Análisis Matemático (72) · Unidad 5 — Regla de L'Hôpital. Polinomio de Taylor
La regla de L'Hôpital
Si un cociente da 0/0 o ∞/∞, su límite es el del cociente de las derivadas de arriba y de abajo, derivadas por separado. Antes de cada aplicación hay que verificar que sigue siendo indeterminado; y si el cociente de las derivadas no tiene límite, la regla no dice nada y hay que ir por otro lado.
La explicación
La regla
y lím f′/g′ existe (o es ±∞),
entonces lím f/g = lím f′/g′
Vale en un punto, en un lateral y en ±∞. Se deriva arriba por un lado y abajo por el otro: no es la derivada del cociente. Es el error más repetido del tema, y hace que la cuenta se vuelva un monstruo y dé cualquier cosa.
Por qué funciona
Si f(x₀) = g(x₀) = 0, cerca de x₀ cada una se parece a su recta tangente: f(x) ≈ f′(x₀)(x − x₀) y g(x) ≈ g′(x₀)(x − x₀). El cociente de las alturas se vuelve el cociente de las pendientes, porque el (x − x₀) se cancela. Mirado con lupa, un 0/0 es una comparación de velocidades: quién de los dos llega a 0 más rápido.
Verificar antes de cada aplicación
La regla sólo se puede usar si el cociente es 0/0 o ∞/∞. Aplicada donde no hay indeterminación, da cualquier cosa:
derivando (mal): (2x + 1)/(2x) → 3/2
Por eso, cada vez que se deriva, se vuelve a reemplazar. Si da 0/0 otra vez, se aplica de nuevo; si da un número, se terminó.
Dos y tres veces
En límx→1 (x ln x − x + 1)/(x − 1)²:
2ª: (1/x)/2 → 1/2
Entre una aplicación y otra conviene simplificar: sacar afuera los factores que tienden a un número distinto de 0, cancelar lo que se pueda. Cada derivada nueva sale más corta.
En el infinito: quién crece más rápido
Con ∞/∞ la regla ordena las funciones por velocidad. Aplicándola las veces que haga falta:
x³/ex/2 → … → 48/ex/2 → 0
La jerarquía, en +∞: ln x ≪ xp ≪ eˣ. Cualquier potencia le gana a cualquier potencia del logaritmo, y la exponencial le gana a cualquier potencia. Es lo que se usó sin probar en la unidad 3.
Otras indeterminaciones: 0·∞
Un producto x²·eˣ en −∞ es ∞·0. Se escribe como cociente para que quede ∞/∞ y ahí sí se aplica:
Cuándo la regla no sirve
La regla dice «si lím f′/g′ existe». Si no existe, no dice nada: no quiere decir que el límite original no exista. En (2x − cos x)/(x + 4) cuando x → +∞ (∞/∞):
No tiene límite, pero dividiendo por x el original sale solo: (2 − cos(x)/x)/(1 + 4/x) → 2, porque cos(x)/x → 0.
Y a veces la regla no hace falta: si en −∞ queda eˣ/(x² + 3), es 0/∞ y el límite es 0 sin derivar nada. Aplicarla ahí es aplicarla sin indeterminación.
1. Reemplazá: ¿es 0/0 o ∞/∞? Si es 0·∞, pasalo a cociente.
2. Derivá arriba y abajo por separado.
3. Simplificá lo que puedas y volvé a reemplazar.
4. Si sigue indeterminado, repetí; si da un número (o ±∞), ése es el límite.
5. Si el cociente de derivadas oscila, dejá la regla y dividí por la potencia más alta.
El control que conviene hacer siempre
Evaluá el cociente original muy cerca: con x = 1,001 en el primer ejemplo sale ≈ 0,4998, cerca de 1/2. Si derivaste el cociente entero en vez de arriba y abajo, el control lo muestra enseguida.
Calcular: a) lím x→1 (x ln x − x + 1)/(x − 1)²; b) lím x→+∞ (ln x)²/x; c) lím x→+∞ (2x − cos x)/(x + 4).
a) 0/0, dos veces. En x = 1: 0 − 1 + 1 = 0 arriba y 0 abajo.
(1/x)/2 → 1/2
Control: en x = 1,001, (1,001·0,0009995 − 0,001)/0,000001 ≈ 0,4998 ✔
b) ∞/∞, dos veces.
(2/x)/1 → 0
El logaritmo, aunque esté al cuadrado, crece más despacio que x.
c) ∞/∞, pero la regla no sirve. Derivando: (2 + sen x)/1, que oscila entre 1 y 3 y no tiene límite. Eso no dice nada del original. Dividiendo por x:
porque cos(x)/x → 0 (acotada por cero).
Dónde se pierde el punto: en a), derivar una vez y reemplazar sin ver que sigue 0/0; en c), contestar «no existe» porque el cociente de las derivadas oscila.
Calcular: a) lím x→−∞ x²·eˣ; b) lím x→+∞ (x³ + 2)/e^(x/2); c) lím x→1 (x³ − x² − x + 1)/(x³ − 3x + 2).
a) 0·∞: pasar a cociente. x²eˣ = x²/e−x, y en −∞ es ∞/∞.
2/e−x → 2/(+∞) = 0
b) Tres veces ∞/∞. Cada derivada baja un grado arriba y deja ex/2 abajo (multiplicada por 1/2):
→ 6/((1/8)ex/2) = 48/ex/2 → 0
c) Raíz doble: dos veces 0/0.
2ª: (6x − 2)/(6x) → 4/6 = 2/3
Control por factoreo: arriba (x − 1)²(x + 1), abajo (x − 1)²(x + 2); el cociente es (x + 1)/(x + 2) → 2/3 ✔
Dónde se pierde el punto: en a), aplicar la regla al producto tal cual; en c), parar después de la primera derivada y reemplazar el 0/0.
Dónde se cae la mayoría
- Derivar el cociente con la regla de la derivada de un cociente: L'Hôpital deriva arriba y abajo por separado.
- Aplicar la regla sin verificar que es 0/0 o ∞/∞: en (x² + x − 2)/(x² + 1) con x → 1 el límite es 0, y derivando da 3/2.
- Seguir derivando cuando ya dejó de ser indeterminado: la segunda derivada ya no tiene nada que ver con el límite.
- Concluir que el límite no existe porque el de f′/g′ no existe: la regla no decide, hay que ir por otro camino.
- Aplicar la regla a un 0·∞ sin escribirlo antes como cociente.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar La regla de L'Hôpital →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Un límite con parámetro que termina en Taylor15 puntos · resuelto paso a paso
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