Análisis Matemático (72) del CBC, tema por tema

Análisis Matemático (72) es la de Ciencias Económicas: la cursan Contador Público, Administración, Economía, Actuario, Sistemas de Información de las Organizaciones, Economía y Administración Agrarias y la Tecnicatura en Gestión y Análisis de Datos. No es Análisis Matemático A (66), la de Ingeniería y Exactas: el cálculo es el mismo —límites, derivadas, integrales—, pero cada herramienta aparece con su lectura económica. La derivada del costo es el costo marginal, el cociente que mide cuánto cae la demanda cuando sube el precio es la elasticidad, y el área entre la demanda y el precio es lo que el consumidor se ahorra.

Abajo está el programa entero, en el orden de las prácticas: preliminares y números reales; funciones, con oferta, demanda, ingreso, costo y ganancia; límites y continuidad; derivadas, con marginales, elasticidad y optimización; la regla de L'Hôpital y el polinomio de Taylor; integrales, con los excedentes del consumidor y del productor, y sucesiones y series, con el interés simple y el compuesto. Cada tema tiene su página con la explicación completa, un ejemplo resuelto paso a paso y los errores típicos, y de ahí se pasa a practicar con corrección en cada paso.

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Todos los temas

Unidad 0 — Preliminares

0.1 Cuentas con fracciones, potencias y raícesUna cuenta combinada se resuelve término por término, y casi todos los errores son hacer una operación que no corresponde: sumar lo que había que multiplicar, repartir una raíz o…
0.2 Desarrollar, factorizar y resolver ecuacionesDesarrollar y factorizar son la misma igualdad leída en los dos sentidos. Y una ecuación con x en el denominador se resuelve en tres tiempos: primero los valores prohibidos…

Unidad 1 — Números reales

1.1 La recta real e intervalos: unión e intersecciónCada número real es un punto de la recta, y un intervalo es un pedazo de esa recta escrito en forma corta. Unir es quedarse con lo que está en alguno; intersecar, con lo que está…
1.2 Inecuaciones: lineales, con producto y con cocienteUna inecuación se resuelve como una ecuación hasta que aparece un número negativo multiplicando, que da vuelta el sentido. Con productos y cocientes se miran los signos: se pasa…
1.3 Valor absoluto: ecuaciones, inecuaciones y distancia|x − a| es la distancia entre x y a. Con esa lectura, |x − a| r los que están lejos (dos semirrectas). Cuando del otro lado hay una x, las candidatas se verifican.
1.4 Cotas, supremo e ínfimoUna cota superior es un número que ningún elemento del conjunto pasa, y el supremo es la más chica de todas. Puede pertenecer al conjunto (y entonces es el máximo) o no. Para…

Unidad 2 — Funciones

2.1 Funciones y gráficos: leer un gráfico, dominio e imagenUna función le asigna a cada x de su dominio un único valor f(x). Su gráfico se lee mirando las proyecciones: sobre el eje x está el dominio, sobre el eje y la imagen, y cada…
2.2 Función lineal: pendiente, la recta por datos, paralelas e intersecciónUna función lineal f(x) = mx + b sube (o baja) siempre lo mismo por cada unidad de x: ese cambio es la pendiente m, y b es la altura a la que corta el eje y. Con dos datos queda…
2.3 Oferta, demanda y equilibrio de mercadoEn esta materia la demanda y la oferta dan el PRECIO en función de la CANTIDAD: p = D(q) y p = O(q). La demanda baja (cuanto más caro, menos se compra) y la oferta sube (cuanto…
2.4 Función cuadrática: vértice, signo, imagen y la cuadrática por datosEl gráfico de f(x) = ax² + bx + c es una parábola: abre para arriba si a > 0 y para abajo si a < 0. Todo sale del vértice (el máximo o el mínimo, donde cambia el crecimiento) y de…
2.5 Polinomios y homográficas: gráficos corridos, dominio, imagen y asíntotasMuchos gráficos son uno básico corrido y estirado: a(x − h)ⁿ + k es xⁿ movido h a la derecha y k para arriba. Una homográfica (ax + b)/(cx + d) es la hipérbola 1/x corrida: no…
2.6 Ingreso, costo y ganancia; el equilibrio con curvas que no son rectasEl ingreso total es precio por cantidad, I(q) = q·D(q), y la ganancia es lo que queda después de pagar los costos, G(q) = I(q) − C(q). Con una demanda lineal las dos son parábolas…
2.7 Seno y coseno: corrimientos y dilatacionessen x y cos x son ondas que se repiten cada 2π y van de −1 a 1. En a·sen(bx + c) + d cada número hace una sola cosa: a cambia la altura de la onda, b cuántas veces se repite, c la…
2.8 Composición de funciones y su dominioComponer es encadenar: en f∘g(x) = f(g(x)) primero se aplica g y a lo que sale se le aplica f. El orden importa, y el dominio de la composición son los x que pueden entrar a g y…
2.9 Exponenciales y logaritmos: gráficos, dominio, ceros y signoeˣ es siempre positiva y crece; ln x sólo existe para x > 0 y es la que deshace a eˣ. Corridas, cada una tiene una asíntota (horizontal la exponencial, vertical el logaritmo), y…
2.10 Función inversa: también de la demanda y la ofertaLa inversa f⁻¹ deshace lo que hace f: si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a. Existe cuando f no repite valores, se calcula despejando x, su dominio es la imagen de f y su gráfico es el…
2.11 Funciones definidas por partesUna función partida usa una fórmula distinta en cada tramo de x. Para evaluarla, primero se mira en qué tramo cae el número; para buscar ceros o el signo, se trabaja tramo por…

