Análisis Matemático (72) · Unidad 5 — Regla de L'Hôpital. Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor y aproximación
El polinomio de Taylor de orden n en x₀ es el polinomio que, en x₀, tiene el mismo valor que f y las mismas n primeras derivadas. El de orden 1 es la recta tangente; cada orden más copia una derivada más, y cerca de x₀ se pega más a f. Por eso sirve para calcular valores aproximados sin calculadora.
La explicación
La idea: copiar a f en un punto
Cerca de x₀, una función derivable se parece a su recta tangente. La tangente copia dos datos: el valor f(x₀) y la pendiente f′(x₀). Si además se copia la curvatura (f″), el parecido mejora; y así sucesivamente. El polinomio que copia hasta la derivada n-ésima es el polinomio de Taylor de orden n de f en x₀:
+ f″(x₀)/2 ·(x − x₀)²
+ f‴(x₀)/6 ·(x − x₀)³
Los números de abajo son los factoriales: 2! = 2, 3! = 3·2 = 6. Con orden 1 queda la recta tangente, y con orden 2 una parábola que además se curva como f.
El procedimiento
2. Evaluá cada derivada en x₀ (una tablita: f(x₀), f′(x₀), f″(x₀), f‴(x₀)).
3. Dividí la k-ésima por k! y multiplicala por (x − x₀)k.
4. Dejalo escrito en potencias de (x − x₀): no hace falta desarrollar.
Para ln x en x₀ = 1: f(1) = 0, f′ = 1/x → 1, f″ = −1/x² → −1, f‴ = 2/x³ → 2. Queda
Los que conviene tener a mano (en x₀ = 0)
ln(1 + x) ≈ x − x²/2 + x³/3
1/(1 + x) ≈ 1 − x + x² − x³
sen x ≈ x − x³/6 cos x ≈ 1 − x²/2
Sirven de atajo. Si adentro hay 2x en vez de x, se reemplaza: e2x ≈ 1 + 2x + 2x² + (4/3)x³. Si hay un producto, se multiplican los polinomios y se cortan los términos de grado mayor que el pedido: (x + 2)·ln(1 + x) ≈ (x + 2)(x − x²/2 + x³/3) = 2x + x³/6 + … (el x² se cancela). Igual conviene saber hacerlo con derivadas, que es lo que se pide cuando x₀ no es 0.
Aproximar un valor
Para calcular f(x₁) sin calculadora, se elige un x₀ cercano a x₁ donde f sea fácil de evaluar, y se calcula P(x₁). Para ∛8,6 se usa f(x) = ∛x en x₀ = 8, porque ∛8 = 2. Con orden 3 sale 2,04880, y el valor real es 2,048800: coinciden cinco decimales. Cuanto más cerca esté x₁ de x₀, y cuanto más alto el orden, mejor la aproximación. Lejos de x₀ el polinomio se despega de f, y ninguna aproximación de orden bajo sirve.
En economía: el valor actual
$ 1000 que se cobran dentro de un año, con una tasa x por año, valen hoy V(x) = 1000/(1 + x). Con el Taylor de 1/(1 + x) en 0:
Con x = 0,05, P₃ da 952,375 y el valor exacto es 952,381. Para tasas chicas, el primer término ya dice casi todo: «descontar al 5 % es restar un 5 %, más un poquito».
Parámetros: igualar coeficientes
Si dicen que P(x) = 2 + 6x + 9x² es el Taylor de orden 2 en 0 de f(x) = a·ebx, se calcula el Taylor de f con a y b adentro —a + ab·x + (ab²/2)x²— y se igualan los coeficientes término a término: a = 2, ab = 6 (b = 3), y se comprueba el tercero: 2·9/2 = 9 ✔. Cada coeficiente es una ecuación.
El control que conviene hacer siempre
Dos chequeos rápidos: P(x₀) tiene que dar f(x₀), y el coeficiente de (x − x₀) tiene que ser la pendiente de f en x₀. Y si aproximaste un valor, compará con la calculadora: el error tiene que ser chico y achicarse al subir el orden.
Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de f(x) = (x + 1)·e^(x − 1) en x₀ = 1. Con el de orden 3, calcular un valor aproximado de f(1,1).
Las derivadas (regla del producto, y la derivada de ex − 1 es ella misma):
f′ = (x + 2)ex − 1 → f′(1) = 3
f″ = (x + 3)ex − 1 → f″(1) = 4
f‴ = (x + 4)ex − 1 → f‴(1) = 5
Orden 2:
(el 2 del final es f″(1)/2 = 4/2). Orden 3: se suma f‴(1)/6·(x − 1)³ = (5/6)(x − 1)³.
La aproximación, con x − 1 = 0,1:
≈ 2,32083
El valor exacto es 2,1·e0,1 ≈ 2,32086: el error es de tres cienmilésimos.
Control: P₂(1) = 2 = f(1) ✔ y el coeficiente de (x − 1) es 3 = f′(1) ✔
Dónde se pierde el punto: poner 4(x − 1)² sin dividir por 2, o evaluar las derivadas en 0 porque «Taylor es en 0».
a) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 de f(x) = ∛x en x₀ = 8. b) Usarlo para aproximar ∛8,6 y comparar con los órdenes 1 y 2. c) Hallar a y b para que P(x) = 2 + 6x + 9x² sea el Taylor de orden 2 de g(x) = a·e^(bx) en x₀ = 0.
a) Las derivadas de x1/3 en 8 (∛8 = 2, 82/3 = 4, 85/3 = 32, 88/3 = 256):
f′ = (1/3)x−2/3 → 1/12
f″ = −(2/9)x−5/3 → −1/144
f‴ = (10/27)x−8/3 → 5/3456
+ 5(x − 8)³/20 736
(−1/144 dividido 2 da −1/288, y 5/3456 dividido 6 da 5/20 736.)
b) Con x − 8 = 0,6: orden 1: 2 + 0,05 = 2,05. Orden 2: 2,05 − 0,00125 = 2,04875. Orden 3: 2,04875 + 0,0000521 ≈ 2,048802. El valor real es ∛8,6 ≈ 2,048800: cada orden gana una o dos cifras.
c) Igualar coeficientes. g(0) = a, g′(0) = ab, g″(0) = ab²:
ab²/2 = 2·9/2 = 9 ✔
a = 2, b = 3, y el tercer coeficiente confirma.
Dónde se pierde el punto: en a), olvidar los factoriales; en c), igualar ab² a 9 sin el /2 y dar b = 3/√2.
Dónde se cae la mayoría
- Olvidarse de dividir por el factorial: el término de (x − x₀)² lleva f″(x₀)/2, y el de (x − x₀)³, f‴(x₀)/6.
- Evaluar las derivadas en 0 cuando el punto es otro x₀, o escribir potencias de x en vez de potencias de (x − x₀).
- Aproximar con un x₀ lejos del valor pedido: el polinomio sólo se parece a f cerca de x₀.
- En un producto, multiplicar los polinomios y dejar términos de grado mayor que el orden pedido.
- Al reemplazar 2x en un desarrollo conocido, elevar sólo la x y no el 2: (2x)² = 4x².
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Polinomio de Taylor y aproximación →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un límite con parámetro que termina en Taylor15 puntos · resuelto paso a paso
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