene dos ramas con asíntotas. Mirando los signos de x² e y² se identifica cualquier cónica.
La explicación
La definición
La elipse usa la suma; la hipérbola, la diferencia en módulo. Ese cambio produce dos ramas separadas en vez de una curva cerrada.
La condición sobre 2a es la opuesta a la de la elipse: allá la suma tenía que superar la distancia entre los focos, y acá la diferencia tiene que quedar por debajo. El motivo es la desigualdad triangular: |d(P, F₁) − d(P, F₂)| nunca llega a superar a d(F₁, F₂), así que con un 2a más grande no habría ni un punto que cumpla.
Ecuación canónica
focos: (±c, 0) con c² = a² + b²
asíntotas: y = ± (b/a) x
excentricidad: e = c/a > 1
Si te da c < a en una hipérbola, usaste la fórmula de la elipse.
Hacia dónde abre
y²/a² − x²/b² = 1 → abre verticalmente
Manda el término positivo, no cuál tiene el denominador más grande. Es una diferencia importante con la elipse, donde sí mandaba el denominador. Y en la hipérbola a no tiene por qué ser mayor que b: a es simplemente el del término positivo.
Asíntotas: la forma rápida de dibujarla
Se dibuja el rectángulo de lados 2a y 2b centrado en el centro, se trazan sus diagonales prolongadas (ésas son las asíntotas) y las ramas se apoyan en ellas pasando por los vértices. Es el método más rápido y el que usa todo el mundo.
a = 3, b = 4 → c² = 9 + 16 = 25 → c = 5
vértices (±3, 0), focos (±5, 0), asíntotas y = ±(4/3)x
Identificar cualquier cónica
Dada A x² + C y² + D x + E y + F = 0 (sin término en xy):
A y C iguales → circunferencia
A y C de signo opuesto → hipérbola
uno de los dos vale cero → parábola
Esto se contesta de un vistazo, antes de completar ningún cuadrado. Completar cuadrados sirve para encontrar el centro y los parámetros, pero para decir qué cónica es alcanza con mirar dos coeficientes.
Los casos degenerados existen y suelen aparecer: la ecuación puede terminar describiendo un punto, dos rectas, una sola recta o el conjunto vacío. Por eso conviene completar cuadrados igual y ver qué queda del lado derecho.
Identificar y describir por completo la cónica 9x² − 4y² − 18x − 16y − 43 = 0.
Paso 1: identificar de un vistazo. El coeficiente de x² es 9 y el de y² es −4: signos opuestos. Es una hipérbola. No hizo falta ninguna cuenta.
Paso 2: agrupar con factor común.
Cuidado con el signo al sacar el −4: adentro del paréntesis queda +4y, porque −4y² − 16y = −4(y² + 4y).
Paso 3: completar cuadrados.
9(x−1)² − 9 − 4(y+2)² + 16 − 43 = 0
9(x−1)² − 4(y+2)² = 36
Paso 4: dividir por 36.
Paso 5: leer todo.
el término positivo es el de x → abre horizontalmente
a² = 4 → a = 2 b² = 9 → b = 3
c² = a² + b² = 4 + 9 = 13 → c = √13 ≈ 3,61
focos: (1 ± √13, −2)
asíntotas: y + 2 = ± (3/2)(x − 1)
excentricidad: e = √13/2 ≈ 1,80
Fijate que b > a, y no es ningún problema: en la hipérbola a es simplemente el del término positivo, sin importar cuál sea más grande.
Controles. c = 3,61 > a = 2 ✔, como tiene que pasar en toda hipérbola. La excentricidad dio mayor que 1 ✔. Las asíntotas tienen pendiente b/a = 3/2, no a/b ✔. Y están escritas respecto del centro (1, −2), no del origen — trasladar las asíntotas es otra cosa que se olvida seguido.
Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, un vértice en (4, 0) y asíntotas y = ±(3/4)·x. Dar sus focos y su excentricidad.
El vértice en (4, 0) dice dos cosas a la vez: que el eje real es horizontal (porque el vértice está sobre el eje x) y que a = 4.
Las asíntotas dan b. Para una hipérbola centrada en el origen con eje real horizontal, las asíntotas son:
Se compara con el dato:
Los focos, con la relación de la hipérbola, que es distinta de la de la elipse:
Acá está el 3-4-5 de siempre, y no es casualidad: el triángulo rectángulo de catetos a y b tiene hipotenusa c, y ese triángulo se dibuja literalmente en el rectángulo cuyas diagonales son las asíntotas.
La excentricidad:
En una hipérbola la excentricidad es siempre mayor que 1, porque c > a. Si te da menos de 1, confundiste la fórmula con la de la elipse. Cuanto más cerca de 1, más «cerrada» es la hipérbola; cuanto más grande, más abierta.
La diferencia entre las dos cónicas, en una línea:
hipérbola: c² = a² + b² (c es el más grande, e > 1)
Verificación del vértice:
Verificación de las asíntotas. Se despeja y de la ecuación y se ve a dónde tiende para x grande:
Cuando x crece, la raíz tiende a 1 y queda y ≈ ±(3/4)x ✓.
Verificación por la definición, que es la más fuerte: la diferencia de las distancias a los dos focos vale 2a = 8 en todo punto. Se prueba con el vértice (4, 0):
a F₂ = |4 + 5| = 9
diferencia = 9 − 1 = 8 = 2a ✓
Los elementos del dibujo: se marca el rectángulo de vértices (±4, ±3), se trazan sus diagonales (que son las asíntotas), y las ramas de la hipérbola salen de (±4, 0) abriéndose hacia afuera sin llegar nunca a tocar esas diagonales.
Dónde se pierde el punto: usar c² = a² − b² (la de la elipse) y obtener c = √7. En la hipérbola los dos términos se suman, y el foco queda siempre más lejos que el vértice, nunca más cerca.
Dónde se cae la mayoría
- Usar c² = a² − b² en la hipérbola. Ahí es una suma.
- Decidir hacia dónde abre mirando el denominador más grande. Manda el signo, no el tamaño.
- Dar las asíntotas como y = ±(a/b)x. Son y = ±(b/a)x, con b sobre a.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La hipérbola y clasificación →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Cónicas, de ida y de vuelta25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 9
Cónicas