Unidad 3 — Límite y continuidad

3.1 Límites en el infinito: leer gráficos y cocientes de polinomiosCuando x se aleja, manda el término de mayor grado: en un polinomio decide hacia qué infinito se va, y en un cociente la comparación de los grados dice si el límite es 0, un…
3.2 Más límites en el infinito: raíces, exponenciales y «acotada por cero»Con raíces, se saca factor común adentro y se recuerda que √(x²) = |x|, que en −∞ es −x; si quedan dos raíces restándose, se multiplica por el conjugado. Con eˣ, en +∞ se divide…
3.3 Límites en un punto y laterales: 0/0 con factoreo y conjugadoA un punto se llega por la izquierda y por la derecha, y el límite existe sólo si los dos laterales coinciden. Un número sobre algo que tiende a 0 se dispara, con el signo de cada…
3.4 Asíntotas verticales y horizontalesLas verticales se buscan en el borde del dominio: x = a es asíntota si algún lateral en a da infinito, y un 0/0 que se simplifica es un hueco, no una asíntota. Las horizontales…
3.5 El número e: límites de la forma 1^∞Una base que tiende a 1 elevada a un exponente que se dispara no da 1: es la indeterminación 1^∞, y se resuelve con una sola fórmula. Si la base es 1 + u con u → 0 y el exponente…
3.6 Continuidad y tipos de discontinuidad; el parámetro que la hace continuaf es continua en a si f(a) existe, el límite en a existe y los dos coinciden. Si el límite existe pero no coincide (o f(a) falta), la discontinuidad es evitable; si el límite no…
3.7 Bolzano: ceros y conjuntos de positividad y negatividadUna función continua no puede pasar de negativa a positiva sin tocar el cero. Por eso, entre dos ceros consecutivos (y entre los puntos donde deja de estar definida) su signo no…

Unidad 4 — Derivadas

4.1 La derivada por definiciónLa derivada en x₀ es el límite del cociente incremental: la pendiente de la secante cuando el segundo punto se pega al primero. Es la pendiente de la recta tangente y, en…
4.2 Reglas de derivación y regla de la cadenaLa definición se hace una vez por cada función básica y queda una tabla; con ella y cuatro reglas (suma, producto, cociente y cadena) se deriva cualquier fórmula. La cadena es la…
4.3 Derivada logarítmica: f(x)^g(x)Cuando la variable está a la vez en la base y en el exponente, no sirve ni la regla de la potencia ni la de la exponencial. Se reescribe f^g = e^(g·ln f) —o se toma logaritmo a…
4.4 Recta tangente: ecuación y condicionesLa recta tangente en x₀ pasa por (x₀, f(x₀)) con pendiente f′(x₀): y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Casi todos los ejercicios son esa fórmula leída al revés: te dan la pendiente, una…
4.5 Funciones marginalesEn Economía, «marginal» quiere decir «lo que pasa con una unidad más». Como la tangente casi no se separa de la curva, la derivada C′(x₀) es casi exactamente lo que cuesta…
4.6 Elasticidad de la demandaLa elasticidad η = |D(x)/(x·D′(x))| dice cuánto cambia, en porcentaje, la cantidad demandada cuando el precio cambia un 1 %. Si η > 1 la demanda es elástica (la gente reacciona…
4.7 Crecimiento, decrecimiento y extremos localesDonde f′ es positiva, f crece; donde es negativa, decrece. Los candidatos a máximo o mínimo son los puntos críticos —donde f′ se anula o no existe—, y cada uno se decide mirando…
4.8 Ingreso y ganancia máximosPara maximizar el ingreso se deriva I(x) = x·D(x); para maximizar la ganancia, G(x) = I(x) − C(x). Se busca el crítico en el dominio económico, se confirma que es un máximo, y se…
4.9 Estudio completo de funciones y extremos absolutosEstudiar una función es juntar todo en orden: dominio, asíntotas, derivada, crecimiento y extremos. Con eso se dibuja un gráfico aproximado, y del gráfico sale la imagen. En un…
4.10 Concavidad y puntos de inflexiónEl signo de f″ dice hacia dónde se curva el gráfico: si f″ > 0 es cóncavo hacia arriba (como una taza), si f″ < 0, hacia abajo. Un punto de inflexión es un punto del gráfico donde…

