Análisis Matemático (72) · Unidad 0 — Preliminares
Cuentas con fracciones, potencias y raíces
Una cuenta combinada se resuelve término por término, y casi todos los errores son hacer una operación que no corresponde: sumar lo que había que multiplicar, repartir una raíz o un cuadrado sobre una suma, o leer −3⁴ como si fuera (−3)⁴.
La explicación
Por qué la materia empieza por acá
En la 72 casi todo problema termina en una cuenta: un precio de equilibrio que sale como fracción, una elasticidad que es un cociente de cocientes, un monto que crece con una potencia. Si esa última cuenta no sale sola, se pierde el punto en el renglón final de un ejercicio que estaba bien planteado. Esta práctica no tiene teoría nueva: tiene las reglas que después se usan sin pensar.
Primero se separa en términos
Los signos + y − que no están adentro de ningún paréntesis cortan la cuenta en términos. Cada término se resuelve entero y recién al final se suman.
2. En cada término, resolvé los paréntesis de adentro hacia afuera.
3. Después las potencias y las raíces; después productos y divisiones, de izquierda a derecha.
4. Recién ahora sumá y restá los resultados de los términos.
Las cuatro operaciones con fracciones
(a/b)·(c/d) = (a·c)/(b·d)
(a/b) : (c/d) = (a/b)·(d/c)
Para sumar o restar hace falta el mismo denominador; conviene el mínimo común múltiplo, porque los números quedan chicos. Para dividir se multiplica por la recíproca del divisor (la segunda fracción dada vuelta).
Fracciones apiladas: cuál es la raya principal
Cuando una fracción tiene otra fracción arriba o abajo, la raya más larga es la división principal, y lo que queda arriba y abajo de ella se resuelve primero. Escrito en un renglón, los paréntesis dicen cuál es:
(2/5)/7 = (2/5)·(1/7) = 2/35
Son los mismos tres números y dan resultados que no se parecen. Si en el papel no se ve cuál raya es más larga, preguntá o ponelo con paréntesis: es de los errores que no se notan hasta que el resultado da absurdo.
La fracción de una fracción es un producto
«Las 2/5 partes de los 3/4 de la producción» es (2/5)·(3/4) = 6/20 = 3/10 de la producción. El cuidado aparece cuando se habla de lo que queda: si una fábrica vende 1/3 de un lote y después «las 3/4 partes de lo que quedó», la segunda venta no es 3/4 del lote sino 3/4 de los 2/3 que quedaban, o sea (3/4)·(2/3) = 1/2 del lote. La pregunta que te salva siempre es «¿fracción de qué?».
Potencias: el signo, el cero y los exponentes negativos
a⁰ = 1 (a ≠ 0)
a⁻ⁿ = 1/aⁿ · (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
Sin paréntesis, la potencia se come sólo al número: el menos queda afuera. El exponente negativo da vuelta la base y no le cambia el signo: (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9. El signo del resultado lo decide la base y la paridad del exponente: (−1/2)³ = −1/8, porque el exponente es impar.
Exponentes fraccionarios: raíces con otra ropa
Conviene sacar la raíz primero, porque los números quedan chicos: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Si además el exponente es negativo, primero se da vuelta: 81^(−3/4) = 1/(⁴√81)³ = 1/3³ = 1/27.
Juntar todo en una sola potencia de a
(aᵐ)ⁿ = a^(m·n) · 1/aⁿ = a^(−n)
ⁿ√a = a^(1/n)
2. Arriba y abajo por separado, los productos suman exponentes: a⁵·a⁻² = a³ y a·a^(1/2) = a^(3/2).
3. El cociente resta: a³/a^(3/2) = a^(3 − 3/2) = a^(3/2).
4. Una potencia afuera de todo multiplica el exponente que quedó.
Raíces: dónde se reparten y dónde no
√(a + b) ≠ √a + √b · (a + b)² ≠ a² + b²
√(a²) = |a|
La raíz se reparte sobre productos y cocientes: √(4·81) = 2·9 = 18. Sobre una suma, nunca: √(16 + 9) = √25 = 5, y no 4 + 3. Lo mismo el cuadrado: (2 + 5)² = 49, mientras que 2² + 5² = 29. Y la raíz cuadrada de un cuadrado devuelve el número sin signo: √((−9)²) = √81 = 9, que es |−9|. Esa igualdad, √(x²) = |x|, vuelve en los límites.
