Análisis Matemático (72) · Unidad 4 — Derivadas

Concavidad y puntos de inflexión

El signo de f″ dice hacia dónde se curva el gráfico: si f″ > 0 es cóncavo hacia arriba (como una taza), si f″ < 0, hacia abajo. Un punto de inflexión es un punto del gráfico donde la concavidad cambia. En un costo, ahí está el costo marginal mínimo.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Qué mide la concavidad

Dos funciones pueden crecer las dos y tener formas muy distintas: una sube cada vez más rápido (como eˣ) y otra cada vez más despacio (como √x). Lo que las distingue es cómo cambia la pendiente:

cóncava hacia arriba (∪): la pendiente f ′ va aumentando; el gráfico queda por arriba de sus rectas tangentes;
cóncava hacia abajo (∩): la pendiente f ′ va disminuyendo; el gráfico queda por debajo de sus tangentes.

Como la pendiente es f ′, que f ′ crezca o decrezca se ve con su derivada, la derivada segunda f″:

f″ > 0 en un intervalo ⇒ cóncava hacia arriba
f″ < 0 en un intervalo ⇒ cóncava hacia abajo

Los puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto del gráfico, (c, f(c)), con c en el dominio y f continua en c, donde la concavidad cambia: de ∪ a ∩ o de ∩ a ∪. Los candidatos son los x del dominio donde f″ = 0 o f″ no existe, igual que los críticos lo eran para los extremos.

Y, igual que con los extremos, un candidato no es seguro:

f(x) = x⁴ tiene f″(0) = 0, pero f″ = 12x² ≥ 0 a los dos lados: es ∪ en todos lados y no hay inflexión en 0.
f(x) = ∛x·(x + 6) tiene f″(x) = 4(x − 3)/(9·x^5/3), que no existe en 0; sin embargo f″ cambia de signo ahí y f es continua: (0, 0) sí es un punto de inflexión.

1. El dominio. Derivá dos veces y simplificá f″ (factor común, exponenciales afuera).
2. Candidatos: los ceros de f″ y los puntos del dominio donde f″ no existe.
3. Partí el dominio con los candidatos y probá el signo de f″ en cada intervalo.
4. Donde el signo cambia hay inflexión: el punto es (c, f(c)), con la altura de f, no de f″.

Un parámetro «desde un punto de inflexión» sale de la ecuación f″(c) = 0; después hay que verificar el cambio de signo con ese valor.

Para qué sirve la segunda derivada con los extremos

Si f ′(c) = 0 y f″(c) < 0, en c la curva es ∩: hay un máximo local. Si f″(c) > 0, hay un mínimo. Es el criterio de la derivada segunda que se usó en 4.8 para confirmar la ganancia máxima. Si f″(c) = 0, no decide: hay que volver al signo de f ′.

En Economía: el costo que primero rinde y después no

Muchos costos tienen la forma de una cúbica creciente: al principio, cada unidad cuesta menos que la anterior (la fábrica aprovecha mejor su escala), y a partir de cierto punto cada unidad cuesta más (hay que pagar horas extra, las máquinas se saturan). En el gráfico, el costo es primero ∩ y después ∪. El punto de inflexión es donde el costo marginal C′ es mínimo: C″ = 0 es justamente la condición de extremo de C′. Con C(x) = x³ − 30x² + 400x + 1000, C″(x) = 6x − 60 se anula en x = 10, y el costo marginal mínimo es C′(10) = 300 − 600 + 400 = 100.

El control que conviene hacer siempre

La tangente: en un tramo ∪ la curva queda arriba de su tangente. Con f(x) = x⁴ − 2x³ + 3, que es ∪ para x > 1, la tangente en x = 2 es y = 8x − 13, y en x = 2,5 la curva da 10,81 contra 7 de la recta ✔. Y el punto de inflexión se escribe con f: si te dio (c, 0) porque usaste f″(c), revisá.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f(x) = x⁴ − 2x³ + 3. Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

1. Las derivadas:

f ′(x) = 4x³ − 6x²
f″(x) = 12x² − 12x = 12x(x − 1)

2. Candidatos: f″ = 0 en x = 0 y x = 1. No hay puntos donde f″ no exista (es un polinomio).

3. El signo de f″:

x = −1: 12·(−1)·(−2) = 24 > 0 → ∪
x = 1/2: 12·(1/2)·(−1/2) = −3 < 0 → ∩
x = 2: 12·2·1 = 24 > 0 → ∪

4. La lectura: f es cóncava hacia arriba en (−∞, 0) ∪ (1, +∞) y cóncava hacia abajo en (0, 1). En los dos candidatos la concavidad cambia, así que los dos son de inflexión:

f(0) = 3 · f(1) = 1 − 2 + 3 = 2 → puntos de inflexión (0, 3) y (1, 2)

De paso, los extremos: f ′(x) = 2x²(2x − 3) se anula en 0 y en 3/2. En 0, f ′ no cambia de signo (es negativa a los dos lados): no es extremo, y es justo un punto de inflexión con tangente horizontal. En 3/2 hay un mínimo, y f″(3/2) = 9 > 0 lo confirma.

Dónde se pierde el punto: escribir los puntos de inflexión como (0, 0) y (1, 0), con la altura de f″. La altura es la de la función.

Y uno del nivel del parcial

Una fábrica de bicicletas tiene un costo de C(x) = 0,001x³ − 0,6x² + 150x + 4000 (en miles de pesos) por producir x bicicletas por mes. a) Hallar los intervalos de concavidad de C para x > 0 y su punto de inflexión. b) Interpretarlo con el costo marginal.

a) Las derivadas:

C′(x) = 0,003x² − 1,2x + 150
C″(x) = 0,006x − 1,2

C″ = 0 ⇔ x = 200. Para x < 200, C″ < 0 (∩); para x > 200, C″ > 0 (∪). Hay inflexión en x = 200, con C(200) = 8000 − 24 000 + 30 000 + 4000 = 18 000: el punto (200, 18 000).

b) La lectura: C″ es la derivada del costo marginal. Mientras C″ < 0, el costo marginal baja: cada bicicleta cuesta menos que la anterior. Desde 200, C″ > 0 y el costo marginal sube. Así que en la inflexión el costo marginal es mínimo:

C′(200) = 120 − 240 + 150 = 30 mil pesos por bicicleta

Es lo más barato que llega a costar una bicicleta adicional. Pasadas las 200 por mes, cada una extra cuesta cada vez más: la fábrica entra en rendimientos decrecientes.

Control: C′(150) = 67,5 − 180 + 150 = 37,5 y C′(250) = 187,5 − 300 + 150 = 37,5: los dos mayores que 30 ✔.

Dónde se cae la mayoría

Creer que f″(c) = 0 ya es un punto de inflexión: hay que ver que f″ cambie de signo (x⁴ en 0 no lo hace).
Olvidarse de los puntos donde f″ no existe, como el de ∛x en 0: también pueden ser de inflexión.
Dar el punto de inflexión con la altura de f″ (que vale 0) en vez de la de f.
Confundir concavidad con crecimiento: una función puede crecer siendo ∩ (como √x) o siendo ∪ (como eˣ).
Contar como inflexión un x que no está en el dominio: en una asíntota la concavidad puede cambiar sin que haya punto.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Concavidad y puntos de inflexión →

Los otros temas de la unidad 4

Derivadas

Ver todos los temas de Análisis (72)