Álgebra A (62) · Unidad 1 — Conjuntos
Conjuntos, pertenencia e inclusión
Un conjunto es una colección de elementos. Hay dos relaciones distintas que se confunden todo el tiempo: pertenecer (un elemento adentro) e incluir (un conjunto adentro de otro).
La explicación
Dos formas de escribir un conjunto
Por comprensión: con una propiedad A = {n ∈ ℕ : n ≤ 4}
Las dos describen el mismo conjunto. En un conjunto no importa el orden y no cuentan las repeticiones: {1, 2, 2, 3} y {3, 1, 2} son el mismo conjunto.
Los conjuntos numéricos
ℤ = {…, −1, 0, 1, …} los enteros
ℚ = {a/b : a, b ∈ ℤ, b ≠ 0} los racionales
ℝ los reales
Cada uno está incluido en el siguiente: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ. El conjunto sin ningún elemento es el vacío, ∅.
Pertenecer no es lo mismo que incluir
B ⊆ A B es un conjunto y todos sus elementos están en A
{1} ⊆ A ✔ el conjunto {1} es un subconjunto
1 ⊆ A ✘ el 1 es un número, no un conjunto
{1} ∈ A ✘ los elementos de A son 1, 2 y 3, no {1}
Propiedades de la inclusión
A ⊆ A siempre
si C ⊆ B y B ⊆ A, entonces C ⊆ A
A = B ⟺ A ⊆ B y B ⊆ A
La última es la herramienta con la que se demuestra que dos conjuntos son iguales: se prueban las dos inclusiones por separado. Es el método estándar en toda la materia.
Sea A = {1, 2, {3}}. Decidir si son verdaderas: (a) 1 ∈ A, (b) 3 ∈ A, (c) {3} ∈ A, (d) {1, 2} ⊆ A, (e) {{3}} ⊆ A.
Lo primero: listar los elementos de A. Son tres: el número 1, el número 2, y el conjunto {3}. Ese tercer elemento es un conjunto, y eso es lo que hace interesante al ejercicio.
(b) 3 ∈ A F el 3 no está; lo que está es {3}
(c) {3} ∈ A V sí está, es el tercer elemento
(d) {1,2} ⊆ A V sus dos elementos, 1 y 2, están en A
(e) {{3}} ⊆ A V su único elemento es {3}, que está en A
El truco práctico. Para una afirmación con ⊆, sacale las llaves de afuera al conjunto de la izquierda y preguntate si cada cosa que queda está en A. Para {{3}} ⊆ A, sacando llaves queda {3}, y {3} sí está en A. Por eso es verdadera.
Control: si algo es verdadero con ∈ para un objeto x, entonces {x} ⊆ A también es verdadero — y al revés. Fijate que (c) y (e) forman exactamente ese par.
Sea B = {∅, {∅}, 1}. Decidir si cada afirmación es verdadera o falsa, justificando: (a) ∅ ∈ B, (b) ∅ ⊆ B, (c) {∅} ∈ B, (d) {1} ∈ B, (e) {1} ⊆ B, (f) {{∅}} ⊆ B, (g) |B| = 3, (h) |P(B)| = 8.
Todo el ejercicio se resuelve con una sola distinción, y por eso conviene escribirla antes de mirar los ítems:
X ⊆ A → TODOS los elementos de X están en la lista de A
La lista de B tiene exactamente tres cosas: el conjunto vacío, el conjunto cuyo único elemento es el vacío, y el número 1. Son tres objetos distintos, aunque dos se escriban parecido.
(a) ∅ ∈ B — verdadero. El vacío está escrito como primer elemento de la lista. Acá el vacío se está usando como elemento, no como conjunto.
(b) ∅ ⊆ B — verdadero. Y lo sería aunque B no lo tuviera adentro: el vacío está incluido en absolutamente todo conjunto, porque la condición «todos sus elementos están en B» se cumple sin tener que revisar nada.
Que (a) y (b) sean las dos verdaderas es casualidad de este B, y por eso el ejercicio pone las dos: (b) siempre es verdadera; (a) lo es solo porque el vacío figura en la lista.
(c) {∅} ∈ B — verdadero. {∅} es el segundo elemento de la lista. Ojo: {∅} no es el vacío. El vacío no tiene elementos; {∅} tiene uno.
(d) {1} ∈ B — FALSO. Los elementos de B son ∅, {∅} y 1. El conjunto {1} no está en esa lista. En B está el número 1, no la caja que lo contiene.
(e) {1} ⊆ B — verdadero. El único elemento de {1} es el 1, y el 1 sí pertenece a B. Comparar (d) con (e) es el corazón del ejercicio: la misma escritura, un símbolo distinto, respuestas opuestas.
(f) {{∅}} ⊆ B — verdadero. El único elemento de {{∅}} es {∅}, y por (c) sabemos que {∅} ∈ B. Se aplica el mismo razonamiento que en (e), una capa más arriba.
(g) |B| = 3 — verdadero. Se cuentan los objetos de la lista, sin abrirlos: ∅, {∅}, 1. Son tres.
(h) |P(B)| = 8 — verdadero. El conjunto de partes de un conjunto de n elementos tiene 2ⁿ:
Los ocho subconjuntos, para verlo: ∅, {∅}, {{∅}}, {1}, {∅, {∅}}, {∅, 1}, {{∅}, 1} y B entero.
La única falsa es (d).
Dónde se pierde el punto: tratar a ∅ y a {∅} como lo mismo. Y contestar (d) verdadero por analogía con (e): pertenecer y estar incluido son relaciones distintas entre objetos de distinto nivel.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir 2 ⊆ A cuando 2 es un elemento. A la izquierda de ⊆ tiene que haber un conjunto.
- Creer que ∅ y {∅} son lo mismo. El primero no tiene elementos; el segundo tiene uno, que es el vacío.
- Olvidar que ∅ ⊆ A siempre, incluso cuando A también es vacío.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Conjuntos, pertenencia e inclusión →Los otros temas de la unidad 1
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