El control que conviene hacer siempre
Rehacé la cuenta en decimales con la calculadora del celular. Si los dos caminos no dan el mismo número, el error está casi siempre en el de las fracciones. Y estimá antes de escribir: si sumaste dos fracciones menores que 1 y te dio más de 2, o si «una parte de lo que quedó» te dio más que lo que quedaba, algo se hizo al revés.
Calcular (3/4 + 5/6) : (19/8) + (27/8)^(−2/3) − √(25/81).
Planteo: el + y el − que están afuera de los paréntesis separan tres términos. Se resuelve cada uno y se suman al final.
Primer término. Adentro del paréntesis, con denominador común 12:
Dividir por 19/8 es multiplicar por su recíproca:
Segundo término. El exponente negativo da vuelta la base; el 2/3 es «raíz cúbica y al cuadrado»:
= (∛(8/27))² = (2/3)² = 4/9
Tercer término. La raíz de un cociente es el cociente de las raíces:
Se juntan, con denominador 9:
Control en decimales: (0,75 + 0,833…) : 2,375 = 0,667; 3,375^(−2/3) = 0,444; √0,3086 = 0,556. Y 0,667 + 0,444 − 0,556 = 0,556, que es 5/9 ✔
Dónde se pierde el punto: multiplicar 19/12 por 19/8 en vez de dividir da 361/96, un número mayor que 3 que ya no deja llegar a nada razonable; y tomar (27/8)^(−2/3) como −4/9 le cambia el signo a un término que es positivo.
a) Calcular [(1/3 − 1/5)^(−1) − 7/2]^(3/2). b) Escribir como una sola potencia de a, con a > 0: (a³ · a^(−1/2))² / (a · a^(1/4))². c) Decidir si son verdaderas o falsas, para todos los números a y b positivos: √(a·b) = √a·√b ; √(a + b) = √a + √b ; (a + b)² = a² + b².
a) De adentro hacia afuera. Primero la resta, después la potencia −1, después la resta de afuera:
(2/15)⁻¹ = 15/2
15/2 − 7/2 = 8/2 = 4
El exponente 3/2 es «raíz cuadrada y al cubo»:
b) Arriba y abajo por separado. Adentro de cada paréntesis se suman los exponentes, y el cuadrado de afuera los multiplica por 2:
(a·a^(1/4))² = (a^(5/4))² = a^(5/2)
El cociente resta:
Control con a = 4: arriba (64·(1/2))² = 32² = 1024; abajo (4·√2)² = 32; 1024/32 = 32, y 4^(5/2) = (√4)⁵ = 32 ✔
c) Una sola cuenta alcanza para mostrar que algo es falso. √(a·b) = √a·√b es verdadera: la raíz se reparte en el producto. Las otras dos son falsas: con a = 9 y b = 16, √(9 + 16) = 5 y √9 + √16 = 7; con a = 2 y b = 3, (2 + 3)² = 25 y 2² + 3² = 13. En el cuadrado de una suma falta el término del medio, 2ab.
Dónde se pierde el punto: en a), aplicar el −1 como «cambiar el signo» (queda −2/15 y todo lo que sigue es negativo, con una raíz cuadrada que no existe); en b), sumar el −1/2 como si fuera +1/2.
Dónde se cae la mayoría
- Sumar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores: 1/2 + 1/3 no es 2/5, porque los pedazos son de distinto tamaño.
- Leer −3⁴ como (−3)⁴: sin paréntesis el exponente se aplica sólo al 3, y el menos queda afuera.
- Usar el exponente negativo para cambiar el signo: (3/4)⁻² es 16/9, positivo, y no −9/16.
- Repartir una raíz o un cuadrado sobre una suma: √(16 + 9) no es 4 + 3, y (2 + 5)² no es 4 + 25.
- Confundir cuál es la raya principal en una fracción apilada: 2/(5/7) y (2/5)/7 no valen lo mismo.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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