Análisis Matemático (72) · Unidad 6 — Integrales
Primitivas e integrales inmediatas
Integrar es hacer la derivada al revés: dada f, buscar una F con F′ = f. Hay infinitas, porque sumar una constante no cambia la derivada, y un dato del tipo F(x₀) = y₀ elige una sola.
La explicación
El camino de vuelta
En la unidad 4 aprendiste a pasar de una función a su derivada: del costo al costo marginal, del ingreso al ingreso marginal. En Económicas pasa muy seguido lo contrario: lo que se conoce es el marginal (cuánto cuesta producir una unidad más, cuánto entra por vender una más) y se quiere la función total. Para eso hace falta derivar al revés, y eso se llama buscar una primitiva.
Por ejemplo, x³ es primitiva de 3x², porque (x³)′ = 3x². Y también lo es x³ + 10, y x³ − 7: la derivada de una constante es 0.
La constante: por qué las primitivas son infinitas
Si F es primitiva de f, todas las primitivas de f son F + C, con C un número cualquiera. Dos primitivas de la misma función difieren en una constante: su diferencia tiene derivada 0 en todo un intervalo, y una función con derivada 0 no cambia. A esa familia entera se la llama integral indefinida:
Gráficamente, todas las primitivas son la misma curva corrida para arriba o para abajo: en cada x tienen la misma pendiente, que es f(x). Es lo que muestra el dibujo, con un costo marginal: las rayitas marcan la pendiente que tiene que tener la curva en cada x, y cada curva que las sigue es un costo posible. Lo que elige una sola es un dato: con cuánto arranca, que es el costo fijo. Lo vas a usar en serio en el tema 6.4.
La tabla, dada vuelta
Cada regla de derivación leída al revés da una primitiva:
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ ex dx = ex + C
∫ sen(x) dx = −cos(x) + C
∫ cos(x) dx = sen(x) + C
∫ k dx = k·x + C
La regla de la potencia vale para cualquier exponente salvo −1: enteros, negativos y fraccionarios. Con n = −1 quedaría dividido por cero, y ése es justo el caso de 1/x, que se integra con el logaritmo (el módulo está porque 1/x también existe para x negativo). Fijate además que el menos de la tabla está en el seno: derivando, cos pasa a −sen; integrando, sen pasa a −cos.
Todo como potencia, antes de integrar
Una raíz o un denominador se reescriben como potencia de x antes de aplicar la tabla:
1/x³ = x−3 · 1/√x = x−1/2
Después, subir el exponente en uno y dividir por el exponente nuevo. Dividir por una fracción es multiplicar por la dada vuelta: ∫x1/2 dx = x3/2/(3/2) = (2/3)x3/2. Y en un negativo, «subir» es acercarse a cero: x−3 pasa a x−2, no a x−4.
Linealidad: la suma se parte, el producto no
Una suma se integra término por término y los números que multiplican salen afuera. Un producto o un cociente, en cambio, no se integran factor por factor: ∫x·√x dx no es ∫x dx · ∫√x dx. Si son potencias, primero se distribuye o se reparte el denominador, y se integra la suma que queda. Si no se puede, hacen falta los métodos de 6.2 y 6.3.
2. Escribí cada término como k·xn, o reconocelo en la tabla (eˣ, 1/x, sen, cos).
3. Integrá término por término, con los números afuera.
4. Sumá una sola C al final.
5. Si hay un dato F(x₀) = y₀, reemplazá x₀ en tu resultado, igualá a y₀ y despejá C.
La primitiva que cumple un dato
El dato se usa al final, con la C ya puesta. Ojo con lo que no se anula al reemplazar: e⁰ = 1, cos(0) = 1, ln(1) = 0, cos(π) = −1. Y la constante no es el dato: si F(1) = 4, C vale 4 menos lo que aporta el resto de la fórmula en x = 1.
El control que conviene hacer siempre
Derivá tu resultado. Si volvés exactamente al integrando, está bien, porque eso es lo que significa ser primitiva. Y si había un dato, reemplazá y fijate que se cumpla. Son dos controles distintos: derivar controla la integración; reemplazar controla la C.
Calcular ∫ (6x^5 − 8/x^3 + 5∛x + 3e^x) dx.
Planteo: es una suma de cuatro términos, así que se integra cada uno por separado. Antes, paso a potencias los que no lo son:
Término por término:
∫−8x−3 dx = −8·x−2/(−2) = 4x−2
∫5x1/3 dx = 5·x4/3/(4/3) = (15/4)x4/3
∫3eˣ dx = 3eˣ
En el segundo, el exponente sube de −3 a −2 (se acerca a cero) y se divide por ese −2: menos por menos, queda positivo. En el tercero, dividir por 4/3 es multiplicar por 3/4.
Control (derivar): (x⁶)′ = 6x⁵; (4x−2)′ = −8x−3; ((15/4)x4/3)′ = (15/4)(4/3)x1/3 = 5∛x; (3eˣ)′ = 3eˣ. Vuelve el integrando entero ✔
Dónde se pierde el punto: bajar el exponente de −3 a −4, y el signo del segundo término.
Hallar F sabiendo que F′(x) = (2x + 1)^2/x para x > 0 y que F(1) = 9. Calcular F(e).
Planteo: es un cociente, y no hay regla para integrar un cociente «de arriba y de abajo». Pero el numerador es un cuadrado que se puede desarrollar, y después se reparte el denominador:
Integro término por término:
El 1/x se integra con el logaritmo (es el caso n = −1). Como x > 0, ln|x| = ln(x).
El dato: en x = 1 el logaritmo vale 0.
Control: F′(x) = 4x + 4 + 1/x, que es (2x + 1)²/x ✔; y F(1) = 2 + 4 + 0 + 3 = 9 ✔.
Dónde se pierde el punto: integrar el numerador y el denominador por separado, y tomar C = 9 sin restar lo que aportan los otros términos.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidarse la C y, cuando dan un dato, no tener qué despejar.
- Tomar la C igual al dato: si F(1) = 4, C es 4 menos lo que vale el resto de F en x = 1.
- Integrar un producto multiplicando las primitivas de cada factor, en vez de distribuir primero.
- Usar x^(n+1)/(n+1) con n = −1, o bajar el exponente de un negativo (x^(−3) pasa a x^(−2), no a x^(−4)).
- Poner ∫ sen(x) dx = cos(x): la primitiva del seno lleva el menos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Primitivas e integrales inmediatas →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — De un ingreso marginal a los excedentes15 puntos · resuelto paso a paso
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