Análisis Matemático (72) · Unidad 5 — Regla de L'Hôpital. Polinomio de Taylor
Funciones partidas: continuidad y derivada por definición
En el punto de corte de una partida no se puede derivar con las reglas: la fórmula que vale en el punto no es la de alrededor. Se usa la definición, f′(a) = lím (f(a + h) − f(a))/h, y ese cociente suele ser otro 0/0 que se resuelve con L'Hôpital. Antes que nada, la continuidad: si f no es continua en a, no es derivable.
La explicación
El problema del punto de corte
En f(x) = ln(1 + 2x)/x si x ≠ 0 ; a si x = 0, cada fórmula por separado es derivable, pero en x = 0 la función está definida «a mano». Para saber si ahí es continua o derivable no alcanza con derivar la fórmula de arriba: hay que ir a las definiciones.
Primero, la continuidad
El límite de la fórmula de alrededor suele ser un 0/0 con ln, exponenciales o senos, y ahí entra L'Hôpital:
= lím (2/(1 + 2x))/1 = 2
Para que f sea continua en 0, tiene que ser a = 2. Si el valor fuera otro, f no sería continua, y entonces tampoco derivable: en el cociente incremental, arriba quedaría f(h) − f(0) → 2 − a ≠ 0, sobre h → 0, y se dispararía. Por eso la continuidad se chequea antes que la derivada.
La derivada por definición
En el punto de corte, f(a) sale del renglón «si x = a» y f(a + h) de la fórmula de alrededor (porque a + h ≠ a). Con el ejemplo, ya con a = 2:
= (ln(1 + 2h) − 2h)/h²
Es 0/0 en h = 0: se aplica L'Hôpital, derivando respecto de h.
(−4/(1 + 2h)²)/2 → −2
Así que f′(0) = −2. El cociente incremental de una partida casi siempre es un 0/0: por eso este tema vive en la unidad de L'Hôpital.
1. Continuidad en a: el límite de la fórmula de alrededor (factoreo o L'Hôpital) tiene que ser igual a f(a). Si hay un parámetro, sale de acá.
2. Cociente incremental: f(a + h) con la fórmula de alrededor, f(a) con el valor del punto. Juntá en una sola fracción.
3. Es 0/0 en h: L'Hôpital (en h), las veces que haga falta.
4. El número que queda es f′(a).
Dos fórmulas distintas a cada lado
Si la partida es g(x) = ex − 1 si x ≤ 1 ; x² − x + 1 si x > 1, hay que mirar los dos lados por separado. g(1) = e⁰ = 1, y la derecha también llega a 1: es continua. Las derivadas laterales, cada una con su fórmula:
der: ((1 + h)² − (1 + h) + 1 − 1)/h = h + 1 → 1
Coinciden: g es derivable en 1 y g′(1) = 1. Si hubieran dado distinto, g tendría un quiebre (una punta) en x = 1: continua pero no derivable.
En economía el quiebre tiene sentido propio: un costo por tramos C(x) = 50x si x ≤ 100 ; 40x + 1000 si x > 100 es continuo (en 100 los dos dan 5000), pero el costo de una unidad más pasa de golpe de $ 50 a $ 40. La función no es derivable en 100: el costo marginal salta.
El parámetro para un f′(0) dado
Si la fórmula tiene un k y piden f′(0) = 16, se hace el cociente incremental con k adentro, L'Hôpital con k adentro, y se iguala el resultado (que depende de k) a 16. Si piden k > 0, de las soluciones de la ecuación se descarta la negativa.
El control que conviene hacer siempre
Calculá el cociente incremental con h = 0,001: (f(0,001) − f(0))/0,001. En el ejemplo, (ln(1,002)/0,001 − 2)/0,001 ≈ −1,997, cerca de −2. Si te hubiera dado cerca de 2, derivaste la fórmula entera en vez de usar la definición.
Sea f(x) = ln(1 + 2x)/x si x ≠ 0 ; a si x = 0 (definida para x > −1/2). a) Hallar a para que f sea continua en 0. b) Con ese a, calcular f′(0) por definición.
a) Continuidad. El límite de la fórmula es 0/0:
Tiene que ser a = 2.
b) El cociente incremental. f(0 + h) = ln(1 + 2h)/h (porque h ≠ 0) y f(0) = 2:
En h = 0 es 0/0. L'Hôpital en h:
(−4/(1 + 2h)²)/2 → −2
f′(0) = −2. (La primera aplicación se puede simplificar: 2/(1 + 2h) − 2 = −4h/(1 + 2h), y dividido por 2h da −2/(1 + 2h) → −2. Mismo resultado, sin segunda derivada.)
Control: con h = 0,001, (ln(1,002)/0,001 − 2)/0,001 ≈ −1,997 ✔
Dónde se pierde el punto: en b), derivar ln(1 + 2x)/x con la regla del cociente y reemplazar x = 0 (queda 0/0 y no se puede), o usar f(0) = 0 en vez de f(0) = 2.
a) Sea f(x) = (ln(1 + kx) − kx)/x si x ≠ 0 ; 0 si x = 0, con k > 0. Hallar k para que f′(0) = −8. b) Decidir si g(x) = e^(x − 1) si x ≤ 1 ; x² − x + 1 si x > 1 es derivable en x = 1.
a) Primero la continuidad (para cualquier k): lím (ln(1 + kx) − kx)/x es 0/0, y L'H da k/(1 + kx) − k → 0 = f(0) ✔.
El cociente incremental con k adentro:
L'H: (k/(1 + kh) − k)/(2h) = −k²/(2(1 + kh)) → −k²/2
−k²/2 = −8 ⟹ k² = 16 ⟹ k = 4 o k = −4. Como piden k > 0: k = 4.
b) Continuidad: g(1) = e⁰ = 1 y límx→1⁺ (x² − x + 1) = 1 ✔. Derivadas laterales:
der: (h² + h)/h = h + 1 → 1
Iguales: g es derivable en 1, con g′(1) = 1.
Dónde se pierde el punto: en a), quedarse con k = −4 o no ver que k² = 16 tiene dos soluciones; en b), usar para la derecha g(1) = 1² − 1 + 1 sin chequear que coincide con el valor de la izquierda.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar la fórmula de alrededor y evaluarla en el punto: en el corte, f(a) es otro valor, y hay que usar la definición.
- Usar la fórmula de alrededor también para f(a): el valor en el punto sale del renglón «si x = a».
- Buscar la derivada sin haber chequeado la continuidad: si f no es continua en a, no es derivable.
- En el cociente incremental, aplicar L'Hôpital derivando respecto de x cuando la variable es h.
- Con dos fórmulas, calcular un solo lateral: si las derivadas laterales no coinciden, hay un quiebre y no es derivable.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Funciones partidas: continuidad y derivada por definición →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un límite con parámetro que termina en Taylor15 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 5
Regla de L'Hôpital. Polinomio de Taylor