Álgebra A (62) · Unidad 1 — Conjuntos
Conjuntos, pertenencia e inclusión
Un conjunto es una colección de elementos. Hay dos relaciones distintas que se confunden todo el tiempo: pertenecer (un elemento adentro) e incluir (un conjunto adentro de otro).
La explicación
Dos formas de escribir un conjunto
Por comprensión: con una propiedad A = {n ∈ ℕ : n ≤ 4}
Las dos describen el mismo conjunto. En un conjunto no importa el orden y no cuentan las repeticiones: {1, 2, 2, 3} y {3, 1, 2} son el mismo conjunto.
Los conjuntos numéricos
ℤ = {…, −1, 0, 1, …} los enteros
ℚ = las fracciones a/b los racionales
ℝ los reales
Cada uno está incluido en el siguiente: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ. El conjunto sin ningún elemento es el vacío, ∅.
Pertenecer no es lo mismo que incluir
B ⊆ A B es un conjunto y todos sus elementos están en A
{1} ⊆ A ✔ el conjunto {1} es un subconjunto
1 ⊆ A ✘ el 1 es un número, no un conjunto
{1} ∈ A ✘ los elementos de A son 1, 2 y 3, no {1}
Propiedades de la inclusión
A ⊆ A siempre
si C ⊆ B y B ⊆ A, entonces C ⊆ A
A = B ⟺ A ⊆ B y B ⊆ A
La última es la herramienta con la que se demuestra que dos conjuntos son iguales: se prueban las dos inclusiones por separado. Es el método estándar en toda la materia.
Sea A = {1, 2, {3}}. Decidir si son verdaderas: (a) 1 ∈ A, (b) 3 ∈ A, (c) {3} ∈ A, (d) {1, 2} ⊆ A, (e) {{3}} ⊆ A.
Lo primero: listar los elementos de A. Son tres: el número 1, el número 2, y el conjunto {3}. Ese tercer elemento es un conjunto, y eso es lo que hace interesante al ejercicio.
(b) 3 ∈ A F el 3 no está; lo que está es {3}
(c) {3} ∈ A V sí está, es el tercer elemento
(d) {1,2} ⊆ A V sus dos elementos, 1 y 2, están en A
(e) {{3}} ⊆ A V su único elemento es {3}, que está en A
El truco práctico. Para una afirmación con ⊆, sacale las llaves de afuera al conjunto de la izquierda y preguntate si cada cosa que queda está en A. Para {{3}} ⊆ A, sacando llaves queda {3}, y {3} sí está en A. Por eso es verdadera.
Control: si algo es verdadero con ∈ para un objeto x, entonces {x} ⊆ A también es verdadero — y al revés. Fijate que (c) y (e) forman exactamente ese par.
Dónde se cae la mayoría
- Escribir 2 ⊆ A cuando 2 es un elemento. A la izquierda de ⊆ tiene que haber un conjunto.
- Creer que ∅ y {∅} son lo mismo. El primero no tiene elementos; el segundo tiene uno, que es el vacío.
- Olvidar que ∅ ⊆ A siempre, incluso cuando A también es vacío.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 6 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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