Análisis Matemático (72) · Unidad 5 — Regla de L'Hôpital. Polinomio de Taylor
L'Hôpital con parámetros y en las asíntotas
Con L'Hôpital las asíntotas de funciones con logaritmos, exponenciales y senos se buscan igual que antes: un 0/0 que da un número es un hueco, no una asíntota, y en el infinito la regla dice quién crece más rápido. Un parámetro se despeja derivando con él adentro; y para que haya asíntota vertical, el numerador NO se tiene que anular.
La explicación
Asíntotas verticales: el 0/0 que resulta hueco
El método es el de la unidad 3: los candidatos son los bordes del dominio, y en cada uno se calculan los laterales. Lo nuevo es que ahora los 0/0 con ln, eˣ o sen también se pueden resolver. En f(x) = ln(x − 1)/(x − 2):
L'H: (1/(x − 1))/1 → 1
Da un número: en x = 2 hay un hueco, no una asíntota. En cambio, en el borde del dominio del logaritmo, x → 1⁺, arriba ln(x − 1) → −∞ y abajo x − 2 → −1: el cociente va a +∞, y x = 1 sí es asíntota vertical.
Con senos pasa lo mismo: sen(3x)/(x² + 2x) en x = 0 es 0/0 y L'Hôpital da 3cos(3x)/(2x + 2) → 3/2 (hueco); en x = −2 es sen(−6)/0, un número distinto de 0 sobre 0, y hay asíntota.
Asíntotas horizontales: quién crece más rápido
En el infinito, la regla ordena las funciones: ln x ≪ xp ≪ eˣ. Así:
asíntota y = 2
Con exponenciales, los dos infinitos suelen dar distinto. En (5eˣ − x)/(eˣ + x²):
- en +∞ es ∞/∞, y derivando: (5eˣ − 1)/(eˣ + 2x) → (5eˣ)/(eˣ + 2) → 5eˣ/eˣ = 5;
- en −∞, eˣ → 0 y queda (−x)/x², que tiende a 0 (sin regla: es un cociente de polinomios).
Dos horizontales: y = 5 hacia la derecha e y = 0 hacia la izquierda.
El parámetro que hace finito un 0/0
Si piden a para que un límite sea un número, se aplica la regla con a adentro. A veces alcanza con una vez: límx→0 (eax − e−x)/x da (a eax + e−x)/1 → a + 1, y se iguala. Otras veces la primera derivada da un número sobre 0, y la única forma de que el límite sea finito es que ese número también sea 0:
en x = 0: (a − 3)/0
Para que no se dispare, a − 3 = 0: a = 3. Recién ahí se sigue derivando: (−9 sen(3x))/(6x) → (−27 cos(3x))/6 → −9/2. Es el mismo razonamiento de 3.3 («si abajo va a 0, arriba también»), aplicado a cada paso de la regla.
El parámetro para que haya asíntota vertical
Acá es al revés: para que x = a sea asíntota, el denominador tiene que anularse en a y el numerador no. Si el numerador también se anulara, sería un 0/0 y podría ser un hueco. En (ex − 2 − k)/(x² − 4), en x = 2 el numerador vale 1 − k:
- si k ≠ 1, es (1 − k)/0 y x = 2 es asíntota;
- si k = 1, es 0/0, y L'Hôpital da ex − 2/(2x) → 1/4: un hueco.
1. Dominio: ceros de denominadores, borde de cada logaritmo.
2. En cada candidato: si es k/0 (k ≠ 0), asíntota; si es 0/0, L'Hôpital: un número es hueco, ±∞ es asíntota.
3. En +∞ y en −∞ por separado: reemplazar si se puede, L'Hôpital si es ∞/∞ o 0/0, «acotada por cero» si hay senos.
4. La lista con ecuaciones, diciendo de qué lado es cada horizontal.
El control que conviene hacer siempre
Con el parámetro hallado, evaluá la función cerca del punto: con a = 3, (sen(3x) − 3x)/x³ en x = 0,01 da ≈ −4,4997, cerca de −9/2. Si te hubiera dado un número enorme, el parámetro estaba mal.
Hallar el dominio y las asíntotas de f(x) = ln(x − 1)/(x − 2).
Dominio: x − 1 > 0 y x ≠ 2, o sea Dom(f) = (1, 2) ∪ (2, +∞).
x = 2 (cero del denominador). Arriba ln(1) = 0: es 0/0.
Límite finito: en x = 2 hay un hueco, no una asíntota.
x = 1 (borde del logaritmo). Sólo se llega por derecha. ln(x − 1) → −∞ y x − 2 → −1:
x = 1 es asíntota vertical.
En +∞ es ∞/∞: (1/(x − 1))/1 → 0. y = 0 es asíntota horizontal (hacia la derecha; hacia la izquierda la función no está definida).
Control: f(1,001) = ln(0,001)/(−0,999) ≈ 6,9 y f(1,0001) ≈ 9,2: crece al acercarse a 1 ✔. f(2,001) = ln(1,001)/0,001 ≈ 0,9995 ✔
Dónde se pierde el punto: dar x = 2 como asíntota por ser cero del denominador, y no mirar el borde x = 1, donde no hay denominador que se anule.
a) Hallar a para que lím x→0 (sen(ax) − 3x)/x³ sea un número, y calcularlo. b) Hallar las asíntotas de g(x) = sen(3x)/(x² + 2x).
a) El parámetro, paso por paso. Para cualquier a es 0/0. Primera aplicación:
Si a ≠ 3 se dispara. Tiene que ser a = 3, y entonces sigue siendo 0/0:
(−27 cos(3x))/6 → −9/2
b) Asíntotas de g. Dom(g) = ℝ − {−2, 0}.
En x = 0 es 0/0: L'H da 3cos(3x)/(2x + 2) → 3/2. Hueco. En x = −2, arriba sen(−6) ≈ 0,28 ≠ 0 y abajo 0: x = −2 es asíntota vertical.
En ±∞: el seno está acotado y el denominador crece, así que g → 0. y = 0 es asíntota horizontal de los dos lados.
Control: con a = 3, en x = 0,01: (sen(0,03) − 0,03)/0,000001 ≈ −4,4997 ✔
Dónde se pierde el punto: en a), igualar (a − 3)/0 a −9/2 o aplicar la regla una sola vez; en b), dar x = 0 como asíntota.
Dónde se cae la mayoría
- Declarar asíntota vertical en un 0/0 sin calcular el límite: con L'Hôpital puede dar un número, y entonces es un hueco.
- Para que x = a sea asíntota vertical, pedir que el numerador se anule en a: es al revés, tiene que NO anularse.
- En el parámetro, derivar una vez e igualar a lo pedido cuando la primera derivada da k/0: primero hay que pedir k = 0.
- Dar una sola horizontal con exponenciales: en +∞ y en −∞ el cociente puede tender a números distintos.
- Olvidarse del borde del dominio de un logaritmo al buscar las verticales.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar L'Hôpital con parámetros y en las asíntotas →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — La derivada de x^(1/x) y su imagen15 puntos · resuelto paso a paso
- Segundo parcial — Un límite con parámetro que termina en Taylor15 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 5
Regla de L'Hôpital. Polinomio de Taylor