Unidad 5 — Regla de L'Hôpital. Polinomio de Taylor

5.1 La regla de L'HôpitalSi un cociente da 0/0 o ∞/∞, su límite es el del cociente de las derivadas de arriba y de abajo, derivadas por separado. Antes de cada aplicación hay que verificar que sigue…
5.2 L'Hôpital con parámetros y en las asíntotasCon L'Hôpital las asíntotas de funciones con logaritmos, exponenciales y senos se buscan igual que antes: un 0/0 que da un número es un hueco, no una asíntota, y en el infinito la…
5.3 Funciones partidas: continuidad y derivada por definiciónEn el punto de corte de una partida no se puede derivar con las reglas: la fórmula que vale en el punto no es la de alrededor. Se usa la definición, f′(a) = lím (f(a + h) −…
5.4 Polinomio de Taylor y aproximaciónEl polinomio de Taylor de orden n en x₀ es el polinomio que, en x₀, tiene el mismo valor que f y las mismas n primeras derivadas. El de orden 1 es la recta tangente; cada orden…

Unidad 6 — Integrales

6.1 Primitivas e integrales inmediatasIntegrar es hacer la derivada al revés: dada f, buscar una F con F′ = f. Hay infinitas, porque sumar una constante no cambia la derivada, y un dato del tipo F(x₀) = y₀ elige una…
6.2 Método de sustituciónCuando el integrando trae una función de adentro y, multiplicando, la derivada de esa función de adentro, se la llama u: todo el integrando se convierte en una integral de la…
6.3 Integración por partesPara integrar un producto de dos funciones de distinta clase, se deriva una (u) y se integra la otra (dv): ∫u dv = u·v − ∫v du. La elección está bien si la integral que queda es…
6.4 La función a partir de su marginalSi se conoce el marginal (C′, I′, D′, G′), la función total es una primitiva suya. La constante no se inventa: la da un dato económico, como el costo fijo, que el ingreso es 0…
6.5 Integral definida: regla de Barrow y propiedadesLa integral definida de f entre a y b es el área con signo bajo su gráfico, y se calcula con cualquier primitiva: F(b) − F(a). Se puede partir por intervalos y por sumandos, y los…
6.6 Área entre curvasEl área entre dos gráficos es la integral de la de arriba menos la de abajo, entre los puntos de corte. Cuando las curvas se cruzan adentro del intervalo, se parte en el cruce…
6.7 Excedente del consumidor y del productorEn el equilibrio todos pagan el mismo precio p₀, pero muchos habrían pagado más y muchos productores habrían vendido por menos. Esas ganancias se miden con áreas: EC entre la…
6.8 Integrales impropiasUna integral hasta +∞ se calcula hasta un b cualquiera y después se hace tender b a +∞. Si ese límite es un número, la integral converge y vale eso; si no, diverge. Un área…

Unidad 7 — Sucesiones y series

7.1 Sucesiones y progresiones aritméticas; interés simpleUna sucesión es una lista ordenada de números, a₁, a₂, a₃…, y casi siempre se la puede escribir con una fórmula. Cuando cada término le suma lo mismo al anterior es una progresión…
7.2 Progresiones geométricas e interés compuestoEn una progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por la misma razón r: aₙ = a₁·r^(n−1). Es la forma de todo lo que crece un porcentaje por período —un plazo…
7.3 Series geométricas: convergencia y sumaUna serie geométrica suma infinitos términos que se multiplican siempre por la misma razón r. Converge si y sólo si |r| < 1, y entonces su suma es el primer término dividido por 1…
7.4 Series geométricas con un parámetroCuando la razón depende de un parámetro, la serie converge para los valores que cumplen |r| < 1: es una inecuación con módulo. Y si se pide que la suma dé un número, se plantea la…

Parciales modelo, resueltos

Están escritos por nosotros con el temario y el formato de los que se toman. Los podés leer resueltos, o rendirlos sin corrección hasta entregarlos, como el de verdad.

Primer parcial resuelto paso a paso6 ejercicios · 30 preguntas · 120 minutos · se aprueba con 60
Segundo parcial resuelto paso a paso6 ejercicios · 30 preguntas · 120 minutos · se aprueba con 60

Los parciales resueltos de todas las materias